准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测
数 学 试 卷
（考试时间：120 分钟；总分：150 分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知复数 满足 1 + i = 3 + 2i，则 的实部为（ ）
5 1 5 5
A． B． C． D．
4 2 2 2
2．在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A． = B． + = C． = D． + = 0
3．下列说法中错误的是（ ）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4．已知向量 = 1, 1 ， = 1,1 ，若 + ⊥ + ，则（ ）
A． = 1 B． + = 1 C． = 1 D． + = 1
5．下列说法错误的是（ ）
A． = B． 1 ， 2 是单位向量，则 1 = 2
C．若 > ，则 > D．两个相同的向量的模相等
6．已知 , , 为三个不同的平面， , , 为三条不同的直线，若 ∩ = ， ∩ = ， ∩ = ， // ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 与 相交 B． 与 相交 C． // D． 与 相交
7．第九届中国国际“互联网＋”大学生创业大赛于 2024年 2月 18日至 21日
在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如
图，某区域地面有四个 5G基站，分别为 A，B，C，D．已知 C，D 两个基
站建在河的南岸，距离为 20km，基站 A，B 在河的北岸，测得∠ = 60°，
∠ = 105°，∠ = 30°，∠ = 60°，则 A，B 两个基站的距离为（ ）
A．10 6km B．30 3 1 km C．15km D．10 5km
数学试卷 第 1页，共 4页
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8．我国南北朝时期的著名数学家祖晅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平
行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几
何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与
半球（如图 1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底
面的圆锥后得到一新几何体（如图 2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两
1
个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积 相等，即
2 1
1 = π 2 1π 2 = 2π 3
2 2
1 ．某粮仓如图 3所示，其对应的立体图形是由双曲线 = 12 3 3 4 9
和直线 = 3及 = 3围成的封闭图形绕 轴旋转一周后所得到的几何体（如图 4），类比上述方法，运
用祖暅原理可求得该几何的体积等于（ ）
A．40π B．32π C．24π D．16π
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．已知复数 1， 2满足 3 1 + 2 = 1 2i， 1 + 3 2 = 5 + 2i，则（ ）
3 i
A． 1 = 1 i B． 2 = 2 + i C． 1
1
2 = 3+ 2i D． = 2 5
10．下列说法正确的是（ ）
A． + + = 0
B．若 < 0，则 与 的夹角是钝角
C．向量 1 = 2, 3 , 2 =
1 , 3 能作为平面内所有向量的一个基底
2 4
D．若 ⊥ ，则 在 上的投影向量为 0
11．六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，
有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，
如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的 6个顶点，
若相邻两个氟原子之间的距离为 m，则（ ）
A．该正八面体结构的表面积为 2 3 2 B．该正八面体结构的体积为 2 3
2π 2
C．该正八面体结构的外接球表面积为 2π 2 D．该正八面体结构的内切球表面积为
3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→ →
12．已知 1 ， 2 是两个不共线的向量， = 1 4 2 ， = 1 + 2 2 ，若 与 共线，则 = ．
13．若向量 , 分别表示复数 1 = 2 i, 2 = 3 + i，则 = ．
14．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°，半径为 1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比
是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 , 1 ( ∈ R)，且 (1 + 3i)为纯虚数（ 是 z
的共轭复数）.
(1)求 m 的值；
= i(2)复数 2 在复平面对应的点在第一象限，求实数 a的取值范围.
16．（15 分）已知 = 2, = 1, 与 的夹角为45 .
(1)求 在 方向上的投影向量;
(2)求 + 2 的值;
(3)若向量 2 与 3 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
17．（15 分）在△ 中，角 , , 的对边分别是 , , ，且 sin cos + sin cos = 3 cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3，且 = 1，求△ 的面积．
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18．（17 分）如图，在梯形 中， ∥ ,∠ = 90°, = , = 2 ,∠ = 60°，在平面
内过点 作 ⊥ ，以 为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的表面积．
(2)求此旋转体的体积．
19．（17 分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何
问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当
三角形的三个角均小于 120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两
两成角 120°；当三角形有一内角大于或等于 120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中
cos π
所求的点称为费马点．已知 a，b，c分别是△ 三个内角 A，B，C的对边，且 = sin ，
2cos 6
点 为△ 的费马点．
(1)求角 ；
(2)若 2 ( )2 = 6，求 + + 的值；
(3)若 = 1，求| | + | | | |的取值范围.
数学试卷 第 4页，共 4页
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2023~2024 学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测
草 稿 纸
草稿纸 第 1页，共 1页
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数学参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本
参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考
评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A C C A B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个
选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得 6分，部分选对的得
部分分，有选错的得 0分。
注意：全部选对的得 6分，第 9、11题选对其中一个选项得 2分，第 10题选对
其中一个选项得 3分。有错选的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABD AD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1． / 0.5 13． 5 14． 4: 3
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（本题满分 13分，第一小题 6分，第二小题 7分）
解：（1）由题意得，复数 = i ( ∈ R)，
所以 = + i ( ∈ R)，
则 (1 + 3i) = + i (1 + 3i) = 3 + 3 + 1 i，
因为 (1 + 3i) 3 = 0为纯虚数，所以 3 + 1 ≠ 0，解得 = 3；
= i = i 3+i = 3 +1（2）复数 2 +
3 i，
3 i 3 i 3+i 10 10
= i因为复数 2 在复平面对应的点在第一象限，
3 +1 > 0
10
所以 3 ，解得 > 3> 0
10
参考答案 第 1 页 共 5 页
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16．（本题满分 15分，第一小题 4分，第二小题 4分，第三小题 7分）
2×1×
2
解：（1） 在 方向上的投影向量为 = 2 = 2 ； 1
2
（2） + 2 = + 2 = 2 + 4 + 4 2 = 2+ 4 × 2 × 1 × 2 + 4 = 10；
2
（3）因为向量 2 与 3 的夹角为锐角，
所以 2 3 > 0，且 2 与 3 不共线，
对于 2 3 > 0，
得 2 2 2 + 6 + 3 2 = 4 2 + 6 + 3 > 0，
解得 1 < < 6，
若 2 与 3 共线，
则存在 2 = 3 = 2，得 = 3 ，解得 =± 6，
所以若向量 2 与 3 的夹角为锐角，实数 的取值范围为 1, 6 ∪ 6, 6 .
17．（本题满分 15分，第一小题 7分，第二小题 8分）
解：（1）因为 sin cos + sin cos = 3 cos ，
所以根据正弦定理得 sin sin cos + sin sin cos = 3sin cos ，
因为 sin ≠ 0，
所以 sin cos + sin cos = 3cos ，
即 sin + = 3cos ，
即 sin = 3cos ．
因为 cos ≠ 0，所以 tan = 3．
π
因为 0 < < π，所以 = ．
3
（2） = cos = 1．
因为 2 = 2 + 2 2 cos ，所以 2 + 2 = 9 + 2 cos = 11①．
因为 2 = 2 + 2 2 cos ，
所以 2 2 = 2 cos 2 = 2 × 3 × × cos π 32 = 3 9②．
3
联立①②可得 2 2 3 2 = 0，解得 = 2（负根舍去），
△ 1 sin = 1 × 3 × 2 × 3 = 3 3故 的面积为 ．
2 2 2 2
参考答案 第 2 页 共 5 页
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18．（本题满分 17分，第一小题 10分，第二小题 7分）
解：（1）在梯形 中，∠ = 90°， // ，且 = ， = 2 ，∠ = 60°，
∴ = = 2 , = sin60° = 3 ，
cos60°
∴ ′ = ′ 2 = 2 2 = 2 ，
∴ = 1 ′ = ．
2
∵以 为轴将梯形 旋转一周后，形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆
柱等高的圆锥，
且圆柱高为 3 ，底面半径为 2 ，圆锥的母线长为 2 ，底面半径为 ，
∴圆柱的侧面积 21 = 2π 2 3 = 4 3π ，
圆锥的侧面积 2 = π 2 = 2π 2，
圆柱的底面积 3 = π(2 )2 = 4π 2，
圆锥的底面积 4 = π 2，
∴组合体上底面积 = = 3π 25 3 4 ，
∴旋转体的表面积 = 21 + 2 + 3 + 5 = (4 3 + 9)π ．
（2）由题意知，形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积，
圆柱的体积 1 = π(2 )2 3 = 4 3π 3，
1 3
圆锥的体积 2 = π 2 3 = π 3，3 3
∴旋转体的体积 = 3 3 3 11 3 31 2 = 4 3π π = π ．3 3
19．（本题满分 17分，第一小题 4分，第二小题 4分，第三小题 9分）
∵ cos π解：（1） = sin( ) = 3 sin 1 cos ，
2cos 6 2 2
∴ cos = 3cos sin cos cos ，
∴ cos[π ( + )] = 3cos sin cos cos ，
∴ (cos cos sin sin ) = 3cos sin cos cos ，
又∵sin > 0，∴ sin = 3cos ，
∴ tan = 3， ∈ 0,π , ∴ = π.
3
参考答案 第 3 页 共 5 页
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2 ∵ = π
2 2 2
（ ） ∴ cos = + = 1，
3 2 2
∴ 2 + 2 2 = ，又 2 ( )2 = 2 ( 2 + 2) + 2 = 6， ∴ = 6，
设| | = ，| | = ，| | = ，
∵ = 60°，∴三角形 的三个角均小于 120，
∴根据题意可得∠ = ∠ = ∠ = 120°，
又 △ + △ + △ = △ ，
∴ 1 3 + 1 3+ 1 3 = 1 3，
2 2 2 2 2 2 2 2
∴ + + = = 6，
∴ + + = ( 1 ) + ( 1 ) + ( 1 )
2 2 2
= 1 ( + + ) = 3．
2
（3）由 △ + △ + △ = △ ，
∴ 1 3 + 1 3+ 1 3 = 1 3， ∴ + + = ，
2 2 2 2 2 2 2 2
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos120 = 2 + 2 + ，
同理可得 2 = 2 + 2 + ， 2 = 2 + 2 + ，
相加可得
2 + 2 + 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 + + + = 2 2 + 2 2 + 2 2 + ，
又 2 + 2 2 = ， 所以 2 + 2 + 2 = 1.
由于 = 60 , ∠ = 120 , ∴ ∠ + ∠ = 60 , ∠ + ∠ = 60 ,
所以∠ = ∠ ,又∠ = ∠ = 120 ,
故△ △ = ，所以 2 = ，
2
故 2 + + 2 = 1 + 2 = 1 = + 2 1 ≤ + ，
4
= + 2且 1
故 + ≤ 4，当且仅当 = 时等号成立，
3
又 + > = 1，所以 1 < + ≤ 4
3
∴| | + | | | | = + = + = + + 2 1，
参考答案 第 4 页 共 5 页
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令 + = ，则 1 < ≤ 4，
3
所以| | + | | | | = 2 1 = 1 ，
+ 2 1
由于函数 = , = 2 1均为 1 < ≤ 4上的单调递增函数，故 = +
3
2 1为 1 < ≤ 4的单调递增函数，
3
故 = + 2 1 ∈ 1, 3 1 3，进而| | + | | | | = ∈ , 1
+ 2 1 3
参考答案 第 5 页 共 5 页
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