铝城中学2023-2024学年高二下学期4月月考测试卷参考答案
1．D【详解】对于A，因为，所以A错误；对于B，因为，所以B错误，
对于C，因为，所以集合不是集合的子集，所以C错误；
对于D，因为，所以，所以D正确.
故选：D.
2．B【详解】由得，即，
所以，则的虚部为.故选：B.
3．C【详解】由，解得或，
当时，：，：，满足；
当时，：，：，不满足；
所以，即“”是“”的充要条件．故选：C．
4．B【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，
所以，，，设，
则，，
则，
当时，取得最小值，此时，.
故选：B
5．D【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，
又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱体积，
而，故，
所以，故，
所以.故选：D
6．B【详解】由题意得，
由三角函数图象的变换法则可得，
由为偶函数，得，，得，，
又，所以当时，取得最小值，故B正确.故选：B.
7．A【详解】对于函数，，得，所以，函数的定义域为.，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D选项；又，排除C选项.故选：A.
8．D【详解】解：由椭圆的定义得：，
因为，所以．所以，在中，由余弦定理得，所以，整理得，所以，．故选：D
9．ABC【详解】对于A：若正实数x，y满足，
故，
当且仅当，即，时等号成立，故A正确；
对于B：当时，，故存在实数a，使得不等式成立，故B正确；
对于C：若a、b为正实数，则，
当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D：当和时，不等式成立，
但当时，不成立，故D错误.故选：ABC
10．ABC【详解】由图知，，所以或，
又，所以，所以，又因为图象过，
且为下降零点，所以，，故,
结合图象，即，所以，所以，
对于A选项，当，，结合正弦函数图像可知，在上单调递增，故A正确；、对于B选项，当时，，其中，
结合正弦函数图像可知，在上有4个零点，故B正确；
对于C选项，当时，即，即或，结合图象可知，，所以，故C正确；
对于D选项，将的图象向右平移个单位，得，而，故D错误，故选：ABC.
11．ABD
【详解】
对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆上，所以，得，
所以，故A正确；对于B，因为点都在圆上，且，
所以为圆的直径，，
所以面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，的左焦点为，连接，
因为，所以，
又，所以，
所以，则M到的左焦点的距离的最小值为，故C错误；
对于D，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，
设，，则，
，，又，所以，
所以，所以，故D正确.故选：ABD.
12．3【详解】由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为3.故答案为：3.
13．【详解】解析：设，
则，
又
即，又，则
因为，则，所以.故答案为：.
14． /
【详解】设，已知，，则，，
化简整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，且.抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.故答案为：；.
15．
【详解】（1）当时，可得：； 1分
当时，，， 3分
两式相减，得：，即， 5分
所以：. 6分
（2）当时，； 7分
当时，，所以， 9分
所以：， 12分
时，，上式也成立.
所以：， 13分
16．【详解】（1）依题意，所以， 1分
所以、是等边三角形， 2分
所以，所以四边形是菱形，所以， 3分
由于平面，平面，所以平面. 4分
由于是的中点，是的中点，所以， 5分
由于平面，平面，所以平面. 6分
由于，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面. 7分
（2）设的中点为，连接，则，
由于四边形是菱形，所以，则， 8分
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，又平面，则， 9分
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
因为，则，
则，
故， 10分
设平面的法向量为，则，
取，则，故， 11分
易知圆的方程为，设，
则， 12分
设直线与平面所成角为，
则， 13分
则，则，所以，，
故在弧上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 14分
此时点到平面的距离为. 15分
17．
【详解】（1）因为分数在内的频率为，
2分 因为矩形的面积等于组距＝频率，
所以频率分布直方图中未画出部分矩形的总面积为0.45. 3分
（2）设第三组与第四组的频率分别为，.
因为第二组与第三组的频数之和等于第四组的频数.
所以第二组与第三组的频率之和等于第四组的频率.
所以， 4分 解得 5分
所以成绩处于第三组之间的频率为0.15.
所以预估该市本次参加高三英语口语考试的000名学生中成绩处于的人数为（名）. 7分
（3）由题意，分数段的人数为（人），分数段的人数为（人）. 8分
因为用分层抽样的方法在高分段的学生中抽取一个容量为12的样本，所以需在分数段内抽取10人；在分数段内抽取2人； 9分
设“从样本中任取3人，3人中成绩少于90分”的人数为，则的所有可能取值是1，2，3. 10分
，，. 13分
所以随机变量的分布列为
1 2 3
14分 所以随机变量的数学期望为. 15分
18．【详解】（1）圆上点处的切线方程为． 1分
理由如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则， 2分
所以，又过点，由点斜式可得， 3分
化简可得，，
所以切线的方程为； 4分
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为，满足方程；
综上所述，圆上点处的切线方程为．5分
（2）①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 6分
联立方程，整理得，
由可得，
所以 7分
由韦达定理可知，即， 8分
把代入中，得，
所以 化简得． 9分
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式．
综上，椭圆上一点的切线方程为． 10分
（3）在，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，所以得到了和， 11分
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为； 12分
（4）问题（3）中两切线斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为
由，可得， 13分
由，得，（*）因为，则， 14分
所以（*）式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为，
则， 15分 可得， 16分
所以圆的半径为2，圆心为原点，其方程为． 17分
19．
【详解】（1）函数的定义域为R， 1分 求导得， 2分
当时，， 3分 当时，， 4分 则函数在上单调递减，在上单调递增， 5分
当时，函数取得极小值，无极大值， 6分
当时，恒成立，而， 7分 函数的大致图象如图：
9分
（2）令函数，，求导得， 10分
令，，求导得， 11分
则函数在上单调递增，而，12分
即当时，， 13分 当时，， 14分
因此函数在上单调递减，在上单调递增， 15分
，， 16分
所以恒成立. 17分
答案第1页，共2页铝城中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
考试范围：必修第一册第二册和选择性必修第一册，第二册以及第三册的第六章和第七章
姓名：___________ 班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）条件
A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要
4．在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
6．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B.
C． D．
8．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若正实数x，y满足，则
B．存在实数a，使得不等式成立
C．若a、b为正实数，则 D．不等式恒成立
10．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上有4个零点
C． D．将的图象向右平移个单位，可得的图象
11．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线交于A，B两点，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线，的斜率分别记为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若，则函数的最小值为 .
13．椭圆的左右焦点分别为为其上一点.的外接圆和内切圆的半径分别为，则的取值范围是 .
14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为------------；若点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列的前顶和为.且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在数列中，，求数列的前项和.
16．（15分）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．
17．（15分）某省参加2021年普通高考统考报名的所有考生均可选考英语口试科目，考生自愿参加，不作为统一要求.考生卷面成绩采用百分制.某市从参加高三英语口语考试的1000名学生中随机抽取100名学生，将其英语口试成绩（均为整数）分成六组，…后得到如下部分频率分布直方图，已知第二组与第三组的频数之和等于第四组的频数.
（1）求频率分布直方图中未画出矩形的总面积；
（2）预估该市本次参加高三英语口语考试的1000名学生中成绩处于的人数；
（3）用分层抽样的方法在高分（不低于80分）段的学生中抽取一个容量为12的样本，将该样本看成一个总体，再从中任取3人，记这3人中成绩低于90分的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
18．（17分）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
(1)圆上点处的切线方程为 请说明理由.
(2)椭圆上一点处的切线方程为
(3)是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；
(4)问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为
19．（17分）已知函数.
(1)求函数的极值并画出函数的大致图像；
(2)求证：.
