课件34张PPT。3.1
不等关系与不等式理解教材新知突破常考题型第三章题型一题型二题型三知识点一知识点二知识点三应用落实体验跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测两个数 代数式不等号答案：D “课时达标检测”见“课时跟踪检测(十四)”课件37张PPT。3.2
第一课时
一元二次不等式及其解法理解教材新知突破常考题型第三章题型一题型二题型三知识点一知识点二应用落实体验跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测第一课时 一元二次不等式及其解法一个最高次数是2 x的值 解解集集合[名师批注]
不注意判断a的符号，误认为a＞0.
学生常出现解集不用集合表示的失误．“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十五)”课件25张PPT。3.2
第二课时
一元二次不等式及其解法(习题课)回顾相关知识突破常考题型第三章题型一题型二题型三应用落实体验跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测答案：B “课时达标检测”见“课时跟踪检测(十六)”课件35张PPT。3.3
3.3.1
二元一次不等式(组)与平面区域理解教材新知突破常考题型第三章题型一题型二题型三知识点一知识点二应用落实体验跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域两个 1几个二元一次不等式 虚线 实线 相同 “课时达标检测”见“课时跟踪检测(十七)”课件50张PPT。3.3
3.3.2
简单的线性规划问题理解教材新知突破常考题型第三章题型一题型二题型三知识点应用落实体验跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测题型四[活学活用]设未知数，确定线性约束条件和目标函数 “课时达标检测”见“课时跟踪检测(十八)”课件37张PPT。3.4
基本
不等
式：
理解教材新知突破常考题型应用落实体验第三章
不等式题型一题型二题型三知识点跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测[答案] C“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十九)”点击此图进入“阶段质量检测(三)”
_3.1不等关系与不等式
不等关系与不等式
[提出问题]
在日常生活中，我们经常看到下列标志：
问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？
提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；
②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；
⑤时间范围：t∈[7.5,10]．
问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？
提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.
[导入新知]
不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
[化解疑难]
1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不多于，不超过
符号语言
＞
＜
≥
≤
两实数大小的比较
[提出问题]
实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？
提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a
问题2：你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法？
提示：能．通过两个实数作差，判断差的正负比较大小．
[导入新知]
比较两个实数a、b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；
如果a＜b，那么a－b是负数；
如果a＝b，那么a－b等于0，
反之亦然
a>b?a－b>0
aa＝b?a－b＝0
[化解疑难]
1．上面的“?”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“?”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
不等式的基本性质
[提出问题]
问题1：若a>b，b>c，则a>c，对吗？为什么？
提示：正确．∵a>b，b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴(a－b)＋(b－c)>0.即a－c>0.∴a>c.
问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？
提示：正确．∵a＞b，∴a－b＞0，∴a＋c－b－c＞0
即a＋c＞b＋c.
问题3：若a＞b，则ac＞bc，对吗？试举例说明．
提示：不一定正确，若a＝2，b＝1，c＝2正确．c＝－2时不正确．
[导入新知]
不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：?ac>bc；?ac推论(同向同正可乘性)：?ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得
即
[类题通法]
用不等式表示不等关系的方法
(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．
(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．
[活学活用]
1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：
(1)限速80 km/h的路标；
(2)桥头上限重10 吨的标志；
(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h，
则v≤80.
(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.
(3)
比较两数(式)的大小
[例2] 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与2x；
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
[解] (1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3
＝2＋2≥2＞0，
∴x2＋3＞2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，
即a3＋b3＞a2b＋ab2.
[类题通法]
比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
[活学活用]
2．比较x3＋6x与x2＋6的大小．
解：(x3＋6x)－(x2＋6)
＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)
＝(x－1)(x2＋6)
∵x2＋6＞0.
∴当x＞1时，(x－1)(x2＋6)＞0，
即x3＋6x＞x2＋6.
当x＝1时，(x－1)(x2＋6)＝0，
即x3＋6x＝x2＋6.
当x＜1时，(x－1)(x2＋6)＜0，
即x3＋6x＜x2＋6.
不等式的性质
[例3] 已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
又∵a＞b＞0，
∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，
即a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，
∴＞.
[类题通法]
利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
[活学活用]
3．已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.
证明：∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.
∴－ap＜－bp，
又m＞n，即n＜m.
∴n－ap＜m－bp.
[典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，
∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
【探究一】
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
【探究二】
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．在本例条件下，求的取值范围．
[解]∵2＜b＜8，∴＜＜，
而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是(，2)．
[探究三]
不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．
例：已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范围．
解：因－6＜a＜8,2＜b＜3.
∴＜＜，
(1)当0≤a＜8时，0≤＜4；
(2)当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由(1)(2)得：－3＜＜4.
[探究四]
利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．
[例] 已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解] 设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1.
(注：本题可以利用本章第三节内容求解)
[随堂即时演练]
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：选D 据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.
2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M≥－5 D．M≤－5
解析：选A M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5
＝(x＋2)2＋(y－1)2，
∵x≠－2，y≠1，
∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0.
故M＞－5.
3．如果a＞b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)＜0.
答案：c－2b
4．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是________．
解析：∵－10＜a＜8，
∴0≤|a|＜10，
又－10＜b＜8，
∴－10＜|a|＋b＜18.
答案：(－10,18)
5．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)若－1＜a＜b＜0，试比较，，a2，b2的大小．
解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
∵x≤1，∴x－1≤0.
又3x2＋1＞0，
∴(x－1)(3x2＋1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
(2)∵－1＜a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0，
∴a2＞b2＞0.
∵a＜b＜0，
∴a·＜b·＜0，
即0＞＞，
∴a2＞b2＞＞.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
解析：选A M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0.
∴M＞N.
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A. B.
C. D．
解析：选D 由题中x不低于95即x≥95，
y高于380即y>380，
z超过45即z>45.
3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
解析：选D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
4．设α∈，β∈，则2α－的范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选D 0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
二、填空题
6．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
7．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________．
解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝
∵0＜1－a2≤1，
∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
8．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．
解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．
答案：20 330
三、解答题
9．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h；生产每袋需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量．
解：设明年的产量为x袋，则，
解得80 000≤x≤90 000.
预计明年的产量在80 000到90 000袋之间．
10．(1)a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
证明：(1)由于－＝
＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，
∴－＜0，
即＜0，而a＞b，
∴b－a＜0，∴ab＞0.
_3.2一元二次不等式及其解法
第一课时 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的概念
[提出问题]
观察下列不等式：
(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.
问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？
提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.
问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.
[导入新知]
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
[化解疑难]
1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.
2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.
一元二次不等式的解法
[提出问题]
已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.
问题1：试求二次函数与x轴交点坐标
提示：(0,0)、(2,0)
问题2：一元二次方程根是什么？
提示：x1＝0，x2＝2.
问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？
提示：交点的横坐标为方程的根．
问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？
提示：x＞2或x＜0.
问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？
提示：能，不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}．
[导入新知]
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
?
?
[化解疑难]
一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方(下方)，或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
一元二次不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)x2－4x－5≤0；
(3)－4x2＋18x－≥0；
(4)－x2＋3x－5＞0；
(5)－2x2＋3x－2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜－3}．
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
[类题通法]
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[活学活用]
1．解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.
(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，
x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为
{x|1(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}.
解含参数的一元二次不等式
[例2] 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为?；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
[类题通法]
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[活学活用]
2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为：
(ax＋1)(x－1)＜0，
当a＝0时，x＜1，
当a＞0时(x－1)＜0
∴－＜x＜1.
当a＝－1时，x≠1，
当－1＜a＜0时，(x－1)＞0，
∴x＞－或x＜1.
当a＜－1时，－＜1，
∴x＞1或x＜－，
综上原不等式的解集是：
当a＝0时，{x|x＜1}；
当a＞0时，；
当a＝－1时，{x|x≠1}；
当－1＜a＜0时，
.
当a＜－1时，，
一元二次不等式与相应函数、方程的关系
[例3] 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
[解] ∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有
得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0?(2x－1)(x－1)＞0?x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞)．
[类题通法]
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
[活学活用]
3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|＜x＜1}．
[典例] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求ax2－bx＋c＞0的解集．
[解题流程]
[规范解答]
由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，(2分)
且a＜0，故，(4分)
解得a＝c，b＝c.(6分)
所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，(8分)
解得＜x＜2.
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.(12分)
[名师批注]
不注意判断a的符号，误认为a＞0.
学生常出现解集不用集合表示的失误．
[活学活用]
已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
解：因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
[随堂即时演练]
1．不等式x(2－x)＞0的解集为( )
A．{x|x＞0} B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
解析：选D 原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.
2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，
则M∩N为( )
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
解析：选A ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}
＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．
解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，
∴1＜x＜3
答案：(1,3)
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则实数a＝________，实数b＝________.
解析：由题意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝3.
答案：－2 3
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2＞2(x－1)．
解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列不等式①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：选D 根据一元二次不等式的定义知①②正确．
2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B．
C．? D．
解析：选D 不等式可化为(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－，即解集为，故选D.
3．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，则( )
A．M∩N＝? B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解析：选B ∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，
∴M?N，即M∩N＝M.
4．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B．
C. D．
解析：选D 由于不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数，所以，与之相对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则有
5．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－22}
C．{x|－11}
解析：选A 令t＝|x|，则原不等式可化为
t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.
∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2.
∴|x|<2，得－2二、填空题
6．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________．
解析：原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1，
可化为2x2－x＋1≤0，
由于判别式Δ＝－7＜0，
所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，
因此原不等式的解集是?.
答案：?
7．不等式组的解集为________．
解析：由得
∴0＜x＜1.
答案：{x|0＜x＜1}
8．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是________．
解析：∵方程x2－4ax－5a2＝0的两个根为x1＝－a，x2＝5a，
又∵2a＋1＜0，即a＜－，∴x1＞x2.
故原不等式解集为{x|5a＜x＜－a}．
答案：{x|5a＜x＜－a}
三、解答题
9．已知ax2＋2x＋c＞0的解集为，试求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a＞0.
解：由ax2＋2x＋c＞0的解集是，知a＜0，且方程ax2＋2x＋c＝0的两根为x1＝－，x2＝，由根与系数的关系知
解得a＝－12，c＝2.
此时，－cx2＋2x－a＞0，即2x2－2x－12＜0，
其解集为{x|－2＜x＜3}．
10．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为{x|－1≤x≤}．
第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？
2．判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响？
简单的分式不等式
[例1] 解下列不等式
(1)<0；(2)≤2.
[解] (1)由<0，得>0，
此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)法一：移项得－2≤0，
左边通分并化简有≤0，即≥0，
它的同解不等式为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，
此不等式等价于①
或②
解①得x≥5，解②得x<2，
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
[类题通法]
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[活学活用]
1．解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
解：(1)原不等式等价于
即?－2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴∴原不等式的解集为{x|不等式中的恒成立问题
[例2] 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
?
??m＜0.
综上，m的取值范围为m≤0.
[类题通法]
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?的条件为
[活学活用]
2．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
解得a＞.
综上，所求实数a的取值范围为.
一元二次不等式的实际应用
[例3] 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解] (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．
依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得，a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
[类题通法]
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
[活学活用]
3．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m．根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.
[典例] 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，
如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围；
[解] 由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，
则其相应方程x2＋2(a－2)＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4.
故a的取值范围是{a|0＜a＜4}．
【探究一】 解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为R或?，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
【探究二】 若x2的系数为参数，应参考本节例2及变式的解法．
【探究三】 对于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．如：
是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
[解] 若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．
由图象可知，此时a应该满足
即解得
这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
【探究四】 对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．如：
已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．
解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．
要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需满足即
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，
所以不存在实数x，
使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
[随堂即时演练]
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：选B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
解析：选A 依题意应有Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4，故选A.
3．不等式≤3的解集为________．
解析：≤3?－3≤0?≥0?x(2x－1)≥0且x≠0?x<0或x≥.
答案：
4．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0
对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.
解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.
由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
[课时达标检测]
一、选择题
1．不等式＞0的解集是( )
A. B．
C. D．
解析：选A ＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集为.
2．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a＞0}，A∩B＝?，则a的取值范围是( )
A．a＝3 B．a≥3
C．a＜3 D．a≤3
解析：选B A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}，因为A∩B＝?，所以a≥3.故选B.
3．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A. B．
C. D．
解析：选A 依题意，a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－)(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
4．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是( )
A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．P∩Q＝?
解析：选A 当m＝0时，－4＜0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x∈R恒成立可得．
解得－1＜m＜0，
综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，
∴P?Q，故选A.
5．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m＜0 D．m≥－4
解析：选A 令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上为减函数，当x＝1时，f(x)最小值＝－3，所以m≤－3.
二、填空题
6．若a＜0，则不等式＞0的解集是________．
解析：原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)＞0，
由于a＜0，所以4a＜－5a，
因此原不等式解集为{x|x＜4a，或x＞－5a}．
答案：{x|x＜4a，或x＞－5a}
7．若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．
解析：假设原不等式的解集为空集．当m＝0时，原不等式化为1＜0，此时不等式无解，满足要求．当m≠0时，即
∴0＜m≤4.综上可得0≤m≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m＜0或m＞4.
答案：m＜0或m＞4
8．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．
解析：设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x>8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度.
第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液[(x－8)－]升．
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>0，因而原不等式化简为
9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
解得≤x≤.又∵x>8，∴8答案：(8，]
三、解答题
9．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
(1)试求a、b的值；
(2)求不等式＞0的解集．
解：(1)∵不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
∴a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，
由韦达定理可得
于是得
(2)由(1)得不等式＞0即为＞0，
∴＞0，
因此(x－2)＜0，解得＜x＜2.
即原不等式的解集是.
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：法一：令g(x)＝f(x)－a＝x2－2ax＋2－a，x∈[－1，＋∞)，因此当x∈[－1，＋∞)时要使f(x)≥a恒成立，只要不等式x2－2ax＋2－a≥0恒成立，结合二次函数图象(如图)．
∴Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
法二：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
当a∈(－∞，－1]时，
结合图象知f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)最小值＝f(－1)＝2a＋3.
∴要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)最小值≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a≤－1.
当a∈(－1，＋∞)时，f(x)最小值＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1＜a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
_3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
二元一次不等式(组)
[提出问题]
给出以下两个方程：
①2x＋3y－6＝0，②x－4y＋4＝0.
问题1：这两个方程是什么类型的方程？它们的解有多少个？它们对应的几何图形是什么？
提示：都是二元一次方程；都有无穷多解；对应的几何图形是直线．
问题2：若将上述方程变为：①2x＋3y－6＞0，②x－4y＋4＜0.将得到什么？又有何特点？
提示：得到两个不等式，它们都含有2个未知数，且未知数的次数都是1.
问题3：满足不等式①、②的实数x、y存在吗？若存在，试写出两组．
提示：都存在，满足①的(2,2)、(2,4)，满足②的(1,2)，(1,3)．
[导入新知]
1．二元一次不等式
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2．二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
3．二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x、y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x、y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
[化解疑难]
二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组成的不等式组，其中的不等式个数可以是二个、三个，当然也可以是多个.
二元一次不等式表示平面区域
[提出问题]
已知直线l：x－y－1＝0.
问题1：点A(1,0)、B(1,1)、C(1,2)、D(0，－2)、E(1，－2)与直线l有何位置关系？
提示：点A在直线l上，点B、C、D、E均不在直线l上．
问题2：通过作图可以发现，点B、C、D、E分别在直线l的哪个方向的区域内？
提示：点B、C在直线l的左上方，点D、E在直线l的右下方．
问题3：点B、C、D、E的坐标分别满足下列哪个不等式？(1)x－y－1<0；(2)x－y－1>0.
提示：点B、C的坐标满足(1)，D、E的坐标满足(2)．
问题4：满足这两个不等式的解有多少个？这些解对应的平面直角坐标系中的点在相应的直线上吗？若不在直线上，它们在这条直线的同一侧吗？
提示：这两个不等式的解有无穷多个；它们对应的点不在直线上；而是在这条直线的同一侧．
[导入新知]
1．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
2．二元一次不等式表示的平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
[化解疑难]
确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0)．
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)
[解] (1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．右上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
[类题通法]
1．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定．
[活学活用]
1．画出不等式组表示的平面区域．
解：不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0上及左下方的区域．
不等式x－2y＞3表示直线x－2y－3＝0右下方的区域．
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0上及右上方的区域．
所以不等式组表示的平面区域如图所示．
二元一次不等式(组)表示的平面区域的面积
[例2] 不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
[解析] 不等式组
表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
[答案] B
[类题通法]
求平面区域面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
[活学活用]
2．求由不等式组 确定的平面区域的面积S阴影部分．
解：由不等式组作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．过P点作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，
PC＝|1－0|＝1，
OC＝4，OB＝3，
得S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8.
所以S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝.
用二元一次不等式组表示实际问题
[例3] 投资生产A产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米．现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
[解] 设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，
则
用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
[类题通法]
用二元一次不等式组表示实际问题的方法
用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时，
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来，
(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式，
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．
[活学活用]
3．有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：
货物
轮船运输量
飞机运输量
粮食/t
300
150
石油/t
250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系．
解：设需要x艘轮船，y架飞机，代数关系式和几何描述(如右图)分别为
[典例] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示的区域．
[解] 原不等式等价于①或
②分别画出不等式组①和②表示的平面区域取并即可(如图阴影部分)．
[易错防范]
1．由(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0不能正确转化两个不等式组．
2．未注意不包括边界，而把边界画成实线．
[成功破障]
画出不等式(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域．
解：不等式(x－y)(x－y－1)≤0等价于不等式组
或，而不等式组
无解，故(x－y)(x－y－1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
[随堂即时演练]
1．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是( )
解析：选C 原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B.
C. D．
解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC，
由可得A(1,1)，
又B(0,4)，C，∴S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝，故选C.
3．用不等式表示直线y＝3x－1左上方的平面区域为________．
答案：y＞3x－1
4．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－by＋1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．
解析：设P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，因为点P与点P′有且只有一个适合不等式，
所以 或
得b≥－或b≤－.
答案：∪
5．如图，请写出表示阴影部分区域的不等式组．
解：由于直线BC的方程为y＝－1，
直线AC的方程为x＝0，直线AB的方程为2x－y＋2＝0，
因此表示该区域的不等式组是
[课时达标检测]
一、选择题
1．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方 B．右上方
C．左下方 D．右下方
解析：选D 将(0,0)代入2x－y－6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x－y－6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D项．
2．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a＜－1或a＞24 B．－24＜a＜7
C．－7＜a＜24 D．a＜－24或a＞7
解析：选C 要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，必须且只需(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0即可，由此解得－7＜a＜24.
3．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P 的个数为( )
A．10 B．9
C．3 D．无数个
解析：选A 作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10，故选A.
4．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
解析：选C 不等式组等价于
或
分别画出其平面区域，可知选C.
5．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 排除法：∵x，y∈N*，排除B、D.
又∵x与y的比例为2∶3，
∴排除A，故选C.
二、填空题
6．表示下图中阴影部分所示平面区域的不等式组是________．
解析：由所给的图形容易知道，点(3,1)在相应的平面区域内，将点(3,1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6＞0、2x－3y－6＜0、2x＋3y－12＜0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
答案：
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
8．若不等式组表示的平面区域为Ⅰ，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为________．
解析：如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
答案：
三、解答题
9．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
10．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4,12)，由解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得即亦即
得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
3．3.2 简单的线性规划问题
简单的线性规划
[提出问题]
某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．
问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？
提示：
问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
提示：z＝0.4x＋0.6y.
问题3：x，y取值对利润z有无影响？
提示：有．
[导入新知]
线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件
变量x，y满足的一组条件
线性约束条件
由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式
线性目标函数
目标函数是关于x，y的二元一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
[化解疑难]
1．线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.
2．目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
3．可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．
求线性目标函数的最值
[例1] (2012·山东高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D．
[解析] 约束条件所表示的平面区域如图阴影部分，直线y＝3x－z斜率为3.
由图象知当直线y＝3x－z经过A(2,0)时，z取最大值6，当直线y＝3x－z经过B时，z取最小值－，
∴z＝3x－y的取值范围为，故选A.
[答案] A
[类题通法]
解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
[活学活用]
1．设z＝2x＋y，变量x、y满足条件求z的最大值和最小值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．
解方程组得A点坐标为(5,2)，
解方程组得B点坐标为(1,1)，
∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.
求非线性目标函数的最值
[例2] 设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
[解] 画出满足条件的可行域如图所示，
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，
所以v最大值＝＝，v最小值＝＝－4.
[类题通法]
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有：
① 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
[活学活用]
2．已知变量x，y满足约束条件则的最大值是________，最小值是________．
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z＝表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C与O连线斜率最大；B与O连线斜率最小，又B点坐标为(，)，C点坐标为(1,6)，所以kOB＝，kOC＝6.
故的最大值为6，最小值为.
[答案] 6
已知目标函数的最值求参数
[例3] 若实数x，y满足不等式组
目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是________．
[解析] 如右图，
由
得代入x－2y＝2中，解得a＝2.
[答案] 2
[类题通法]
求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．
[活学活用]
3．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝( )
A．2 B．9
C．3 D．0
[解析] 选D 由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.
5.简单的线性规划问题的实际应用
[例4] 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作直线l：
3 000x＋2 000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立解得x＝100，y＝200.
∴点M的坐标为(100,200)．
∴z最大值＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
[类题通法]
利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．
[活学活用]
4．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为：
目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z最小值＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
[典例] 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24 立方米，总重量不能低于650 千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：
货物
每袋体积(单位：立方米)
每袋重量(单位：百千克)
每袋利润(单位：百元)
甲
5
1
20
乙
4
2.5
10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？
[解题流程]
[规范解答]
设一个大集装箱托运甲种货物x袋，乙种货物y袋，获得利润为z(百元)，则目标函数为z＝20x＋10y.(1分)
依题意得，关于x，y的约束条件为
即(4分)
作出上述不等式组表示的平面区域，如右图阴影部分所示．(6分
由目标函数z＝20x＋10y，
可得y＝－2x＋.
当直线y＝－2x＋的纵截距最大时，对应的目标函数z＝20x＋10y也会取得最大值．(8分)
画直线l0：20x＋10y＝0，平行移动l0到直线l的位置，当直线l过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点M时，目标函数z＝20x＋10y取得最大值．
解方程组得点M(4,1)．(10分)
因此，当x＝4，y＝1时，z取得最大值，
此时z最大值＝20×4＋10×1＝90.(11分)
答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9 000元．(12分)
[名师批注]
1.由题意得约束条件，易忽略x≥0，y≥0(或x∈N*，y∈N*)．
2.由约束条件作可行域不规范，从而无法判断最优解，解题步骤易缺失，直接把M(4,1)代入求解，没有一定的文字说明．
3.解答此类问题要考虑问题的实际意义，与自然数有关的问题往往是求最优整数解，要通过画网格线或逐步逼近的方法找到．
[活学活用]
有一批钢管，长度都是4 000 mm，要截成长为500 mm和600 mm的两种钢管，且这两种钢管的数量之比按大于配套，怎样截合理？
解：设每根截500 mm的x根和600 mm的y根，则，即
作出可行域如图所示．
目标函数为z＝x＋y，作一组平行直线x＋y＝t，经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)点的直线，这时x＋y＝8，由x，y∈N*知(8,0)不是最优解，
因此，在可行域内找整点，得到点(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)均为最优解，此时x＋y＝7.
∴按照每根钢管来截，
截500 mm的2根.600 mm的5根或截500 mm的3根.600 mm的4根或截500 mm的4根.600 mm的3根或截500 mm的5根.600 mm的2根或截500 mm的6根.600 mm的1根．
[随堂即时演练]
1．z＝x－y在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
A．(0,1) B．(－1，－1)
C．(1,0) D．
解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除选项A，B，D，故选C.
2．(2012·广东高考)已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
解析：选C 由约束条件作出可行域如图：
由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.
3.已知实数x、y满足则目标函数z＝x－2y的最小值是________．
解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y＝x－z，作直线y＝x及其平行线，知当此直线经过点A时，－z的值最大，即z的值最小．又A点坐标为(3,6)，所以z的最小值为3－2×6＝－9.
答案：－9
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．
解析：点P(x，y)满足的可行域为△ABC区域，A(1,1)，C(1,3)．由图可得，|PO|最小值＝|AO|＝；|PO|最大值＝|CO|＝.
答案：
5．已知x，y满足约束条件，求z＝x＋2y的最小值．
解：作出不等式组的可行域，如图所示．
画出直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都在l的不包含直线l0的另外一侧，该点到直线l0的距离最小，则这一点使z＝x＋2y取最小值．
显然，点A满足上述条件，
解得点A，
∴z最小值＝＋2×＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数 D．该直线的横截距
解析：选C 由z＝3x－y得y＝3x－z，在该方程中－z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数．
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
解析：选A 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
3．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
解析：选C 先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z＝y－x的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．
4．实数x，y满足不等式组
则W＝的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选D 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W＜1.
5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )
A．12 万元 B．20 万元
C．25 万元 D．27 万元
解析：选D 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
A原料
B原料
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有目标函数z＝5x＋3y.
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元，故选D.
二、填空题
6.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．
答案：(0,5)
7．(2012·浙江高考)设z＝x＋2y，其中实数x，y满足
则z的取值范围是________．
解析：画出可行域如图，
由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
则的几何意义是直线y＝－x＋在y轴上的截距，当直线过点O及直线x－y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.
答案：
8．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
解析：先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n＞2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其部分．
答案：n＞2
三、解答题
9．已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．
解方程组得C(－2,3)，
∴u最小值＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴u最大值＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，且随z变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，
解方程组得A(－2，－3)，
∴z最小值＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线y＝－x＋z－1与直线x＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，
∴z最大值＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
10．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
解：设按第一种切割方式切割的钢条x根，按第二种切割方式切割的钢条y根，
根据题意得约束条件是
目标函数是z＝x＋y，
画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．
由解得
此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，
所以点(3.6,7.8)不是最优解．
经过可行域内的整点且使z最小的直线是x＋y＝12，
即z＝12，满足该约束条件的(x，y)有两个：
(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．
_3.4基本不等式：≤
基本不等式
[提出问题]
问题1：若a、b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0.
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？
提示：a＋b≥2.
问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
[导入新知]
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
1．有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
2．不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2 (其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[化解疑难]
1．基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则 ≠，即只能有＜.
2．从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项．
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[证明] 由基本不等式可得：
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理：b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[类题通法]
1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[活学活用]
1．已知a，b是正数，求证≤.
证明：∵a＞0，b＞0，
∴＋≥2＞0，
∴≤＝，
即≤(当a＝b时取“＝”).
利用基本不等式求最值
[例2] (1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
(2)已知x＞3，求f(x)＝x＋的最小值；
(3)设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
[解] (1)∵m，n＞0且m＋n＝16，
所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
(2)∵x＞3，
∴x－3＞0，＞0，
于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7，
当且仅当x－3＝即x＝5时，f(x)取到最小值7.
(3)法一：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，
解得x＝1－，y＝－1，
∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.
法二：＋＝·1＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
以下同解法一．
[类题通法]
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0；
(2)二定：化不等式的一边为定值；
(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
[活学活用]
2．(1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
解：(1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2 ＝2 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
(3)∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)×
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由
得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
利用基本不等式解应用题
[例3] 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[解] (1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件得4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于2x＋3y≥2 ＝2 ，
∴2 ≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立，
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
(2)法一：由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2 ＝2 ＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m时，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2 ＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立．此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
[类题通法]
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
[活学活用]
3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
解：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)
＝200＋x(x＋1)·16(万元)．
∴y＝4
＝16(－2x2＋23x－50)．
(2)年平均利润为
＝16＝16.
又x∈N*，
∴x＋≥2 ＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，
此时≤16×(23－20)＝48.
∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．
[典例] 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是
A. B．4
C. D．5
[解析] ∵a＋b＝2，
∴＝1.
∴＋＝
＝＋
≥＋2 ＝
.
故y＝＋的最小值为.
[答案] C
[易错防范]
1．解答本题易两次利用基本不等式，如
∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，
∴ab≤＝1.
又y＝＋≥2 ＝4 ，
又ab≤1，
∴y≥4＝4.
但它们成立的条件不同，一个是a＝b，另一个是b＝4a，这显然是不能同时成立的，故不正确．
2．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
3．在运用重要不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
[成功破障]
(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＞1(x∈R)
解析：选C 取x＝，则lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.
[随堂即时演练]
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，
当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞ B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞ D．a＞＞＞b
解析：选B a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．
3．若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．
解析：1＝x＋4y≥2 ＝4 ，
∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．
答案：
4．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．
解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.
则＋≥2 ＝2，故最小值＝2，
当且仅当2y＝5x时取等号．
又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．
答案：2
5．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．
求证：＋＋＞a＋b＋c.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2 ＝2c，
＋≥2 ＝2a，
＋≥2 ＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
解析：选D a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4
C．2 D．8
解析：选B ∵a，b是实数，
∴2a＞0,2b＞0，
于是2a＋2b≥2 ＝2＝2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4.
4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
解析：选B (1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.
5．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：选D f(x)＝＝[(x－1)＋]，
又∵－40.
∴f(x)＝－[－(x－1)＋]≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
二、填空题
6．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
解析：(1)x＋y≥2 ＝2 ，即x＋y的最小值是2 ；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2 (2)
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝
即的最大值为，故a≥.
答案：[，＋∞)
8．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号)．
解析：由于a2＋1－a＝2＋＞0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2.∴≥4，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2 ，故(a＋b)·≥4，故③恒成立，当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．
答案：①②③
三、解答题
9．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
(2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
(3)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
解：(1)∵0＜x＜，
∴1－2x＞0.
y＝·2x·(1－2x)≤·2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y最大值＝.
(2)∵x＜3，∴x－3＜0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(3)法一：∵x，y∈R＋，∴(x＋y)(＋)＝4＋(＋)≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，故＋的最小值为
1＋.
法二：∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，
∴＋＝＋＝1＋(＋)≥1＋2＝1＋.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
∴＋的最小值为1＋.
10.如右图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，
(1)求x的取值范围；
(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．
解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，
则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.
令y＝x＋2×≤44(x＞0)，解得8≤x≤36，
则x的取值范围是[8,36]．
(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.
当且仅当x＝，即x≈17.0时，等号成立，
则y最小值＝24≈34.0，
即最少需要约34.0米铁丝网．
不 等 式
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
解析：选C 原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，
解得－4＜x＜－2.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：选A 因为M－N＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N，故选A.
3．下列命题中正确的是( )
A．a＞b?ac2＞bc2 B．a＞b?a2＞b2
C．a＞b?a3＞b3 D．a2＞b2?a＞b
解析：选C 选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；选项B中，当a＝0，b＝－1时a＞b，但a2＜b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2，b＝－1时，a2＞b2，但a＜b，所以D不正确．很明显C正确．
4．(2012·安徽高考)若x，y满足约束条件
则z＝x－y的最小值是( )
A.－3 B．0
C. D．3
解析：选A 可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0,3)处取得最小值，∴z最小值＝－3.
5．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
解析：选B x，y为正数，(x＋y)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x等号成立，选B.
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
解析：选A ?
??－4≤x≤－3.
7．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．a(a－b)＞0
解析：选C 由已知可得，c＜0，a＞0，b不一定，若b＝0时，C不一定成立，故选C.
8. 在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：选A 若最优解有无数个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为、－1、0，与－对照可知a＝－3或1，
又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
9．(2012·福建高考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C. D．2
解析：选B 如图所示：
约束条件
表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，
∴m的最大值是1，故选B.
10．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2解析：选D ∵x>0，y>0.∴＋≥8(当且仅当
＝时取“＝”)．
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝2－x－(x＞0)的值域为________．
解析：当x＞0时，y＝2－≤2－2 ＝－2.当且仅当x＝，x＝2时取等号．
答案：(－∞，－2]
12．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
解析：由已知得2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.
答案：{x|－3≤x≤1}
13．已知不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1＞0的解集为________．
解析：方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据韦达定理得：a＝5，b＝－6，所以不等式为6x2＋5x＋1＜0，解得解集为.
答案：
14．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
解析：画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
答案：4
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)解下列关于x的不等式
(1)1＜x2－3x＋1＜9－x
(2)ax2－x－a2x＋a＜0(a＜－1)
解：(1)∵1＜x2－3x＋1＜9－x，
∴x2－3x＋1＞1且x2－3x＋1＜9－x.
∴x＞3或x＜0且－2＜x＜4.
∴－2＜x＜0或3＜x＜4.
∴原不等式1＜x2－3x＋1＜9－x的解集为{x|－2＜x＜0或3＜x＜4}．
(2)由ax2－x－a2x＋a＜0
∴(x－a)(ax－1)＜0
因a＜－1∴(x－a)＞0，
当a＜－1时，＞a，所以x＜a，或x＞.
∴不等式的解集为{x|x＜a，或x＞}．
16．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k＜0 .
由根与系数的关系得解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以
即
所以k＜－.
即k的取值范围是.
17．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
解：设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5，0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
18．(14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2
≥2 －2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
二元一次不等式(组)与平面区域
一、选择题
1．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方
2．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a＜－1或a＞24 B．－24＜a＜7
C．－7＜a＜24 D．a＜－24或a＞7
3．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P 的个数为( )
A．10 B．9 C．3 D．无数个
4．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
5．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
6．表示下图中阴影部分所示平面区域的不等式组是________．
7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
8．若不等式组表示的平面区域为Ⅰ，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为________．
三、解答题
9．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
10．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
答 案
课时跟踪检测(十七)
1．选D 将(0,0)代入2x－y－6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x－y－6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．
2．选C 要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，必须且只需(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]＜0即可，由此解得－7＜a＜24.
3．选A 作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10，故选A.
4．选C 不等式组
等价于
或
分别画出其平面区域，可知选C.
5．选C 排除法：∵x，y∈N*，排除B、D.
又∵x与y的比例为2∶3，
∴排除A，故选C.
6．解析：由所给的图形容易知道，点(3,1)在相应的平面区域内，将点(3,1)的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6＞0、2x－3y－6＜0、2x＋3y－12＜0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
答案：
7.解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
8.解析：如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
答案：
9．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
10.解：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4,12)，由解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得
即亦即
得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
课时跟踪检测(十九) 基本不等式： ≤
一、选择题
1．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B.
C. D.
3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4
C．2 D．8
4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
5．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
二、填空题
6．已知x、y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
8．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号)．
三、解答题
9．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
(2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
(3)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
10.如右图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，
(1)求x的取值范围；
(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．
答 案
课时跟踪检测(十九)
1．选D a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．选B 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，
即x＝时等号成立．
3．选B ∵a，b是实数，
∴2a＞0,2b＞0，
于是2a＋2b≥2 ＝2＝2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4.
4．选B (1＋x)(1＋y)≤2＝
2＝2＝25，
因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.
5．选D f(x)＝＝[(x－1)＋]，
又∵－4∴－(x－1)>0.
∴f(x)＝－[－(x－1)＋]≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
6．解析：(1)x＋y≥2 ＝2 ，即x＋y的最小值是2 ；当且仅当x＝y＝时取最小值．
(2)xy≤2＝2＝，
即xy的最大值是.
当且仅当x＝y＝时xy取最大值．
答案：(1)2 (2)
7．解析：因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝
即的最大值为，
故a≥.
答案：[，＋∞)
8．解析：由于a2＋1－a＝2＋＞0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2.
∴≥4，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2 ，故(a＋b)·≥4，故③恒成立，当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．
答案：①②③
9．解：(1)∵0＜x＜，
∴1－2x＞0.
y＝·2x·(1－2x)≤·2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y最大值＝.
(2)∵x＜3，∴x－3＜0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3
≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(3)法一：∵x，y∈R＋，∴(x＋y)(＋)＝4＋(＋)≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，
y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
法二：∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，
∴＋＝＋＝1＋(＋)≥1＋2 ＝1＋.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
∴＋的最小值为1＋.
10．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，
则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×.
令y＝x＋2×≤44(x＞0)，
解得8≤x≤36，
则x的取值范围是[8,36]．
(2)由基本不等式，得y＝x＋≥24.
当且仅当x＝，即x≈17.0时，等号成立，
则y最小值＝24≈34.0，
即最少需要约34.0米铁丝网．
课时跟踪检测(十五) 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．下列不等式①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C．? D.
3．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x||x|＜2}，则( )
A．M∩N＝? B．M∩N＝M
C．M∪N＝M D．M∪N＝R
4．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
5．不等式x2－|x|－2<0的解集是( )
A．{x|－22}
C．{x|－11}
二、填空题
6．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________．
7．不等式组的解集为________．
8．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是________．
三、解答题
9．已知ax2＋2x＋c＞0的解集为，试求a，c的值，并解不等式－cx2＋2x－a＞0.
10．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
答 案
课时跟踪检测(十五)
1．选D 根据一元二次不等式的定义知①②正确．
2．选D 不等式可化为(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－，即解集为，故选D.
3．选B ∵M＝{x|0＜x＜1}，N＝{x|－2＜x＜2}，
∴M?N，即M∩N＝M.
4．选D 由于不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数，所以，与之相对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则有
5．选A 令t＝|x|，则原不等式可化为
t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.
∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2.
∴|x|<2，得－26．解析：原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1，
可化为2x2－x＋1≤0，
由于判别式Δ＝－7＜0，
所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，
因此原不等式的解集是?.
答案：?
7．解析：由得
∴0＜x＜1.
答案：{x|0＜x＜1}
8．解析：∵方程x2－4ax－5a2＝0的两个根为x1＝－a，x2＝5a，
又∵2a＋1＜0，即a＜－，
∴x1＞x2.
故原不等式解集为{x|5a＜x＜－a}．
答案：{x|5a＜x＜－a}
9．解：由ax2＋2x＋c＞0的解集是，知a＜0，且方程ax2＋2x＋c＝0的两根为x1＝－，x2＝，由根与系数的关系知
解得a＝－12，c＝2.
此时，－cx2＋2x－a＞0，即2x2－2x－12＜0，
其解集为{x|－2＜x＜3}．
10．解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)(x－)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为{x|－1≤x≤}．
课时跟踪检测(十八) 简单的线性规划问题
一、选择题
1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数 D．该直线的横截距
2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
3．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
4．实数x，y满足不等式组
则W＝的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )
A．12 万元 B．20 万元
C．25 万元 D．27 万元
二、填空题
6．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
7．(2012·浙江高考)设z＝x＋2y，其中实数x，y满足
则z的取值范围是________．
8．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
三、选择题
9．已知关于x，y的二元一次不等式组
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值．
10．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？
答 案
课时跟踪检测(十八)
1．选C 由z＝3x－y得y＝3x－z，在该方程中－z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数．
2．选A 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z＝6x＋4y.
3.选C 先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z＝y－x的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．
4.选D 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(－1,1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W＝表示阴影部分的点与定点A(－1,1)的连线的斜率，由图可知点A(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－≤W＜1.
5．选D 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
A原料
B原料
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有目标函数z＝5x＋3y.
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元，故选D.
6．解析：首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大．
答案：(0,5)
7．解析：画出可行域如图，
由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
则的几何意义是直线y＝－x＋在y轴上的截距，当直线过点O及直线x－y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.
答案：
8．解析：先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n＞2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段BC或其部分．
答案：n＞2
9．解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，
由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小．
解方程组得C(－2,3)，
∴u最小值＝3×(－2)－3＝－9.
当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，
解方程组得B(2,1)，
∴u最大值＝3×2－1＝5.
∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示．
由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为z－1，且随z变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z－1最小，即z最小，
解方程组得A(－2，－3)，
∴z最小值＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.
当直线y＝－x＋z－1与直线Xx＋2y＝4重合时，截距z－1最大，即z最大，
∴z最大值＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.
∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.
10．解：设按第一种切割方式切割的钢条x根，按第二种切割方式切割的钢条y根，
根据题意得约束条件是
目标函数是z＝x＋y，
画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．
由解得
此时z＝11.4，但x，y，z都应当为正整数，
所以点(3.6,7.8)不是最优解．
经过可行域内的整点且使z最小的直线是x＋y＝12，
即z＝12，满足该约束条件的(x，y)有两个：
(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．
课时跟踪检测(十六) 一元二次不等式及其解法(习题课)
一、选择题
1．不等式＞0的解集是( )
A. B.
C. D.
2．已知A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|x－a＞0}，A∩B＝?，则a的取值范围是( )
A．a＝3 B．a≥3
C．a＜3 D．a≤3
3．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A. B.
C. D.
4．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是( )
A．P?Q B．Q?P
C．P＝Q D．P∩Q＝?
5．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )
A．m≤－3 B．m≥－3
C．－3≤m＜0 D．m≥－4
二、填空题
6．若a＜0，则不等式＞0的解集是________．
7．若关于x的不等式mx2－mx＋1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是________．
8．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．
三、解答题
9．若不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
(1)试求a、b的值；
(2)求不等式＞0的解集．
10．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
答 案
课时跟踪检测(十六)
1．选A ＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集为.
2．选B A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|(x－3)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}，因为A∩B＝?，所以a≥3.故选B.
3．选A 依题意，a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－)(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
4．选A 当m＝0时，－4＜0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x∈R恒成立可得．
解得－1＜m＜0，
综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，
∴P?Q，故选A.
5．选A 令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，在(0,1]上为减函数，当x＝1时，f(x)最小值＝－3，所以m≤－3.
6．解析：原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)＞0，
由于a＜0，所以4a＜－5a，
因此原不等式解集为{x|x＜4a，或x＞－5a}．
答案：{x|x＜4a，或x＞－5a}
7．解析：假设原不等式的解集为空集．当m＝0时，原不等式化为1＜0，此时不等式无解，满足要求．当m≠0时，即
∴0＜m≤4.综上可得0≤m≤4.故当原不等式的解集不是空集时，有m＜0或m＞4.
答案：m＜0或m＞4
8．解析：设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x－8)(x>8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度.
第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液[(x－8)－]升．
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>0，因而原不等式化简为
9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
解得≤x≤.又∵x>8，
∴8答案：(8，]
9．解：(1)∵不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|1＜x＜2}．
∴a＜0，且1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两根，
由韦达定理可得
于是得
(2)由(1)得不等式＞0即为＞0，
∴＞0，
因此(x－2)＜0，解得＜x＜2.
即原不等式的解集是.
10．解：法一：令g(x)＝f(x)－a＝x2－2ax＋2－a，x∈[－1，＋∞)，因此当x∈[－1，＋∞)时要使f(x)≥a恒成立，只要不等式x2－2ax＋2－a≥0恒成立，结合二次函数图象(如图)．
∴Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
法二：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
当a∈(－∞，－1]时，
结合图象知f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)最小值＝f(－1)＝2a＋3.
∴要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)最小值≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a≤－1.
当a∈(－1，＋∞)时，f(x)最小值＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1＜a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
课时跟踪检测(十四) 不等关系与不等式
一、选择题
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．与x有关
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A. B.
C. D.
3．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则( )
A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0
C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0
4．设α∈，β∈，则2α－的范围是( )
A. B.
C. D.
5．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
二、填空题
6．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
7．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________．
8．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．
三、解答题
9．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋需用4 h；生产每袋需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量．
10．(1)a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
答 案
课时跟踪检测(十四)
1．选A M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0.
∴M＞N.
2．选D 由题中x不低于95即x≥95，
y高于380即y>380，
z超过45即z>45.
3．选D 由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，
又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.
4．选D 0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
6．解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
7．解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝
∵0＜1－a2≤1，
∴≥1，
∴≥1－a.
答案：≥1－a
8．解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．
答案：20 330
9．解：设明年的产量为x袋，
则，
解得80 000≤x≤90 000.
预计明年的产量在80 000到90 000袋之间．
10．证明：(1)由于－＝
＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，
∴－＜0，
即＜0，
而a＞b，
∴b－a＜0，
∴ab＞0.
阶段质量检测(三) 不等式
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M ≥N
C．M＜N D．M≤N
3．下列命题中正确的是( )
A．a＞b?ac2＞bc2 B．a＞b?a2＞b2
C．a＞b?a3＞b3 D．a2＞b2?a＞b
4．(2012·安徽高考)若x，y满足约束条件
则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0
C. D．3
5．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
6．不等式组的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．?
7．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2 D．a(a－b)＞0
8. 在如图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
9． 若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1
C. D．2
10．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝2－x－(x＞0)的值域为________．
12．不等式2x2＋2x－4≤的解集为________．
13．已知不等式x2－ax－b＜0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1＞0的解集为________．
14．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)解下列关于x的不等式
(1)1＜x2－3x＋1＜9－x
(2)ax2－x－a2x＋a＜0(a＜－1)
16．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
17．(12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
18．(14分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
答 案
阶段质量检测(三) 不等式
1．选C 原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，
解得－4＜x＜－2.
2．选A 因为M－N＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.
3．选C 选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；选项B中，当a＝0，b＝－1时a＞b，但a2＜b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2，b＝－1时，a2＞b2，但a＜b，所以D不正确．很明显C正确．
4.选A 可行域为如图所示的阴影部分，可知z＝x－y在点A(0,3)处取得最小值，∴z最小值＝－3.
5．选B x，y为正数，(x＋y)·＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x等号成立．
6．选A ?
??－4≤x≤－3.
7．选C 由已知可得，c＜0，a＞0，b不一定，若b＝0时，C不一定成立，故选C.
8．选A 若最优解有无数个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为、－1、0，与－对照可知a＝－3或1，
又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
9．选B 如图所示：
约束条件
表示的可行域如阴影部分所示．
当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，
∴m的最大值是1，故选B.
10．选D ∵x>0，y>0.∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”)．
若＋>m2＋2m恒成立，
则m2＋2m<8，解之得－411．解析：当x＞0时，y＝2－≤2－2＝－2.当且仅当x＝，x＝2时取等号．
答案：(－∞，－2]
12．解析：由已知得2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.
答案：{x|－3≤x≤1}
13．解析：方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据韦达定理得：a＝5，b＝－6，所以不等式为6x2＋5x＋1＜0，解得解集为.
答案：
14．解析：画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝4.
答案：4
15．解：(1)∵1＜x2－3x＋1＜9－x，
∴x2－3x＋1＞1且x2－3x＋1＜9－x.
∴x＞3或x＜0且－2＜x＜4.
∴－2＜x＜0或3＜x＜4.
∴原不等式1＜x2－3x＋1＜9－x的解集为{x|－2＜x＜0或3＜x＜4}．
(2)由ax2－x－a2x＋a＜0
∴(x－a)(ax－1)＜0
因a＜－1∴(x－a)＞0，
当a＜－1时，＞a，所以x＜a，
或x＞.
∴不等式的解集为{x|x＜a，或x＞}．
16．解：(1)因为不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k＜0 .
由根与系数的关系得
解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以
即
所以k＜－.
即k的取值范围是.
17．解：设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
即
画出可行域如图阴影部分所示
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立得交点B(1.5，0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．
18．解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－2∴不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)∵f(x)＝x2－2x－8.
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
∴对一切x>2，均有不等式≥m成立．
而＝(x－1)＋－2
≥2 －2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
