广东省深圳市深圳科学高中2023-2024学年高二下学期数学开学考试试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．（2024高二下·深圳开学考）已知i为复数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二下·深圳开学考）已知向量，，或，则（ ）
A．－8 B．－7 C．7 D．8
3．（2024高二下·深圳开学考）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
4．（2024高三下·浙江开学考）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．24
5．（2024高二下·深圳开学考）给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若，则，共线；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高二下·深圳开学考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·深圳开学考）已知函数的部分图象如图，则函数（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为
8．（2024高二下·深圳开学考）若数列满足，，，，则称数列Fibonacci数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则
C．记，则数列的前2021项的和为
D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2024高二下·深圳开学考）已知M为直线上的一点，动点N与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点N的轨迹方程为
B．
C．的最小值为
D．的最大角为
10．（2024高二下·深圳开学考）已知数列：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的项是，，，再接下来的项是，，，，，，，依此类推），其前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．存在常数M，使得恒成立
B．是的第2036项
C．
D．满足不等式的正整数n的最小值是2100
11．（2024高二下·深圳开学考）如图，在边长为1的正方体中，E是的中点，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M点与点重合时，直线平面ACM
B．当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值
C．当M点与E点重合时，平面ACM与平面夹角的正弦值为
D．当M点为线段中点时，平面ACM截正方体所得截面面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2024高一上·越秀期末）命题“，”的否定是 ．
13．（2024高二下·深圳开学考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
14．（2024高二下·深圳开学考）如图，椭圆的离心率，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，Р是椭圆上任意一点，若的最大值是12，则椭圆方程为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·深圳开学考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
16．（2024高三上·邵阳模拟）在中，角所对的边分别为，向量，向量，且.
（1）求证：；
（2）延长至点，使得.当最大时，求的值.
17．（2024高二下·深圳开学考）四棱锥中，底面ABCD，，，，．
（1）求证：平面PAC；
（2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
18．（2024高三上·宝安期末）已知双曲线的离心率是3，点在上.
（1）求的标准方程.
（2）已知直线与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．（2024高二下·深圳开学考）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②．
则称这样的数表具有性质P．
（1）若数表具有性质P，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
（2）对于具有性质P的数表，当取最大值时，求证：存在正整数．
使得；
（3）对于具有性质Р的数表，当n为偶数时，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
则解得：则
则复数在复平面上对应的点为，在第四象限.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查复数的除法运算、复数相等的充要条件、复数的几何意义，利用复数的除法运算化简复数，再根据复数相等解得a的值，即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，则，
又，则即解得：，则，
故
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积，根据平面向量的坐标运算得到，再根据向量共线的条件解出m的值，最后进行数量积运算即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由意义可得点恰好在抛物线上，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时直线l与抛物线有两个交点，故不满足题意；
当直线l与x轴平行即斜率为0时，直线l的方程为：，此时直线l与抛物线只有一个交点满足题意，
又点M在抛物线上，过点M有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
综上所述，过点M与抛物只有一个公共点的直线只有两条.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查直线的斜率问题、抛物线的切线问题，根据题意分直线的斜率不存在、存在且为0、不存在不为0，三种情况进行讨论即可求解.
4．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面边长为，正四棱台的高为，
因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，所以，即，
所以，
故该正四棱台的体积为.
故答案为：C.
【分析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四棱台的高为，可得出，求出的值，再求该正四棱台的体积即可.
5．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对于① ：，故A选项正确；
对于② ：若、共线，则或，故② 错误；对于③ ：若，则，共线 ，则③正确；对于④：当时，，，即，化简得：，即，若z=0，则，即点，A，B三点共线，则P，A，B，C四点共面，若则四点共面，综上，当时，P，A，B，C四点共面 ，故④错误 ，则不正确命题的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查向量共线的条件，空间向量的加法，根据向量共线的条件，空间向量的加法，空间向量共面定理对各个选项逐一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：根据导数的几何意义可得：表示以点A为切点的切线的斜率，同理表示以点B为切点的斜率；由函数的图像可得：，由有斜率公式可得：且故.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、斜率公式，根据导数的几何意义及函数的图像可得：，再根据斜率公式进行比较即可求解.
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据函数的图像可得：函数的最大值：则
所以又点在函数图象上，则可得：，且，则，所以
又将点代入得：即
可解得：，又解得：则
对于A选项：不是函数的最值，故直线不是函数的对称轴，故A选项错误；
对于B选项：由则点不是函数的对称中心，即B选项错误；
对于C选项：由，可得：，根据正弦函数的性质可得：在上单调递减，
故函数在区间上单调递减，即C选项正确；
对于D选项：，可得：，当时，即时又
故函数在区间上的值域为即D选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查根据三角函数图象求参数、三角函数的值域、对称轴等基本型性质，首先根据三角函数的图象求出参数A、B、，求出函数的解析式，然后计算的值即可判定A选项；计算的值即可判定B选项；根据正弦函数的单调性即可判定C选项；根据可得，再结合正弦函数的值域即可判定D选项.
8．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A选项：∵，，，，∴，故A选项正确；
对于B选项：由题意可得： 数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列为1，1，0，1，1，0…，即为最小正周期为3的数列，
可得：，故B选项正确；
对于C选项：∵，，，，
∴
，则 数列的前2021项的和为，即C选项错误；
对于D选项：，，，故，故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查 Fibonacci数列的运用，以及数列的周期性、数列的求和，根据Fibonacci数列 的定义，结合结合数列的的周期性和数列的累加法求和，对各个选项进行判定即可求解.
9．【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，根据两点之间的距离公式可得：，又根据题意可得：，化简得：，即动点N的轨迹方程为：即A选项正确；
方程表示圆为为B半径为2的圆，圆心B到直线的距离为：则的最小值为故B选项错误；
则当M，N，A三点共线时，有最小值，最小值为点A到直线的距离为则C选项正确；
对于D选项：当最大时，ON与圆B相切，此时则D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查了圆的轨迹方程、圆上的点与直线之间的距离、点到直线的距离公式，根据两点之间的距离公式及题意可求得点N的轨迹方程，即可验证A选项，由圆上的点到直线距离的最小值即可判定B选项；由三点共线求距离之和的最小值即可判定C选项；由直线与圆的位置关系即可求，从而验证D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：对于A选项：∵随着n的增大而增大，∴ 不存在常数M，使得恒成立 ，即A选项错误；
对于B选项：∵∴是 数列 的第2036项，故B选项正确；
对于C选项：，故C选项正确；对于D选项：由C选项知：，设
则解得：则满足不等式的正整数n的最小值是2036+64=2100，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题主要考查等比数列求和、等差数列的求和公式、指数不等式的解法，利用等比数列的求和公式即可判断A选项；由分析可得随着n的增大而增大，即可判定B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项，D选项结合C选项建立不等式解出不等式即可求解.
11．【答案】A,C,D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：对于A选项： 当点与点重合时 ，由正方体的性质可得：则四点共面，则直线平面ACM ，即A选项正确；
如图以点D为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，又点为中点，
设，，，，则，，，设平面ACM的法向量为，则，
即，令x=1，解得：y=1，z=t，则，
故点D到平面ACM的距离为：，显然d随t的变化而变化，故B选项错误；
对于C选项： 当M点与点重合时， 由B选项知：，则
可设平面的法向量为：，设 平面ACM与平面夹角为，
则则故C选项正确；
对于D选项：连接，并在上底面内将直线沿着的方向平移，直至该直线经过点M，交于点，交于点N，
因为故四边形为平行四边形，则又则
又因为点，则平面截正方体所得的图形为四边形，
可以为坐标原点，在上底面建立如下图所示的平面直角坐标系，则
，，因为M位线段中点，则，根据直线则，
设直线PN的方程为：，将点M代入得：解得：则
则点P位于线段的四分之一等分点处，且靠近，点N位于线段的四分之一等分点处，
且靠近点，则且
则四边形APCN为等腰梯形，则其高为：
，则故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查线面平行的判定及性质、运用空间向量解决点到平面的距离及二面角的问题，对于A选项：利用正方体的性质及平行线确定一个平面即可判定；对于BC选项建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法进行判定即可，D选项利用平行作出截面图形，然后求出相关长度，再利用等腰梯形的面积公式计算即可求解.
12．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写答案即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设则因为为偶函数且 ，当时， ，
则，则求导可得：、
故故曲线在点处的切线方程是：，即.
故答案为：.
【分析】本题主要考查函数的奇偶性、导数的几何意义，根据函数的奇偶性及题意可求得时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义求得 曲线在点处的切线的斜率，然后运用点斜式写出切线方程即可求解.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可得点F，A的坐标分别为：，
设点P的坐标为，则，
所以
又因为点P在椭圆上，则，由①②可得：，
则其对称轴直线方程为：又，则对称轴直线方程为：
因为，故当时，取得最大值：
又可解得：
则在椭圆中：即椭圆的方程为：
故答案为：.
【分析】本题主要考查椭圆的标准方程及基本性质、向量的坐标运算、二次函数求最值，设点P的坐标为，根据题意得到点F，A的坐标，然后运用向量的坐标运算得到的表达式，然后再运用二次函数的单调性可得：当时有最大值，再结合 离心率 进行求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，，，即切点，
，则，
所以切线，即
（2）解：定义域为R，恒成立，所以恒成立，即恒成立．
设，则，，
令，解出．
所以，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即
故实数a的取值范围．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的单调区间找最值.
（1）将代入函数，求出解析式，然后求导，利用导数的几何意义得到曲线在点处的切线的斜率，然后再运用点斜式写出直线方程即可求解；
（2）利用分离参数的方法将原问题转化为：即恒成立，然构造新函数，求导，判定导数的正负，确定函数的单调性，从而找到最小值，即可求解.
16．【答案】（1）证明：.
.即.
.
.
即.
再由正弦定理得：（显然为锐角），
结合，
得：.
即（显然为锐角）.
所以
（2）解：如图：设，则.
因为，所以，
.
故
当且仅当，即时取等号.
此时，故为等边三角形，即
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出，再结合余弦定理得出，再利用正弦定理和三角形中内角和为180°的性质以及两角和的正弦公式，进而由同角三角函数基本关系式，进而证出；
（2）设，则，再利用角之间的关系式和两角差的正切公式，进而由基本不等式求最值的方法，进而得出的正切的最大值，从而得出此时角B的正切值，进而得出角B的值，从而结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，从而得出角D的正切值.
17．【答案】（1）证明：四棱锥中，底面ABCD，平面ABCD，则，
而，即，
又，PA，平面PAC，
所以平面PAC．
（2）解：在平面ABCD内作，由底面ABCD可得Ax，AB，AP两两垂直，以射线Ax，AB，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，，则，即是正三角形，，，而，则，设点，
，，，令平面DPC的一个法向量，
则，令，得，
由（1）知平面PAC的法向量，
因二面角的余弦值为，则，
解得，
则，，令平面PBC的一个法向量，
则，令，得，
又，所以A点到平面PBC的距离．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的判定、利用空间向量解决点到平面的距离问题.
（1）根据已知条件及线面垂直的性质可得：，再根据已知条件可得，然后根据线面垂直的判定定理即可求证；
（2）在平面ABCD内作，由底面ABCD可得Ax，AB，AP两两垂直，以射线Ax，AB，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，并求得平面DPC的一个法向量，由（1）知平面PAC的法向量，因二面角的余弦值为，可解得t的值，从而求得平面PBC的一个法向量，根据A点到平面PBC的距离进行求解即可.
18．【答案】（1）解：由题可得解得.
故的标准方程为.
（2）解；由题意可知直线的斜率存在，设直线.
联立整理得，
则，即.
由（1）可知的渐近线方程为和.
不妨设直线与直线的交点为，与直线的交点为.
联立解得即.
联立解得即.
由，
得.
因为，所以，所以，即.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式、点与双曲线的位置关系和代入法、双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2）由题意可知直线的斜率存在，从而设出直线方程，再联立直线与双曲线方程结合判别式法得出，由（1）可知双曲线的渐近线方程，不妨设直线与直线的交点为，与直线的交点为，联立两直线方程得出点A，B的坐标，从而得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示判断出是定值，求求出其定值。
19．【答案】（1）解：满足条件的数表为，，
所以的值分别为5，5，6
（2）证明：若当取最大值时，存在，使得．
由数表具有性质P可得j为奇数，
不妨设此时数表为
①若存在（k为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，
所以存在，使得
②若对任意的（k为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况
综上可知，存在正整数，使得
（3）解：当n为偶数时，令，，对任意具有性质P数表，一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此．②
记，．
由①＋②得；．
又，可得
构造数表
可知数表具有性质P，且．|
综上可知，当n为偶数时，的最大值为．
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；反证法的应用
【解析】【分析】本题主要考查反证法的运用、定义题型的理解及解法.
（1）根据题意写出满足性质P得所有数表，然后再分别计算即可；
（2）根据题意，可知 当取最大值时 ，存在，使得，再由数表具有性质P可得j为奇数，不妨设此时数表为，再运用反证法进行求解即可；
（3）结合性质P可得：，，然后两式相加可得：，再结合，可得，从而可以构造出数表，最后在结合性质P进行求解即可.
1 / 1广东省深圳市深圳科学高中2023-2024学年高二下学期数学开学考试试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．（2024高二下·深圳开学考）已知i为复数单位，，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
则解得：则
则复数在复平面上对应的点为，在第四象限.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查复数的除法运算、复数相等的充要条件、复数的几何意义，利用复数的除法运算化简复数，再根据复数相等解得a的值，即可得到答案.
2．（2024高二下·深圳开学考）已知向量，，或，则（ ）
A．－8 B．－7 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的数量积运算；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，则，
又，则即解得：，则，
故
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积，根据平面向量的坐标运算得到，再根据向量共线的条件解出m的值，最后进行数量积运算即可求出答案.
3．（2024高二下·深圳开学考）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由意义可得点恰好在抛物线上，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时直线l与抛物线有两个交点，故不满足题意；
当直线l与x轴平行即斜率为0时，直线l的方程为：，此时直线l与抛物线只有一个交点满足题意，
又点M在抛物线上，过点M有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
综上所述，过点M与抛物只有一个公共点的直线只有两条.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查直线的斜率问题、抛物线的切线问题，根据题意分直线的斜率不存在、存在且为0、不存在不为0，三种情况进行讨论即可求解.
4．（2024高三下·浙江开学考）如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（ ）
A．36 B．32 C．28 D．24
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面边长为，正四棱台的高为，
因为每个直三棱柱的体积为，每个四棱锥的体积为，所以，即，
所以，
故该正四棱台的体积为.
故答案为：C.
【分析】设每个直三棱柱高为，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为，设正四棱台的高为，可得出，求出的值，再求该正四棱台的体积即可.
5．（2024高二下·深圳开学考）给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若，则，共线；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若且（其中x，y，），则P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对于① ：，故A选项正确；
对于② ：若、共线，则或，故② 错误；对于③ ：若，则，共线 ，则③正确；对于④：当时，，，即，化简得：，即，若z=0，则，即点，A，B三点共线，则P，A，B，C四点共面，若则四点共面，综上，当时，P，A，B，C四点共面 ，故④错误 ，则不正确命题的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查向量共线的条件，空间向量的加法，根据向量共线的条件，空间向量的加法，空间向量共面定理对各个选项逐一判断即可.
6．（2024高二下·深圳开学考）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：根据导数的几何意义可得：表示以点A为切点的切线的斜率，同理表示以点B为切点的斜率；由函数的图像可得：，由有斜率公式可得：且故.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、斜率公式，根据导数的几何意义及函数的图像可得：，再根据斜率公式进行比较即可求解.
7．（2024高二下·深圳开学考）已知函数的部分图象如图，则函数（ ）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点对称
C．在区间上单调递减
D．在区间上的值域为
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据函数的图像可得：函数的最大值：则
所以又点在函数图象上，则可得：，且，则，所以
又将点代入得：即
可解得：，又解得：则
对于A选项：不是函数的最值，故直线不是函数的对称轴，故A选项错误；
对于B选项：由则点不是函数的对称中心，即B选项错误；
对于C选项：由，可得：，根据正弦函数的性质可得：在上单调递减，
故函数在区间上单调递减，即C选项正确；
对于D选项：，可得：，当时，即时又
故函数在区间上的值域为即D选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查根据三角函数图象求参数、三角函数的值域、对称轴等基本型性质，首先根据三角函数的图象求出参数A、B、，求出函数的解析式，然后计算的值即可判定A选项；计算的值即可判定B选项；根据正弦函数的单调性即可判定C选项；根据可得，再结合正弦函数的值域即可判定D选项.
8．（2024高二下·深圳开学考）若数列满足，，，，则称数列Fibonacci数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（ ）
A．
B．数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列，若数列的前n项和为，则
C．记，则数列的前2021项的和为
D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A选项：∵，，，，∴，故A选项正确；
对于B选项：由题意可得： 数列各项除以2后所得的余数构成一个新数列为1，1，0，1，1，0…，即为最小正周期为3的数列，
可得：，故B选项正确；
对于C选项：∵，，，，
∴
，则 数列的前2021项的和为，即C选项错误；
对于D选项：，，，故，故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查 Fibonacci数列的运用，以及数列的周期性、数列的求和，根据Fibonacci数列 的定义，结合结合数列的的周期性和数列的累加法求和，对各个选项进行判定即可求解.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2024高二下·深圳开学考）已知M为直线上的一点，动点N与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点N的轨迹方程为
B．
C．的最小值为
D．的最大角为
【答案】A,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，根据两点之间的距离公式可得：，又根据题意可得：，化简得：，即动点N的轨迹方程为：即A选项正确；
方程表示圆为为B半径为2的圆，圆心B到直线的距离为：则的最小值为故B选项错误；
则当M，N，A三点共线时，有最小值，最小值为点A到直线的距离为则C选项正确；
对于D选项：当最大时，ON与圆B相切，此时则D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查了圆的轨迹方程、圆上的点与直线之间的距离、点到直线的距离公式，根据两点之间的距离公式及题意可求得点N的轨迹方程，即可验证A选项，由圆上的点到直线距离的最小值即可判定B选项；由三点共线求距离之和的最小值即可判定C选项；由直线与圆的位置关系即可求，从而验证D选项.
10．（2024高二下·深圳开学考）已知数列：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的项是，，，再接下来的项是，，，，，，，依此类推），其前n项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．存在常数M，使得恒成立
B．是的第2036项
C．
D．满足不等式的正整数n的最小值是2100
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：对于A选项：∵随着n的增大而增大，∴ 不存在常数M，使得恒成立 ，即A选项错误；
对于B选项：∵∴是 数列 的第2036项，故B选项正确；
对于C选项：，故C选项正确；对于D选项：由C选项知：，设
则解得：则满足不等式的正整数n的最小值是2036+64=2100，故D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题主要考查等比数列求和、等差数列的求和公式、指数不等式的解法，利用等比数列的求和公式即可判断A选项；由分析可得随着n的增大而增大，即可判定B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项，D选项结合C选项建立不等式解出不等式即可求解.
11．（2024高二下·深圳开学考）如图，在边长为1的正方体中，E是的中点，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．当M点与点重合时，直线平面ACM
B．当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值
C．当M点与E点重合时，平面ACM与平面夹角的正弦值为
D．当M点为线段中点时，平面ACM截正方体所得截面面积为
【答案】A,C,D
【知识点】平面的基本性质及推论；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：对于A选项： 当点与点重合时 ，由正方体的性质可得：则四点共面，则直线平面ACM ，即A选项正确；
如图以点D为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，又点为中点，
设，，，，则，，，设平面ACM的法向量为，则，
即，令x=1，解得：y=1，z=t，则，
故点D到平面ACM的距离为：，显然d随t的变化而变化，故B选项错误；
对于C选项： 当M点与点重合时， 由B选项知：，则
可设平面的法向量为：，设 平面ACM与平面夹角为，
则则故C选项正确；
对于D选项：连接，并在上底面内将直线沿着的方向平移，直至该直线经过点M，交于点，交于点N，
因为故四边形为平行四边形，则又则
又因为点，则平面截正方体所得的图形为四边形，
可以为坐标原点，在上底面建立如下图所示的平面直角坐标系，则
，，因为M位线段中点，则，根据直线则，
设直线PN的方程为：，将点M代入得：解得：则
则点P位于线段的四分之一等分点处，且靠近，点N位于线段的四分之一等分点处，
且靠近点，则且
则四边形APCN为等腰梯形，则其高为：
，则故D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查线面平行的判定及性质、运用空间向量解决点到平面的距离及二面角的问题，对于A选项：利用正方体的性质及平行线确定一个平面即可判定；对于BC选项建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法进行判定即可，D选项利用平行作出截面图形，然后求出相关长度，再利用等腰梯形的面积公式计算即可求解.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2024高一上·越秀期末）命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写答案即可.
13．（2024高二下·深圳开学考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：设则因为为偶函数且 ，当时， ，
则，则求导可得：、
故故曲线在点处的切线方程是：，即.
故答案为：.
【分析】本题主要考查函数的奇偶性、导数的几何意义，根据函数的奇偶性及题意可求得时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义求得 曲线在点处的切线的斜率，然后运用点斜式写出切线方程即可求解.
14．（2024高二下·深圳开学考）如图，椭圆的离心率，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，Р是椭圆上任意一点，若的最大值是12，则椭圆方程为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可得点F，A的坐标分别为：，
设点P的坐标为，则，
所以
又因为点P在椭圆上，则，由①②可得：，
则其对称轴直线方程为：又，则对称轴直线方程为：
因为，故当时，取得最大值：
又可解得：
则在椭圆中：即椭圆的方程为：
故答案为：.
【分析】本题主要考查椭圆的标准方程及基本性质、向量的坐标运算、二次函数求最值，设点P的坐标为，根据题意得到点F，A的坐标，然后运用向量的坐标运算得到的表达式，然后再运用二次函数的单调性可得：当时有最大值，再结合 离心率 进行求解即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高二下·深圳开学考）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，，即切点，
，则，
所以切线，即
（2）解：定义域为R，恒成立，所以恒成立，即恒成立．
设，则，，
令，解出．
所以，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即
故实数a的取值范围．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的单调区间找最值.
（1）将代入函数，求出解析式，然后求导，利用导数的几何意义得到曲线在点处的切线的斜率，然后再运用点斜式写出直线方程即可求解；
（2）利用分离参数的方法将原问题转化为：即恒成立，然构造新函数，求导，判定导数的正负，确定函数的单调性，从而找到最小值，即可求解.
16．（2024高三上·邵阳模拟）在中，角所对的边分别为，向量，向量，且.
（1）求证：；
（2）延长至点，使得.当最大时，求的值.
【答案】（1）证明：.
.即.
.
.
即.
再由正弦定理得：（显然为锐角），
结合，
得：.
即（显然为锐角）.
所以
（2）解：如图：设，则.
因为，所以，
.
故
当且仅当，即时取等号.
此时，故为等边三角形，即
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出，再结合余弦定理得出，再利用正弦定理和三角形中内角和为180°的性质以及两角和的正弦公式，进而由同角三角函数基本关系式，进而证出；
（2）设，则，再利用角之间的关系式和两角差的正切公式，进而由基本不等式求最值的方法，进而得出的正切的最大值，从而得出此时角B的正切值，进而得出角B的值，从而结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，从而得出角D的正切值.
17．（2024高二下·深圳开学考）四棱锥中，底面ABCD，，，，．
（1）求证：平面PAC；
（2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
【答案】（1）证明：四棱锥中，底面ABCD，平面ABCD，则，
而，即，
又，PA，平面PAC，
所以平面PAC．
（2）解：在平面ABCD内作，由底面ABCD可得Ax，AB，AP两两垂直，以射线Ax，AB，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，，则，即是正三角形，，，而，则，设点，
，，，令平面DPC的一个法向量，
则，令，得，
由（1）知平面PAC的法向量，
因二面角的余弦值为，则，
解得，
则，，令平面PBC的一个法向量，
则，令，得，
又，所以A点到平面PBC的距离．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的判定、利用空间向量解决点到平面的距离问题.
（1）根据已知条件及线面垂直的性质可得：，再根据已知条件可得，然后根据线面垂直的判定定理即可求证；
（2）在平面ABCD内作，由底面ABCD可得Ax，AB，AP两两垂直，以射线Ax，AB，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，写出各相关点的坐标，并求得平面DPC的一个法向量，由（1）知平面PAC的法向量，因二面角的余弦值为，可解得t的值，从而求得平面PBC的一个法向量，根据A点到平面PBC的距离进行求解即可.
18．（2024高三上·宝安期末）已知双曲线的离心率是3，点在上.
（1）求的标准方程.
（2）已知直线与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：由题可得解得.
故的标准方程为.
（2）解；由题意可知直线的斜率存在，设直线.
联立整理得，
则，即.
由（1）可知的渐近线方程为和.
不妨设直线与直线的交点为，与直线的交点为.
联立解得即.
联立解得即.
由，
得.
因为，所以，所以，即.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式、点与双曲线的位置关系和代入法、双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线的标准方程。
（2）由题意可知直线的斜率存在，从而设出直线方程，再联立直线与双曲线方程结合判别式法得出，由（1）可知双曲线的渐近线方程，不妨设直线与直线的交点为，与直线的交点为，联立两直线方程得出点A，B的坐标，从而得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示判断出是定值，求求出其定值。
19．（2024高二下·深圳开学考）已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：
①；
②．
则称这样的数表具有性质P．
（1）若数表具有性质P，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
（2）对于具有性质P的数表，当取最大值时，求证：存在正整数．
使得；
（3）对于具有性质Р的数表，当n为偶数时，求的最大值．
【答案】（1）解：满足条件的数表为，，
所以的值分别为5，5，6
（2）证明：若当取最大值时，存在，使得．
由数表具有性质P可得j为奇数，
不妨设此时数表为
①若存在（k为偶数，），使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，
调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，
所以存在，使得
②若对任意的（k为偶数，），都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况
综上可知，存在正整数，使得
（3）解：当n为偶数时，令，，对任意具有性质P数表，一方面，，
因此．①
另一方面，，
因此．②
记，．
由①＋②得；．
又，可得
构造数表
可知数表具有性质P，且．|
综上可知，当n为偶数时，的最大值为．
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；反证法的应用
【解析】【分析】本题主要考查反证法的运用、定义题型的理解及解法.
（1）根据题意写出满足性质P得所有数表，然后再分别计算即可；
（2）根据题意，可知 当取最大值时 ，存在，使得，再由数表具有性质P可得j为奇数，不妨设此时数表为，再运用反证法进行求解即可；
（3）结合性质P可得：，，然后两式相加可得：，再结合，可得，从而可以构造出数表，最后在结合性质P进行求解即可.
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