2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 2个课时 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
第2章一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【输入学校全称】
（第1课时）
1
新课导入
回顾
一次函数y＝－x＋2的图象与x轴的交点为 （1，0）；
与 y 轴的交点为（0，2） 。
1
x
y
o
2
得出：一元一次方程－x＋2＝0的根为 X=1 。
你能看出一次函数坐标和一元一次方程的解之间的联系吗？
思考
规律：
一次函数y＝ax＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程ax＋b＝0的根
2
探究新知
探究
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
1
【解】∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则 x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程x2-3x+2=0的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
思考
O
A
B
x1
x2
y
x
新知【1】
二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的__零点__
规律：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1， 0 ）， B（ x2， 0 ）
O
A
B
x1
x2
y
x
探究
研究二次函数图象y=ax2+bx+c与x轴的交点：
2
O
y
x
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
新知【2】
二次函数图像与一元二次方程的根的规律
y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 函数的图象
有两个交点 有两个不相等的实数根 >0
只有一个交点 有两个相等的实数根 =0
没有交点 没有实数根 <0
x
y
o
x
y
o
x
y
o
练习
已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
则k的取值范围是（ ）
A、k＜4 B、k ≤ 4
C、k＜4 且 k ≠ 3 D、k ≤ 4 且 k ≠ 3
D
新知【3】
一元二次不等式的定义
一般地，我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式
一般表达式：
ax2＋bx＋c>0 (≥0)
ax2＋bx＋c<0 (≤0)
其中a，b，c均为常数，a≠0
探究
方程x2-3x+2=0的根为1，2，画出二次函数图象y=x2-3x+2，研究以下情况：
3
O
(1,0)
y
x
(2,0)
（1）当 x=1或x=2 时，y=0.
（2）当 1（3）当 x<1或x>2 时，y>0.
由图像可知不等式解集：
x2-3x+2<0 的解集为 {x| 1x2-3x+2>0 的解集为 {x| x<1或x>2 }
新知【4】
一元二次不等式的解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系
> 0 = 0 < 0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不等实数根 x1, x2 (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
x
y
o
x
y
o
x
y
o
练习
解不等式：
（1） x2－x－12 ≥ 0 （2） x2 - 2x + 3 < 0
【解析】
先判断=49>0
方程x2－x－12 = 0的解：
x=-3或x=4
不等式解集为：
{x | x ≤-3 或 x ≥ 4}
【解析】
先判断=-8<0
方程x2－2x + 3 = 0无实数根
不等式解集为：

归纳
解一元二次不等式方法与步骤
化不等式为标准形式：ax 2＋bx＋c>0(a>0)或ax 2＋bx＋c<0(a>0)；
图像法 判断，求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； 由图象得出不等式的解集 代数法
将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m3
随堂检测
检测
1．不等式－6x 2－x＋2≤0的解集是（ ）.
【答案】　B
检测
2．填空
{x|－4Δ < 0
{x|－12．填空 (3) 解析：
检测
检测
3．若不等式ax 2＋8ax＋21<0的解集是{x |－7【解】
由题意可知：方程ax 2＋8ax＋21＝0
的两个根为－7和－1.
∴－7×(－1)＝ ，故a＝3.
检测
4
课堂总结
总结
（1）三个二次的关系
（2）解一元二次不等式
不等式ax2+bx+c>0或<0(a≠0)的解集端点
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
函数y=ax2+bx+c (a≠0)图像与x轴交点横坐标
二次系数a化为正数(a>0)
能分解直接因式分解，不能则判断
求方程的根/或画图像找交点
写解集，大于取两边，小于取中间
第2章一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【输入学校全称】
（第2课时）
1
新课导入
温习
解下列不等式：
（1）－x 2＋3x－5＞0； （2）x 2－4x－5≤0
（1）【解】
原不等式可化为x 2－6x＋10＜0，
Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，
∴ 方程x 2－6x＋10＝0无实根
又二次函数y＝x 2－6x＋10的图象开口向上，
∴ 原不等式的解集为 .
（2）【解】
将不等式因式化解可得，
(x－5)(x＋1)≤0，
∴ 原不等式的解集为{x |－1≤x≤5}．
几何法
代数法
2
探究新知
探究
解关于x 的不等式(a∈R)：
2x 2＋ax＋2>0；
不同？
含参数a
归纳
解含参的一元二次不等式方法与步骤
讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
练习
解关于x 的不等式(a∈R)：
ax 2－(a＋1)x＋1<0.
练习
你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
探究
【解】设围成的矩形一边的长为x m，
则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.
由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，
即x 2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成
一个面积大于600 m2的矩形．
归纳
运用一元二次不等式解实际问题
理解题意，搞清量与量之间的关系；
建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
3
随堂检测
检测
【答案】　B
检测
【答案】　B
检测
3．若不等式(a－2)x 2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a 的取值范围.
【解】
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时解集为R
解得－2综上所述，a 的取值范围为(－2,2].
4．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a－7)x＋3＋a－2a 2<0的解集，
且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．
检测
检测
检测
5. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：ｍ）和汽车刹车前的车速（单位：ｋｍ/ｈ）之间有如下关系：+
刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5ｍ，
那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到１ｋｍ/ｈ）？
检测
【解】
根据题意，得+>39.5
移项整理，得
对于方程，
Δ＞０，方程有两个实数=, =
根画出二次函数的图象,
结合图象得不等式的解集为｛v｜v＜v１，或v＞v２｝，
从而原不等式的解集为｛v｜v＜v１，或v＞v２｝，因为车速v＞0，所以v＞ v２ ．
而79.9＜ v２ ＜80，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80ｋｍ／ｈ．
4
课堂总结
总结
（1）温习 解一元二次不等式 二项系数化正
代数法：因式分解
几何法：判断Δ，依据图像关系，给出解集
（2）拓展 解带参一元二次不等式 判断参数取值范围<->二项系数正负（注意为0的判断）
以参数不同取值范围分别求解，步骤同上
（3）拓展 用不等式解实际问题 依题意列出不等式
按步骤解不等式