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专题11点线式秒杀函数压轴题三：面积与面积关系（五大类）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考点目录
一、面积问题一：面积最值。 1
二、面积问题二：面积的比。 14
三、面积问题三：面积的或差。 25
四、面积问题四：求某个图形的面积。 27
五、面积问题五：图形面积定值（相等、倍数关系）的存在性。 34
函数与图形面积的融合，及图形面积的特殊关系的存在性，都是中考数学的压轴大题之一。本专题精选中考真题中的面积最值、面积的和差与比例关系，面积特殊值的存在性，并详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，助力中考。
一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。
1.改斜归正得底和高。
2.利用距离公式表示出底和高。
3.面积的和差或比例可以转化为线段的比例关系，从而借助于相似来解决。如第6、8、10题。
三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。
本专题用到的黄金公式有：三大距离公式，面积公式。
黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差）
黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差）
黄金公式三：万能距离，勾股定理。
黄金公式四：万能面积，改斜归正。
如图1，△ABC是平面直角坐标系中的任意三角形，求△ABC的面积。
万能面积法解题思路：
1.中间点作垂线。(如图2)
2.求出另两点连线解析式。
3.设出坐标。
4.横差乘纵差的一半得面积。
【推导过程】.
S△ABC=S△ABD+S△ACD
=AD×BF+AD×CE
=AD×(BF+CE)
=AD×BQ
= (yA-yD)×(xC-xB)
1．如图，抛物线与x轴交于，两点．交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
当时，，
,即,
,
设点P的坐标为，
当点P在轴上方时，
，
,即,解得，
点P的坐标为，
当点P在轴下方时，
，
,即,
解得或，
点P的坐标为或，
综上所述，点P的坐标为或或．
2．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
【详解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函数的图象过、两点，
，
解得
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴交于点，
设的面积为，，则，
∴
∵，，
∴
∴当时，面积的最大值为，，
点的坐标是
一、面积问题一：面积最值。
1．如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
4．如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
5．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
二、面积问题二：面积的比。
6．抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
(1)求出点和点的坐标；
(2)如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点．
(1)求a的值；
(2)点D为第四象限抛物线上一点
①求的面积最大值
②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
8．如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
三、面积问题三：面积的或差。
10．已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是上方抛物线上的一点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，分别过点P和点Q作轴，轴，与分别与交于点D，E，连接，求的值；
(3)如图2，连接与交于点M，连接，当时，求点M的坐标．
四、面积问题四：求某个图形的面积。
11．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
12．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
13．如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
五、面积问题五：图形面积定值（相等、倍数关系）的存在性。
14．如图1，二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标
15．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
17．已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
18．如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知抛物线过点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
试卷第12页，共54页
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专题11点线式秒杀函数压轴题三：面积与面积关系（五大类）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考点目录
一、面积问题一：面积最值。 1
二、面积问题二：面积的比。 14
三、面积问题三：面积的或差。 25
四、面积问题四：求某个图形的面积。 27
五、面积问题五：图形面积定值（相等、倍数关系）的存在性。 34
函数与图形面积的融合，及图形面积的特殊关系的存在性，都是中考数学的压轴大题之一。本专题精选中考真题中的面积最值、面积的和差与比例关系，面积特殊值的存在性，并详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，助力中考。
一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。
1.改斜归正得底和高。
2.利用距离公式表示出底和高。
3.面积的和差或比例可以转化为线段的比例关系，从而借助于相似来解决。如第6、8、10题。
三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。
本专题用到的黄金公式有：三大距离公式，面积公式。
黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差）
黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差）
黄金公式三：万能距离，勾股定理。
黄金公式四：万能面积，改斜归正。
如图1，△ABC是平面直角坐标系中的任意三角形，求△ABC的面积。
万能面积法解题思路：
1.中间点作垂线。(如图2)
2.求出另两点连线解析式。
3.设出坐标。
4.横差乘纵差的一半得面积。
【推导过程】.
S△ABC=S△ABD+S△ACD
=AD×BF+AD×CE
=AD×(BF+CE)
=AD×BQ
= (yA-yD)×(xC-xB)
1．如图，抛物线与x轴交于，两点．交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
当时，，
,即,
,
设点P的坐标为，
当点P在轴上方时，
，
,即,解得，
点P的坐标为，
当点P在轴下方时，
，
,即,
解得或，
点P的坐标为或，
综上所述，点P的坐标为或或．
2．如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
【详解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函数的图象过、两点，
，
解得
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴交于点，
设的面积为，，则，
∴
∵，，
∴
∴当时，面积的最大值为，，
点的坐标是
一、面积问题一：面积最值。
1．如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；的最大值为
(3)
【详解】（1）∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，
∵，，，
∴，
∴，
则 即
解得：
（2）如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
（3）存在， 理由∶
如下图， 过点作于点，
当点在的平分线上时，则
，
在中，
，
解得：
3．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，，解得，
∴直线的表达式为，
同理可得：直线的表达式为，
∵，
∴设直线表达式为，
由（1）设，代入直线的表达式
得：，
∴直线的表达式为：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当时，此时P点为.
．
4．如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)点Q坐标，或或；
(3)时，有最大值，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
5．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)①2或3或；②，S的最大值为
【详解】（1）
解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）
①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．
∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．
∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．
∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
二、面积问题二：面积的比。
6．抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
(1)求出点和点的坐标；
(2)如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）解：令，
解得或，
；
，
顶点；
（2）如图，过点作轴于点，
，，
，
，
，
为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，
，
设，则，，
在中，，
解得：，
，
设直线的解析式为：，将点、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
；
（3）点与点关于对称轴对称，
，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
，
，，
，
，
当时，的最大值为．
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点．
(1)求a的值；
(2)点D为第四象限抛物线上一点
①求的面积最大值
②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
【答案】(1)
(2)①4；②
【详解】（1）解：把代入中得，
∴；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
∴点A和点B的坐标分别为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点D作轴交于E，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4；
②过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴
∴，
设，则，
∴，
∴．
∴当时，有最大值，最大值是．
8．如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
点横坐标为：．
故答案为：．
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，
设，则，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中点在抛物线对称轴的左侧．
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴ ，
∴
，
∴当时，取得最大值为．
三、面积问题三：面积的或差。
10．已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点P是上方抛物线上的一点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，点Q是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点P的横坐标大1，分别过点P和点Q作轴，轴，与分别与交于点D，E，连接，求的值；
(3)如图2，连接与交于点M，连接，当时，求点M的坐标．
【答案】(1)b和c的值分别为和3
(2)2
(3)点M的坐标为
【详解】（1）解：把点，代入，得，解得．
∴b和c的值分别为和3．
（2）由（1）可知抛物线的表达式为．
当时，，
∴．
设直线的表达式为，把点，点代入，得，
解得．
∴直线的表达式为．
∵点P是上方抛物线上的一点，
∴设点P的坐标为．
∵点Q是第二象限抛物线上一点，且横坐标比点P横坐标大1，轴，轴，
∴，，．
∴点A到的距离为，点C到的距离为．
∴，
．
∴．
（3）解：由抛物线的表达式可知点，则．
∵，
∴．
由（2）设点，
∴．
∴．
整理，得，解得．
此时点P的坐标为．
设直线的表达式为，把点，点代入，得
，解得．
∴直线的表达式为．
由（2）知直线的表达式为．
联立直线，直线的表达式，得，解得，
∴当时，．
故此时点M的坐标为．
四、面积问题四：求某个图形的面积。
11．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解： ，
设，，
，
，
，
点，
，
，
点的坐标为，
点是轴上方抛物线上一点，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）解：设点，直线的解析式为，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
在抛物线中，当时，，
，
，
，
设点的坐标为，
，，
，
，
，
，
解得：，
点的坐标为，
．
12．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
(2)求的面积．
注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【答案】(1)抛物线对应的解析式，
(2)
【详解】（1）抛物线经过点，，
，
解这个方程组，得．
抛物线对应的解析式．
点是抛物线的顶点坐标，
，即：，，
．
（2）如图，连接OP．
，，，，
，
，
．
，
．
13．如图，抛物线与x轴交于点、，且经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为，求的面积；
(3)点M是y轴上一动点，当最大时，求M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点、，
∴设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴，
∴．
（2）如图，当点N在对称轴的右侧时，
∵，
∴对称轴为直线，
设，直线的解析式为，直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∴．
如图，当点N在对称轴的左侧时，
∵，
∴对称轴为直线，
设，，，，
∴，
∴．
综上所述，．
（3）当的外接圆与相切，切点为M时， 最大，
设外接圆的圆心为E，Q是异于点M的一点，连接，，交圆于点T，
则，根据三角形外角性质，得，故，
∴最大，
设与圆交于点H，连接，，根据切线性质，
∴，
作直径，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
过点E作，垂足为F，过点C作，垂足为G，交于点P，
根据垂径定理，得，四边形是矩形，
∴，
根据，得，
∴，
∴，
在直角三角形中，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故，
∴当最大时，．
五、面积问题五：图形面积定值（相等、倍数关系）的存在性。
14．如图1，二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当面积为5时，求P坐标
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：把点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：，
∴对称轴为，
当，则，∴，
设直线为，
则，
∴直线为
设，过点P作轴交于点Q，
则，
∴，
∵面积为5，
∴，
解得或，
∴点P坐标为或．
15．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)或．
【详解】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵ ，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
16．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点在轴上时，求点的坐标；
(3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
(4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)；顶点坐标为
(2)
(3)或
(4)或或
【详解】（1）解：将点代入抛物线，得，
解得：
∴抛物线解析式为；
∵ ，
∴顶点坐标为，
（2）解：由，
当时，，
解得：，
∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中．
∴
∴
解得：，
∵点的坐标为，
∴；
（3）①如图所示，当，即时，
抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点，
∵顶点坐标为，
则纵坐标之差为
依题意，
解得：；
②当，即时，
∵，即，
依题意，，
解得：或（舍去），
综上所述，或；
（4）解：如图所示，
∵在轴的上方，
∴
∴
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴
∵,
①当是的中点，如图所示
则，
∴代入，
即，
解得：（舍去）或；
②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，
∴，
解得：，
③如图所示，
设，则，
∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为
∴
即
∴，
∴，
∴，
∵关于对称，
∴，
解得：，
综上所述，或或．
17．已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，且，求证：三点共线；
(3)小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的面积为定值，其面积为2
【详解】（1）解：因为抛物线经过点，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为；
（2）解：
设直线对应的函数表达式为，
因为为中点，所以．
又因为，所以，解得，
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在抛物线上，所以．
解得，或．
又因为，所以．
所以．
因为，即满足直线对应的函数表达式，所以点在直线上，即三点共线；
（3）解：的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线．设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等，所以的面积不为定值．
如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值．
又因为中存在面积为定值的三角形，故的面积为定值．
在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为，求得，此时的面积为2．
18．如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【详解】（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以
，
解得
，
所以抛物线解析式为：．
（2）解：如图，设线段的中点为，可知点的坐标为，过点作与平行的直线，假设与抛物线交于点， （在的左边），（在图中未能显示）．
设直线的函数解析式为．
因为直线经过点和，所以
，
解得，
所以，直线的函数解析式为：．
又，
可设直线的函数解析式为，
因为直线经过点 ，所以
．
解得．
所以，直线的函数解析式为．
根据题意可知，
．
又，
所以，直线上任意一点与点，点连线组成的的面积都满足．
所以，直线与抛物线的交点，即为所求，可得
，
化简，得
，
解得，
所以，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：存在，点的坐标为或．
19．已知抛物线过点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，
∴，，
∵点是的中点，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点和点，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
设 ，
如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为，
∵的面积为
当面积是面积的3倍时
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
设交轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），
∴,
∴，
∴当时，取得的最大值为，
∴．
本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
试卷第12页，共54页
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