铝城中学2023-2024学年高一下学期4月月考测试数学试卷
考试范围：必修第一册和必修第二册的第六章和第七章
姓名：___________ 班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A． B． C．3 D．
6．已知的外接圆圆心为O，半径为2，，且，则在方向上的投影为（ ）
A．-3 B． C． D．
7．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．2
8．1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金数（）．泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的形状为正四棱锥，每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，已知金字塔型正四棱锥的底面边长约为656英尺，顶点P在底面上的投影为底面的中心O，H为线段BC的中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（ ）
A．302.7 B．405.4 C．530.7 D．1061.4
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，，则的最小值是4
D．已知均为正实数，且，则的最小值为20
10．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）
A．在中，若，则 B．在中，
C．在中，若，则 D．在中，
11．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，且的图象相邻两条对称轴间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．是的一条对称轴
C．当时，的值域为
D．在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在用斜二测画法画水平放置的时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝ ．
13．已知平面向量，，且．则 ．
14．如图，已知 ABCD的边BC，CD上的中点分别是M，N，且＝ ，＝，若 (x，y∈R)，则x＋y＝ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知．
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值．
16．（15分）已知关于的方程的两个根分别为和，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求方程的两根及的值．
17．（15分）设，.
(1)求；
(2)若，且，与的夹角为，求x，y的值.
18．（17分）在五面体中，面为平行四边形，，且，为棱的中点.
(1)的中点为，证明：平面平面；
(2)请画出过点，，的平面与平面的交线，证明．
19．（17分）在中，角的对边分别为.
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，且，求的面积.铝城中学2023-2024学年高一下学期4月月考测试参考答案
1．A【详解】由题意，，∴．
故选：A.
2．D【详解】，
根据复数性质得在复平面对应的点为，在第四象限.故选：D.
3．A【详解】因命题：，，则命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题的否定是：，.故选：A
4．A【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，若，则也可能垂直于，故B错误；
对于C，若，则也可能平行于，故C错误；
对于D，若，则，的位置关系不确定，可能平行或异面或垂直．
故选：A．
5．D【详解】在中，因为，，，
由余弦定理得，即，
可得，解得或（舍去）.故选：D.
6．D
【详解】由，得，所以四边形为平行四边形，
又O为的外接圆圆心，所以，又，
所以为正三角形，四边形是边长为2的菱形，
所以，所以在方向上的投影为.故选：D.
7．C【详解】因为，所以，
所以.故选：C.
8．C【详解】设，，，由已知得，
又由勾股定理，故，即，
因此可求得，则．故选：C
9．ACD【详解】因为，所以，
，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，因此选项A正确；
当时，方程无实数集，
所以有，因此选项B不正确；
因为，，所以有
，或（舍去），
当且仅当时取等号，即时取等号，因此选项C正确；
，
当且仅当时取等号，即时取等号，因此选项D正确，
故选：ACD
10．BCD【详解】A：在中，若，则或，所以或 故A错误.
B. 在中，由正弦定理得：，因为，所以，故B正确.
C. 在中，由正弦定理得，故C正确.
D. 在中，由正弦定理得，所以，故D正确.故选：BCD.
11．BCD【详解】把的图象向右平移个单位后得到，
的图象相邻两条对称轴间的距离为，，即，则，
，故A错误；
，故是的一条对称轴，故B正确；
当时，，则当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故的值域为，故C正确；
当时，，则可得在区间上单调递增，故D正确.
故选：BCD.
12．45°或135°
【详解】解析：因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，
按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°．
故答案为：45°或135°
13．5
【详解】因为，所以，解得，所以，.故答案为：5.
14．
【详解】设，，则，.
由题意得 解得∴故x＝ ，y＝－，
∴x＋y＝.故答案为.
15．
【详解】（1）． 6分
（2）因为，，所以， 8分
又因为是第三象限角，所以为第三象限角， 9分
所以， 11分
故．13分
16．
【详解】（1）因为和是方程的两个根，所以， 3分
原式. 5分
（2）因为，所以， 7分
所以，解得. 9分
（3）由（2）可知，，所以方程的两根为，，
11分 所以或， 13分
又因为，所以或. 15分
17．
【详解】（1）由，，得，，， 3分
则， 5分
又，所以； 7分
（2）因为，，
所以， 8分
又，
所以， 9分
又， 11分
即， 12分
由，解得或， 14分
∴，或，. 15分
18．
【详解】（1）连接，
因为，且，是平行四边形，
所以且， 2分 所以是平行四边形，， 3分
同理， 4分
平面，平面， 5分 所以平面， 6分
同理平面， 7分
又，平面，
所以平面平面； 8分
（2）在平面内过作直线，即为平面和平面的交线； 9分
证明如下：
设平面和平面的交线为
由（1），平面，平面， 12分
所以平面， 13分
又平面，平面平面， 14分
所以，所以． 17分
19.
【详解】（1）由及正弦定理， 1分
得，即， 3分
所以， 5分
又，所以. 6分
（2）
方法一：因为平分，且，
所以， 7分 则， 8分
由，得. 10分
又， 11分
将代入，可得或. 12分
当时，，则，故舍去，所以. 13分
所以. 17分
方法二：因为平分，且，所以， 8分
则.
因为， 11分
所以， 13分 所以， 14分
则，所以，15分
所以. 17分
答案第1页，共2页
