专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算 课件（共72张PPT）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

(共72张PPT)
专题01 数与式、方程与
不等式的性质及运算
2024年中考数学二轮复习讲练测
目录
CONTENTS
01
02
知识建构
03
考点精讲
考情分析
第一部分
考情分析
稿定PPT
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02
考点要求 命题预测
数与式的相关运算 中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.
方程与不等式的相关运算 方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用.
第二部分
知识建构
稿定PPT
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02
第三部分
考点精讲
考点一 数与式的相关运算
1、实数的相关概念
相关概念 概念 补充与拓展
数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数
（简称大数-小数）.
相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧.
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.
正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.
若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离
|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离
|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离
考点一 数与式的相关运算
倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数.
若a、b互为倒数，则ab=1
互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
倒数是本身的只有1和-1.
乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数.
规定：a0=1（a≠0）
相关概念 概念 补充与拓展
算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根
平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数.
0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
考点一 数与式的相关运算
整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.
添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号，
括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.
2、实数的非负性及性质
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
3、整式的加减运算
考点一 数与式的相关运算
4、整式的乘除运算
整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项
单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；
②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式
2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.
多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，
②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　
多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式；
②再把所得的商相加 　
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
考点一 数与式的相关运算
五、二次根式的运算
乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： = .
除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）.
加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
即：；
混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
题型01 实数的混合运算
1）常见实数的运算：
运算 法则 特殊计算
乘方 ①（-a）n= an n为偶数 ②（-a）n= -an n为奇数 ①（-1）n = 1 n为偶数
②（-1）n = -1 n为奇数
零次幂 a0=1 （a≠0）
负整数的指数幂 a-n = （a≠0，n为正整数） a-1= （a≠0）
去括号 ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b
去绝对值符号 ①|a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a提分笔记
1）常见实数的运算：
幂的运算 公式 补充说明
同底数幂相乘 am·an＝am＋n
（m，n都是整数） 1.逆用公式：am＋n =am·an
2.【扩展】am·an·ap＝am＋n+p （m，n，p都是正整数）
幂的乘方 (am)n＝amn
（m，n都是整数） 1.负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负.
2.逆用公式：amn＝(am)n
3.【扩展】((am)n) p＝amnp（m，n，p都是正整数）
　
积的乘方 (ab)n＝anbn
（n为整数） 1.逆用公式：anbn＝(ab)n
2.【扩展】(abc)n＝anbncn
同底数幂相除 am÷an＝am-n
（a≠0，m，n都为整数） 1. 关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数.
2.逆用公式：am-n＝am÷an（a≠0，m、n都是正整数）.
3. .【扩展】am÷an÷ap＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数）.
零指数幂：a0=1（a≠0）
负整数指数幂：a-n=
（a≠0，n为正整数）
题型01 实数的混合运算
提分笔记
1）常见实数的运算：
乘法公式 基础 变形
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 1.通过移项变形
① a2+b2＝(a+b)2-2ab ② 2ab=(a+b)2-(a2+b2)
用法：已知a+b、ab、a2+b2中的两项求另一项的值（知二求一）.
2.a+b与a-b的转化
① (a+b)2＝(a-b)2+4ab ② (a-b)2＝(a+b)2-4ab
③ (a+b)2 -(a-b)2＝4ab ④ (a+b)2 +(a-b)2 =2(a2+b2)
用法：已知a+b、ab、a-b 中的两项求另一项的值（知二求一）.
3.特殊结构① (x+ )2＝x2+2＋
② x2＋ =(x＋)2-2
③ (x- )2＝x2-2＋ ④ x2- =(x -)2+2
4.扩展 ① (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3
② (a+b+c)3＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
完全 平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 口诀：首平方，尾平方，
二倍乘积放中央. 提分笔记
题型01 实数的混合运算
2）特殊三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
cos
tan 1
3)实数运算的“两个关键”：
①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
题型01 实数的混合运算
提分笔记
1．（2023·云南·统考中考真题）计算：．
【详解】解：
．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）计算：
【详解】解：原式
．
题型01 实数的混合运算
1．（2023·广东肇庆·统考三模）计算：．
【详解】解：原式
题型01 实数的混合运算
题型02 整式的混合运算及化简求值
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
提分笔记
6.利用“无关”求值：
①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；
②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．
8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．
9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．
10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．
13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
题型02 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【详解】解：原式==；
当x=时，原式==3+1-=-．
3．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的
实数根，求T的值．
【详解】（1）解：T==；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴， ∴，
则T=．
题型02 整式的混合运算及化简求值
1．（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：，其中，
【详解】解：，
当，时，原式．
题型02 整式的混合运算及化简求值
题型03 因式分解的运算及应用
概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形. 基本
方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
进阶
方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.
【特殊】因式分解：ax2+bx+c
①若a+b+c=0，则必有因式x-1 ②若a-b+c=0，则必有因式x+1
分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
换元法 如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.
例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t
则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1)
一般
步骤 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式； ②为三项时，考虑完全平方公式； ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”. 提分笔记
1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.
3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
题型03 因式分解的运算及应用
易错点拨
1．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【详解】解：，
能被3整除，∴的值总能被3整除，故选：B．
2．（2022·四川内江·统考中考真题）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
题型03 因式分解的运算及应用
1．（2023·江苏南通·统考二模）若，，则 ．
【详解】解：∵，，，
∴ ，
故答案为：．
题型03 因式分解的运算及应用
题型04 分式的混合运算及化简求值
分式运算 说明
分式的加减法 1）同分母：分母不变，分子相加减，即： .
2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即： .
分式的乘除法 1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即：
2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：
分式的乘方 把分子、分母分别乘方，即：
分式的混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
提分笔记
1．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【详解】解：原式
当时，原式，故答案是： ．
题型04 分式的混合运算及化简求值
解：原式…………第一步
…………第二步
…………第三步
……
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
一
（2）解：
．
1．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值：，其中
解：，
当时，
原式
题型04 分式的混合运算及化简求值
题型05 科学记数法
相关概念 概念 补充与拓展
科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1
当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108
提分笔记
题型05 科学记数法
1．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D．
2．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北·统考中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于．下列正确的是（ ）
A． B．
C．是一个12位数 D．是一个13位数
1．（2023·安徽·模拟预测）安徽省统计局网发布消息称，2022年前三季度，全省农林牧渔业总产值约3806亿元．其中3806亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C．3.806 D．
2．（2023·河南濮阳·统考三模）2023年“五一”假期，河南省共接待游客55180000人次，与2019年同比增长，将数据“55180000”用科学记数法表示为，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
题型05 科学记数法
题型06 二次根式的混合运算及应用
1.在使用 = 时一定要注意
2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意
3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．
4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．
5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．
6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.
易错点拨
1．（2023·内蒙古·统考中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
2．（2023·四川·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【详解】解：
，
当，时，原式．
题型06 二次根式的混合运算及应用
1．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，整理得：，∴，∴，，
∴．故选：A．
题型06 二次根式的混合运算及应用
题型07 比较大小
实数比较大小的6种基础方法：
1）数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2）类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
3）作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则①a-b>0 a>b；②a-b=0 a=b；③a-b<0 a4）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2 a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2 a5）倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a6）作商比较法：1)任意实数a，b，=1 a=b
2)任意正实数a，b，>1 a>b , <1 a>b
3)任意负实数a，b，>1 ab
高分秘籍
1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
【详解】（1）解：，
，，；
（2）解：，．
题型07 比较大小
1．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较与的大小时，可以通过如图所示几何图形解决问题：若要比较与的大小，以下数形结合正确的是（ ）
【详解】解：A．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，则无法判断大小，那么A不符合题意；
B．由图形无法利用勾股定理求得表示与的线段长度，则无法判断大小，那么B不符合题意；
C．由图形可得，但无法求得表示的线段长度，则无法判断大小，那么C不符合题意；
D．由图形可得，，
∵，∴，那么D符合题意；故选：D．
题型07 比较大小
考点二 方程与不等式的相关运算
题型01 解一元一次方程
查漏补缺
题型01 解一元一次方程
3．（2020·四川凉山·统考中考真题）解方程：
【详解】解：
2．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型01 解一元一次方程
题型02 解二元一次方程组及其应用
查漏补缺
解二元一次方程组的方法选择：
1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；
4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
题型02 解二元一次方程组及其应用
提分笔记
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于的二元一次方程组 的解满足，则m的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】解：，
得，，代入，可得，解得，故选：B．
题型02 解二元一次方程组及其应用
2．（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）A． B． C． D．
【详解】解：依题意， ，解得： ，设∴ ∵∴有最大值，最大值为故选：D．
1．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型02 解二元一次方程组及其应用
题型03 解分式方程
查漏补缺
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
题型03 解分式方程
提分笔记
1．（2023·山西·统考中考真题）解方程：．
【详解】解：原方程可化为．方程两边同乘，得．解得．
检验：当时，．∴原方程的解是．
题型03 解分式方程
1．（2023·安徽·模拟预测）解方程：．
题型03 解分式方程
题型04 根据分式方程解的情况求值
由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
易错点拨
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程有增根，则 ．
解：方程两边同时乘以，得，∴，
∵原方程有增根，∴，∴，∴，故答案为：．
题型04 根据分式方程解的情况求值
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【详解】解：解，可得，
的方程的解为非负数，，解得，
，，即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于的方程无解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
【详解】解：由题意可得，
去分母可得，，
移项合并同类项得，，
当时，即时方程无解，
当时，即时，，
∵方程无解，即是方程的增根，可得：，解得：，
∴，解得：，故选D；
题型04 根据分式方程解的情况求值
题型05 解一元一次不等式
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项；
2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.
3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;
2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号；
3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号.
移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项;
2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号.
合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项；
2）系数的符号处理要得当.
系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数;
2)当系数为负数，不等号的方向发生改变.
查漏补缺
1．（2022·河北·统考中考真题）整式的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【详解】（1）解：∵当时，；
（2） ，由数轴可知，即，，解得，
的负整数值为．
题型05 解一元一次不等式
1．（2023·安徽·模拟预测）不等式的解集是 ．
【详解】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：．
故答案为：．
题型05 解一元一次不等式
题型06 解一元一次不等式组
不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集.
将各不等式的解决在数轴上表示出来.
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
提分笔记
2．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵该不等式组无实数解，
∴，解得：，
故选：D．
题型06 解一元一次不等式组
1．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
题型06 解一元一次不等式组
题型07 解一元二次方程
解一元二次方程 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤
解 法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0） 的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2=
2）两边分别开方得x1=，x= -
配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为
(mx+a)2=b（b≥0）的形式；
4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解.
【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x=
查漏补缺
解一元二次方程 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤
解 法 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出x1，x2。
题型07 解一元二次方程
查漏补缺
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：
1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；
2）当b=0时，首选直接开平方法；
3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；
4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；
5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.
题型07 解一元二次方程
提分笔记
1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
【详解】解：∵
∴或
解得，．
2．（2023·江苏无锡·统考中考真题）解方程：
【详解】解：
解：∵，
∴ ，
∴
解得：，；
题型07 解一元二次方程
1．（2023·北京石景山·校考一模）用配方法解方程时，正确的是（　　）
A． B．原方程无解
C． D．原方程无解
2．（2023·广东河源·一模）下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(　　)
A． B．
C． D．
题型07 解一元二次方程
题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常.
根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根:
=0 方程有两个相等的实根：
＜0 方程无实根
查漏补缺
易错点拨
1. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.
2. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值.
3. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时,
1．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，∴，
∴，解得：，，
∴，即．
题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【详解】（1），
∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；
2．（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）若，则关于x的方程的实数根的个数为 ．
题型08 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型09 根据一元二次根的情况求参数
1．（2021·湖北黄石·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【详解】（1）由题意可得：
解得：即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴ 解得：或
∵∴
即的值为-2．
1．（2023·安徽六安·校考二模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的最大整数值是 ．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，，解得：，
的最大整数值是2．故答案为：2．
题型09 根据一元二次根的情况求参数
题型10 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝
一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
用根与系数的关系求值时的常见转化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2
1）平方和
2）倒数和 + =
3）差的绝对值 | x1 - x2 |=
=
解题大招
1．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
题型10 一元二次方程根与系数的关系
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴
1．（2023·安徽·校联考模拟预测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【详解】解： ，是一元二次方程的两个实数根，，即，且，
．故答案为：．
题型10 一元二次方程根与系数的关系
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