专题01 计算问题（数与式、方程组与不等式组的解法）课件（共95张PPT）-2024年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题01 计算问题（数与式、
方程组与不等式组的解法）
2024年中考数学二轮复习讲练测
目录
CONTENTS
01
02
知识建构
03
考点精讲
考情分析
第一部分
考情分析
稿定PPT
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02
考点要求
命题预测
数与式的相关运算
中考中，数与式的相关运算主要考查实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算；而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考查又占了大多数，同时试题难度并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分．
稿定PPT
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02
考点要求
命题预测
方程与不等式的相关运算
方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点．但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考查.涉及本考点的重点有：由实际问题抽象出一次方程（组）或分式方程，解方程（包含一次方程、二次方程、分式方程），一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等．不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式（组）及不等式（组）的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程（组）和不等式（组）的相关概念、性质、解法及应用．
第二部分
知识建构
稿定PPT
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02
第三部分
考点精讲
考点一 数与式的相关运算
02
考点一 数与式的相关运算
C
B
考点一 数与式的相关运算
D
C
考点一 数与式的相关运算
25
????????
?
详解见下页
考点一 数与式的相关运算
考点一 数与式的相关运算
6
n
考点一 数与式的相关运算
B
题型01 实数的混合运算
提分笔记
1. 实数的分类：
2．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
题型01 实数的混合运算
3．实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
提分笔记
题型01 实数的混合运算
提分笔记
5．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”：
①运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
题型01 实数的混合运算
提分笔记
6．熟记特殊角的三角函数值：
应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
题型01 实数的混合运算
1．（2023·浙江杭州·二模） ????=________， ??????????=________ ．
?
3
????????
?
2．（2023·浙江·一模）若?????????????+????+????=????，则????+????????????????????的值是________ ．
?
-1
3．（2023·浙江湖州·一模）计算：?????????????÷????????+?????×??????????????.????????????．
?
4．（2023·浙江衢州·三模）计算：?????+??????????????????????????????????????°．
?
【解析】原式=3-????????????????+5-1=7-????????????????=????????????????????
?
【解析】原式=2+1-2×????????=3-????
?
题型02 二次根式的性质及运算
提分笔记
1．二次根式有意义的条件
（1）判断二次根式，熟记概念：形如????（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
（3）二次根式具有非负性，即????（a≥0）是一个非负数．
?
2．二次根式的性质与化简
（1）????≥0；a≥0（双重非负性）．
（2）????2=????????≥0（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
（3）????2=????=????????>00????=0?????????<0（算术平方根的意义）．
?
题型02 二次根式的性质及运算
提分笔记
3．熟记最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母．（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
4．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：?????????=?????????（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：?????????=?????????（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：????????=????????（a≥0，b≥0）
（4）二次根式的除法法则：????????=????????（a≥0，b≥0）
?
题型02 二次根式的性质及运算
提分笔记
规律方法总结：
在使用性质?????????=?????????（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如?4??9≠?4×?9；
同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
?
题型02 二次根式的性质及运算
提分笔记
5．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
题型02 二次根式的性质及运算
提分笔记
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
题型02 二次根式的性质及运算
1．若最简根式?????????+????与?????????????是同类二次根式，则m=_________．
?
2
2．（2023·浙江·模拟预测）婷婷对“化简：????×????????”的解答过程如下：
解：原式=????????×????????=????×????×????????=????×????=????????．
试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程：若有错误，请写出正确的解答过程．
?
【解析】婷婷的解答过程正确；
另外解答如下：
????×????????=????×????????=????×????×????×????=????????×????????=????????
?
题型02 二次根式的性质及运算
3．（2023·浙江嘉兴·二模）化简：????????????????，以下是小曹同学的解答过程，思考并完成以下任务．
解：原式=??????????????①
=?????????+?????②
=2③
任务：
(1)小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；
(2)请尝试写出正确的化简过程．
?
【解析】(1)第①步，错误的原因：?????????????=?????????=?????????
?
(2)原式=??????????????=??????????????=??????????????
=?????????+????=??????????????
?
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
一．整式的加减 1. 整式的加减：
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．整式的加减实质上就是合并同类项．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题：
①整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
②去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
二．幂的运算及性质 1. 同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am?an＝am+n（m，n是正整数）．
（2）推广：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）．
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：
①底数必须相同，如23与25，????2????23与????2????24，?????????2与?????????3等；
②a可以是单项式，也可以是多项式；
③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
?
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
2. 幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
????????????=????????????（m，n是正整数）．
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；
②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
????????????=????????????????（n是正整数）．
?
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
3. 同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝am-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
三．整式的乘法 1. 单项式乘单项式
（1）运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；
④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2. 单项式乘多项式
（1）运算性质：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）注意：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；
②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；
③注意确定积的符号．
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
3. 多项式乘多项式
（1）运算性质：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）注意：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
四．乘法公式 1. 完全平方公式
（1）完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab+b2，可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：
①左边是两个数的和的平方；
②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍,其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
2. 完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
(a+b)2＝a2+2ab+b2（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
a
b
a
b
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
3. 平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
(a+b)(a-b)＝a2-b2．
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
4. 平方差公式的几何背景
常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
a
a
b
b
b
a-b
题型03 整式的混合运算及化简求值
提分笔记
五．整式的除法
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：
①系数相除；
②同底数幂相除；
③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：①多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式；
②多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
题型03 整式的混合运算及化简求值
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式x+y的值是3，则代数式2x+2y+1的值是_________．
7
2．（2023·浙江杭州·二模）已知A=a2+b2，B=a+b，C=ab，当A=5，B=3时，C=_________．
【解析】C=ab=????????[(a+b)2-(a2+b2)]=????????(9-5)=2
?
2
3．（2023·浙江杭州·二模）为了求1+2+22+?+22009的值，可令S=1+2+22+?+22009，则2S=2+22+?+22010，因此2S-S=22010-1，所以1+2+22+?+22009=22010-1．仿照以上推理计算出1+3-1+3-2+?+3-2009的值是_________．
?
【解析】令S=1+3-1+3-2+?+3-2009，则????????S=3-1+3-2+?+3-2010，
因此S-????????S=1-3-2010，即????????S=1-3-2010，所以S=??????????????????????????????
?
??????????????????????????????
?
题型03 整式的混合运算及化简求值
4．（2023·浙江杭州·二模）尝试：当a=1时，152=225=1×2×100+25．
当a=2时，252=625=2×3×100+25．
当a=3时，352=1225=3×4×100+25．……
小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答．
猜想：(10a+5)2=1225=10a(a+1)+25．
证明：(10a+5)2=1225=10a(a+1)+25，
所以10a2+100a+52=100a2+100a+25，
所以10a2=100a2，
因为a≠0，
所以10a2≠100a2，
所以等式不成立，结论错误．
【解析】猜想正确，证明错误；
证明：(10a+5)2=1225=10a(a+1)+25，
左边=100a2+100a+2，
右边=100a2+100a+2，
所以左边=右边，
所以等式成立，结论正确．
题型03 整式的混合运算及化简求值
5．（2023·浙江嘉兴·一模）对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式A=x2+4x+3，代数式B=(x-1)2+4(x-1)+3，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：
观察表格发现：当x=m时，A=x2+4x+3=n，当x=m+1时，B=(x-1)2+4(x-1)+3=n，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．
(1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
(2)若代数式x2-2x参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；
(3)若代数式4x2-3x+b参照代数式ax2-6x+c取值延后，求b-c的值．
【解析】解：(1)由题意可得：D=(x-2)2+4(x-2)+3=x2-1
(2)由题意可得：(x-A)2+4(x-A)+3=x2-2x，整理得：x2-(2k-4)2+k2-4k+3=x2-2x，
∴2k-4=2，解得：k=3
(3)解：设相应的延后值为m，
由题意可得：
a(x-m)2-6(x-m)+c=4x2-3x+b，
化简得：
ax2-(2am+6)x+am2+6m+c=4x2-3x+b，
∴a=4，2am+6=3，am2+6m+c=b，
将a=4代入2am+6=3，可得m=-????????，
∴b-c=am2+6m=-????????????????．
?
题型04 因式分解
提分笔记
1．因式分解-提公因式法
（1）具体方法：
①当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
②如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数；提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
（2）口诀：
找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；
提负要变号，变形看奇偶．
题型04 因式分解
提分笔记
2．因式分解-运用公式法
（1）如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2．
（2）概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
（3）要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
题型04 因式分解
提分笔记
3．因式分解-分组分解法
（1）分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
（2）对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：
①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by＝x(a+b)+y(a+b)＝(a+b)(x+y)；
②2xy-x2+1-y2＝-(x2-2xy+y2)+1＝1-(x-y)2＝(1+x-y)(1-x+y)．
题型03 整式的混合运算及化简求值
【解析】15x2-9xy-42y2=3(5x2-3xy-14y2)=3(x-2y)(5x+7y)
3(x-2y)(5x+7y)
1．（2023·浙江衢州·一模）分解因式：15x2-9xy-42y2=_________．
2．（2023·浙江嘉兴·一模）因式分解(3x+y)2-(x+3y)2．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：(1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因．
(2)请尝试写出正确的因式分解过程．
【解析】(1)解：从第①步开始出错的，应为(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)
(2)解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y)
=(4x+4y)(2x-2y)
=8(x+y)(x-y)
题型03 整式的混合运算及化简求值
3．（2023·浙江·模拟预测）若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．
【解析】设a、b分别为两条直角边长，则斜边长????=????????+????????，
由于a、b、c均为正整数，故a≠b，
不妨设a>b，由题意可得：????+????+????????+????????=????????????，即?????????????????+????=????????+????????，
两边平方并整理得：??????????????????????????????????????????????+????????????=????，则??????????????????????????+????=????，
∴??????????????????=????=????×????=????×????，
由于a、b为正整数，且a>b，，
故?????????=?????????????=????或?????????=?????????????=????，解得：a=12，b=5，c=13，或a=8，b=6，c=10，
所以这个直角三角形三边的长为5，12，13或6，8，10．
?
题型05 分式的混合运算及化简求值
提分笔记
1．分式的概念：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子????????叫做分式．
?
2．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
3．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
题型05 分式的混合运算及化简求值
提分笔记
4．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
5．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
题型05 分式的混合运算及化简求值
提分笔记
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
①注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
②注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式，分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
③注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
题型05 分式的混合运算及化简求值
提分笔记
6．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值；在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
①化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
②代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法；当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
题型05 分式的混合运算及化简求值
1．（2023·浙江温州·三模）化简：???????????????????????????????．
?
2．（2023·浙江杭州·二模）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：????????+?????????+?????????????????，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
(1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第____步开始出现错误；乙同学的解答从第____步开始出现错误；(2)请重新写出此题的正确解答过程．
?
1．【解析】原式=???????????????????????????????????=??????????????????????=?????????
?
-5
分母没了
二
二
2．【解析】(2)原式=?????????????????+??????????????????+????????+?????????????=???????????????????????????+?????????????=?????????????+?????????????
?
【解析】原式=???????????????????????+????????????+?????????????=????+?????????????，
∵????=?????????????+????????=????+????=????，
∴原式=????+?????????????=????．
?
题型05 分式的混合运算及化简求值
3．先化简再求值：??????????????????÷???????????????????+????????+????，其中????=?????????????+????????．
?
题型06 科学记数法与近似数
提分笔记
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
题型06 科学记数法与近似数
提分笔记
2．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n；
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
题型06 科学记数法与近似数
提分笔记
3．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律：
题型06 科学记数法与近似数
1．（2022·浙江金华·一模）根据（浙江省）金华市第七次人口普查主要数据公报显示，兰溪市常住人口为574801人，574801这个数用科学记数法（精确到万位）表示为（ ）
A．57×104 B．5.7×104 C．5.8×105 D．5.7×105
D
2．2023年2月婺城区第十届人民代表大会审议通过的政府工作报告中指出，2022年实现地区生产总值35370000000元．数35370000000用科学记数法表示为_________．
3.537×1010
考点二 方程与不等式的相关运算
02
考点二 方程与不等式的相关运算
A
考点二 方程与不等式的相关运算
x=3
考点二 方程与不等式的相关运算
x=5
考点二 方程与不等式的相关运算
考点二 方程与不等式的相关运算
x=-????????
?
考点二 方程与不等式的相关运算
-1≤x<3
详解见下页
考点二 方程与不等式的相关运算
题型01 解一元一次方程
提分笔记
1．解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
2. 解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
3. 在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即(a+b)x=c，使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
题型01 解一元一次方程
1．（2023·浙江温州·一模）解方程????+????????+?????????????????=????，以下去分母正确的是（ ）
A．4(x+2)+3(2x-1)=12 B．4(x+2)+3(2x-1)=1
C．x+2+2x-1=12 D．3(x+2)+4(2x-1)=12
?
A
2．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，m?n=m2+mn．若2?x=6，则x的值为_________．
【解析】2?x=22+2x=6，解得：x=1??
1
题型02 解二元一次方程组及其应用
提分笔记
1．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
2．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
题型02 解二元一次方程组及其应用
提分笔记
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，
用????=????????=????的形式表示．
?
题型02 解二元一次方程组及其应用
1．已知代数式?????????????????????????????与?????????????+?????????????????????????是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A．a=3，b=-1 B．a=-3，b=1 C．a=3，b=1 D．a=-3，b=-1
?
2．（23·24九年级上·浙江温州·开学考试）如图是小慧用列表法研究关于x，y的二元一次方程整数解的规律，如图是小慧列表的部分内容．由表可知m，n的值分别为（ ）
A．3，9 B．3，17 C．5，9 D．5，17
C
1．【解析】由题意可得：?????????=????+????????=?????????????????，解得：????=????????=????
?
D
2．【解析】将????=????????=?????和????=????????=????代入ax+y=b得：????=?????????+????=????，解得：????=?????????=?????，
则原方程-4x+y=-3，当x=2时，m=y=5，当x=5时，n=y=17
?
题型02 解二元一次方程组及其应用
3．若????????+????=?????????????????????=?????与????????=????+????????????????+????=?????????有相同的解，求a、b的值．
?
【解析】由题意可得：????????+????=????????????=????+????????，解得：????=????????=?????，
将????=????????=?????代入方程?????????????????=?????与方程????????+????=?????????得：????+????=?????????+????=????，解得：????=?????????=????
?
题型03 解分式方程
提分笔记
1．分式方程的解
（1）求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
（2）注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
2．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解；
所以解分式方程时，一定要检验．
题型03 解分式方程
1．解方程：?????????????+????=????+?????????????．
?
2．（2023·浙江杭州·二模）小汪解答“解分式方程：????????+??????????????????=?????????????”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：2x+3-1=-(x-1)…①，
去括号得：2x+3-1=-x+1…②，
移项得：2x+x=1+1-3…③，
合并同类项得：3x=-1…④，
系数化为1得：????=?????????…⑤，
∴????=?????????是原分式方程的解．
?
1．【解析】去分母得：3+x-2=3-x，移项、合并同类项得：2x=2，
化系数为1得：x=1，经检验，x=1是原分式方程的解．
2．【解析】错误步骤的序号为①；
去分母得：2x+3-2(x-2)=-(x-1)…①，
去括号得：2x+3-2x+4=-x+1…②，
移项得：2x-2x+x=1-3-4…③，
合并同类项得：x=-6…④，
检验：当x=-6时，x-2≠0，
∴x=-6是原分式方程的解．
题型03 解分式方程
3．解方程：（2023·浙江宁波·二模）某超市按照一种定价法则来制定商品的售价：商品的成本价a元，工商局限价b元(b>a)，以及定价系数k(0≤k≤1)来确定定价c，a、b、c满足关系式c=a+k(b-a)，经验表明，最佳定价系数k恰好使得??????????????????=???????????????????????，据此可得，最佳定价系数k的值等于________．
?
【解析】∵c=a+k(b-a)，∴????=??????????????????，∵??????????????????=???????????????????????，∴????=?????????????，
整理得：????????+?????????=????，解得：????=?????????????或????=??????????????（舍去负值），
经检验，????=?????????????是原方程的解．
?
????=?????????????
?
题型04 根据分式方程解的情况求值
提分笔记
分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
题型04 根据分式方程解的情况求值
1．若关于x的方程??????????????????=??????????????????无解，则m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．-2
?
1．【解析】去分母、去括号得：x-1＝m-x+3，
∵关于x的方程无解，∴x-3=0，即x＝3，∴3-1=m-3+3，解得：m=2．
C
2．若实数a为不大于6的非负整数，则使关于x的分式方程?????????????+??????????????????=????的解为整数的概率为（ ）A．???????? B．???????? C．???????? D．????????
?
【解析】解分式方程?????????????+??????????????????=????得：????=????+????????，
∵实数a为不大于6的非负整数，∴a=0，1，2，3，4，5，6，
显然解的分子只能是2的倍数，从而a只能取偶数；
∴当a=0时，x=2；当a=2时，x=3，方程无解，故舍去；当a=4时，x=4；
当a=6时，x=5，∴使关于的分式方程的解为整数的概率为????????．
?
D
题型04 根据分式方程解的情况求值
3．若关于x的分式方程???????????????????????????=????????????+????的解是负数，则m的取值范围是__________．
?
【解析】去分母得：???????????????????????????+?????????????=?????????????????，
去括号得：?????????????????????+??????????????????????????+????=?????????????????????，
移项、合并同类项得：?????????????????=?????，解得：????=?????????????????，
∵分式方程的解是负数，
∴????=?????????????????∵?????????≠????且????+????≠????，
∴????≠±????，?????????????????≠±????，解得：????≠????且????≠????????，
∴?????
?????
题型04 根据分式方程解的情况求值
4．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程????????????+???????????????????????????????=????????????恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
?
【解析】去分母得：????????????????+?????????????=?????????????????????，
整理得：????????????????+?????????????????+?????????????=????，
①????=????时，?????????????=????，????=????????；
②????≠????时，(i)?=???????????????????????????????????????=????时，解得：????????=????????，????????=?????????，
????????=????????时，????????=????????=????????，????????=?????????时，????????=????????=????；
(ii)?≠????，若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
????????=????时，????=????，????????=????????，????????=????时，????=????????，????????=????????．
?
题型05 解一元一次不等式
提分笔记
1. 不等式的基本性质
（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m．
（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或????????>????????．
（3）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或?????????
不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；
②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
题型05 解一元一次不等式
提分笔记
2. 解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
题型05 解一元一次不等式
1．（2023·浙江·三模）若关于x的不等式(1-m)x<1-m的解为x>1，则m的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
D
2．（2023·浙江·模拟预测）不等式x的不等式ax<2x+1对任意的实数x都能成立，则a的条件为_________．
【解析】(a-2)x<1，a=2．
a=2
3．小英解不等式????+?????????????????+????????≤????的过程如下，其中有一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3(1+x)-2(2x+1)≤1；①，
去括号得：3+3x-4x-2≤1；②，
移项得：3x-4x≤1-3+2；③，
合并同类项得：-x≤0；④，
两边都除以-1得：x≥0；⑤．
?
【解析】第①步出错了；
去分母得：3(1+x)-2(2x+1)≤6；①，
去括号得：3+3x-4x-2≤6；②，
移项得：3x-4x≤6-3+2；③，
合并同类项得：-x≤5；④，
两边都除以-1得：x≥-5；⑤．
题型06 解一元一次不等式组
提分笔记
1. 不等式组解集的确定有两种方法：
（1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
（2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
2. 解一元一次不等式组的一般步骤：
（1）求出不等式组中各不等式的解集.
（2）将各不等式的解决在数轴上表示出来.
（3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
题型06 解一元一次不等式组
1．（2023·浙江宁波·一模）解不等式组?????????????≤????????+???????????????????????
【解析】?????????????≤????????+????①??????????????????解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x>2，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示：
∴原不等式组的解集为2?
题型06 解一元一次不等式组
2．若不等式组?????????>?????????????>?????????无解，则a的取值范围是_________．
?
3．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式组?????????≤??????????????????
2．【解析】?????????>????①?????????>?????????②，解不等式①得：x>a，解不等式②得：x<1，
∵无解，∴a≥1．
?
a≥1
3．【解析】解不等式组?????????≤?????????????????????????，则????????∵恰好有四个整数解，∴四个整数解为4、5、6、7，∴7≤a<8．
?
7≤a<8
题型07 解一元二次方程
提分笔记
1. 解一元二次方程-直接开平方法
（1）形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
①如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±????；
②如果方程能化成(nx+m)2=p(p≥0)的形式，那么nx+m=±????．
（2）注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
?
题型07 解一元二次方程
提分笔记
2. 解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成(nx+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
题型07 解一元二次方程
提分笔记
3. 解一元二次方程-公式法
（1）把x=?????±????2?4????????2????(b2-4ac≥0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac<0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：
①a≠0；②b2-4ac≥0．
?
题型07 解一元二次方程
提分笔记
4. 解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
题型07 解一元二次方程
1．解方程：(1)x2=9； (2)?????????????????????????=????．
?
2．解关于x的一元二次方程(x-3)(x-6)=k的一个解为x=4，则另一个解为x=________．
1．【解析】(1)x2=9，x=±3，x1=3，x2=-3；
(2)?????????????????????????=????，?????????????????=????????，?????????????????+????????=????????+????????，
?????????????????=????，?????????????=±????，x1=????????+????，x2=?????????????．
?
2．【解析】∵一元二次方程(x-3)(x-6)=k的一个解为x=4，
∴(4-3)(4-6)=k，则k=-2，即原方程为：(x-3)(x-6)=-2，整理得：x2-9x+20=0，
∴(x-4)(x-5)=0，解得：x1=4，x2=5，即方程的另一个解为x=5．
5
题型07 解一元二次方程
3．已知实数a，b满足a+b2=1，则代数式a2-4b2+11的最小值是________．
【解析】∵a+b2=1，
∴a2-4b2+11=a2-4(1-a)+11=a2+4a+7=(a+2)2+3，
∵a=1-b2≤1，
∴当a=-2时，代数式a2-4b2+11有最小值3．
3
题型08 一元二次方程根与系数的关系
提分笔记
1. 根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
2. 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-(x1+x2)，q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
题型08 一元二次方程根与系数的关系
提分笔记
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-????????，x1x2=????????，反过来也成立，即????????=-(x1+x2)，????????=x1x2．
?
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等；
④判断两根的符号；⑤求作新方程；
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
题型08 一元二次方程根与系数的关系
1．（2023·浙江温州·三模）若关于x的方程(x-m)2-2=n有两个不相等的实数根，则n的取值范围是________．
n>-2
2．若α、β是方程x2+3x-2023=0的两个实数根，则α2+4α+β的值为________．
2．【解析】∵α、β是方程x2+3x-2023=0的两个实数，
∴α2+3α=2023，α+β=-3，
∴α2+4α+β
=α2+3α+(α+β)=2023-3=2020．
2020
3．已知关于x的一元二次方程x2-(a+1)x+a=0．
(1)求证：无论a取何实数，此方程总有两个实数根；
(2)设方程两根为x1和x2，求x1+x2-x1x2的值．
3．【解析】(1)证明：△=[-(a+1)]2-4a=a2+2a+1-4a=(a-1)2≥0，
无论a取何实数，此方程总有两个实数根；
(2)由题意可得：x1+x2=a+1，x1x2=a，
∴x1+x2-x1x2=a+1-a=1．
4．已知二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点A(1,4)，B(-1,8)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若关于x的方程ax2+bx+5-m=0有实数根，求m的取值范围．
【解析】(1)将A(1,4)，B(-1,8)代入得：????+????+????=???????????+????=????，解得：????=????????=?????，
∴二次函数的表达式为y=x2-2x+5；
?
(2)由题意可得：方程x2-2x+5-m=0有实数根，
△=(-2)2-4×1×(5-m)≥0，解得：m≥4．
题型08 一元二次方程根与系数的关系
5．（23·24九年级上·浙江宁波·期末）记Sn=na1+?????????????????d（如n=1，则S1=a1；n=2，则S2=2a2+d），其中n为正自然数，a1，d为实数．
(1)用a1和d分别表示S3，S4；
(2)若S3S4+12=0，求d2的取值范围．
?
【解析】(1)当n=3时，
S3=3a1+????×?????????????d=3a1+3d，
当n=4时，
S4=4a1+????×?????????????d=4a1+6d；
?
(2)∵S3S4+12=0，
∴(3a1+3d)(4a1+6d)+12=0，
整理得：2a12+5da1+3d2+2=0，
△=(5d)2-4×2×(3d2+2)≥0，
解得：d2≥16．
题型08 一元二次方程根与系数的关系
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