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专题12点线式秒杀函数压轴题四：相似的妙用与相似的存在性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
函数与相似的融合，及相似的存在性，都是中考数学的压轴大题。本专题精选中考真题中的相似的灵活运用及相似的存在性，并详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，助力中考。
一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。
1.改斜归正得相似。
2.巧妙运用相似，得出线段的比例关系，从而解决问题。
3.相似的存在性（难点）：
步1：基础三角形的三边长度。
是否为特殊形状。
步2：写出新三角形的顶点坐标，求出长度。
步3：特殊的，直接分情况，研究新三角形。
非特殊，分类列出比例。
三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。
本专题用到的黄金公式有：三大距离公式，面积公式。
黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差）
黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差）
黄金公式三：万能距离，勾股定理。
1．(相似的存在性)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则，
∴，
∴此时点D的坐标为；
如图3-1所示，当点F在之间时，
∵，
∴，即，
∵，
∴此时和不可能相似；
如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，，
∴，
当时，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
解得或（舍去），
∴；
当点F在点A左侧，且当时，可得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴；
如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时，
∵，
∴只有当时，与才能相似，
∴此时，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-4所示，当点F在点B右侧，
∵，
∴只有当时，与才能相似，
∴此时，
∴，
设，则，，
∴，
∴
解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在；
综上所述，点D的坐标为或或或．
2．(相似的妙用)如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；
(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作于点G，交于点H，
设过点的直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得或
将分别代入得
∴或；
（3）解：如图1所示，当点D与点C重合时，
∵点A（-4，0），点C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，
∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，
∴∠AOF=∠FOC=45°，
又∵OA=OC，
∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，
∴△OFC是直角三角形，
∴此时点D的坐标为（0，4）；
如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD，
由旋转的性质可得∠DOF=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，
∴C、D、F、O四点共圆，
∴∠FCD=∠FOD=45°，
∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴点D的纵坐标为4，
∴当y=4时，，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（-3，4）；
如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∵FG⊥DH，DH⊥y轴，
∴∠FGD=∠DHO=90°，
∴∠GDF+∠GFD=90°，
又∵∠GDF+∠HDO=90°，
∴∠GFD=∠HDO，
∴△GDF≌△HOD（AAS），
∴GD=OH，GF=DH，
设点D的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴点F的坐标为（，），
∵点F在直线AC：上，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或
一、二次函数中相似的存在性问题。
1．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)P点的横坐标为或
(3)Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)
【详解】（1）解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），
过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为或；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴，，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
3．如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证：；
（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点P 的横坐标为或±．
【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴该抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线AD的解析式为y=kx+a，
将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在.
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
设直线CD解析式为y=mx+n，则：
，解得
∴直线CD解析式为y=3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，
∴OM//CD，
∴直线OM的解析式为y=3x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，
∴
∴，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直线OM解析式为y=2x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
综上，点P的横坐标为或±．
4．抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的值为2或
(3)点在定直线上
【详解】（1）∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：，，
当时，，
∴，，．
（2）解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．
综上，符合题意的的值为2或．
（3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
5．如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或
【详解】（1）解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
设图象的解析式为，代入，解得，
∴对应函数关系式为= ．
（2）解：联立方程组，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点；
（3）解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴；
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．
①求抛物线的解析式．
②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或
【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，
这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,；
（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，
根据交点式可求出C1二次函数表达式为；
②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0
由图像可知∠BOC=∠DEO=90°，
则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况，
（i）当△ODE∽△BCO时，
则，即，
解得m=1或-2（舍），
（ii）当△ODE∽△CBO时，
则，即，
解得
所以满足条件的m的值为1或．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）-2，，1；（3）存在，（3，-2）或（，）
【详解】解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）
将B、C坐标代入抛物线得
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①∵
∴P（m，），D（m，），
分以下几种情况：
M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=
解得，（舍去）；
P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）
解得，（舍去）；
D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）
解得，（舍去）；
∴符合条件的m的值有-2，，1；
②∵抛物线的解析式为：，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴AO=1，CO=2，BO=4，
∴，又=90°，
∴，
∴，
当∽
∴，
∴，
∴ ，
∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得
解得：（舍去），，
∴点P的坐标为：（3，-2）
当△PNC∽△COA时，
∴∠PCN=∠CAO，
∴∠OCB=∠PCD，
∵PD∥OC，
∴∠OCB=∠CDP，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD，
由①知，P（m，），D（m，），
∵C（0，-2），
∴PD=2m-，
，
∴，
∴m= 或m=0（舍），
∴P（，）．
即满足条件的点P的坐标为（3，-2）或P（，）．
8．抛物线过、两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，，交于点E，，求点D的坐标；
(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线，点Q在x轴上运动，点P在抛物线对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【详解】（1）
解： 过、，
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）
解：，，
轴，
过点作，交轴于点，交过点且平行于轴的直线于点，如图，
设，
设直线的解析式为，
．
，
直线的解析式为，
，
．
，，
，，
，
，
，
（不合题意，舍去）或．
．
；
（3）
存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或或．理由：
，
，
过点作于点，则，，，
，
为等腰直角三角形．
以、、为顶点的三角形与相似，
为等腰直角三角形．
①当，时，如图，
设直线交轴于点，
，，
．
在和中，
，
，
，
；
②当，时，如图，
过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
则四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形，
，，．
，，
．
在和中，
，
，
，．
，
，
，
；
③当，时，如图，
，，
．
在和中，
，
，
，
；
④当，时，如图，
过点作于点，
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
⑤当，时，如图，
过点作，交的延长线于点，显然，，
，
此种情形不存在．
综上，存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或或．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
9．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2),当时，有最大值
(3)存在，或
【详解】（1）
由题意得，
∴
∴；
（2）
设直线的表达式为，
∵过点，，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，有最大值；
（3）
存在
∵，，的坐标为，，
∴①当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
②当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
综上，点坐标为或
10．已知抛物线经过点和．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为：
(2)①见详解
②存在，点P坐标为或或或
【详解】（1）（1）抛物线经过点和，
解得
抛物线的函数表达式为；
（2）（2）①时，，整理得，解得或，
点A在点左侧，
点A坐标为，点坐标为．
点C坐标为，
，，，
，
是直角三角形，且；
②存在以A，D，P为顶点的三角形与相似．
分两种情况：
i）当时，，
，解得，
此时点坐标为或；
ii）当时，，
，解得，
此时点P坐标为或；
综上，点P坐标为或或或．
二、相似在二次函数压轴题中的灵活运用。
11．如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
；
（2）过作轴于，过作轴于，如图：
设，
在中，令得或，
；
，，
，
，
，
，
，
，
解得或（此时与重合，舍去），
，．
12．如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)或1
(3)或
【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得
，解得，
抛物线的解析式为：；
（2）直线中，令，则，所以，
直线中，令，则，所以，
分别过，向轴作垂线，垂足为，，
根据题意可得，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中，
，
，
，
设，
则，
，，
从而，，
则有或，
解得（舍去），或，或
故点的横坐标为：或1；
（3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，
，
可设，则，
∴，
则，
设，
轴，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，则，
，，
，
代入抛物线解析式中有：，
解得：或，
当时，，
当时，．
13．【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或
【详解】[建立模型]（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[类比迁移]（2）如图所示，过点作轴于点，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
同理可得，
∴ ，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，
即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
试卷第20页，共45页
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专题12点线式秒杀函数压轴题四：相似的妙用与相似的存在性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
函数与相似的融合，及相似的存在性，都是中考数学的压轴大题。本专题精选中考真题中的相似的灵活运用及相似的存在性，并详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，助力中考。
一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），
线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。
1.改斜归正得相似。
2.巧妙运用相似，得出线段的比例关系，从而解决问题。
3.相似的存在性（难点）：
步1：基础三角形的三边长度。
是否为特殊形状。
步2：写出新三角形的顶点坐标，求出长度。
步3：特殊的，直接分情况，研究新三角形。
非特殊，分类列出比例。
三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。
本专题用到的黄金公式有：三大距离公式，面积公式。
黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差）
黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差）
黄金公式三：万能距离，勾股定理。
1．(相似的存在性)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则，
∴，
∴此时点D的坐标为；
如图3-1所示，当点F在之间时，
∵，
∴，即，
∵，
∴此时和不可能相似；
如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，，
∴，
当时，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
解得或（舍去），
∴；
当点F在点A左侧，且当时，可得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴；
如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时，
∵，
∴只有当时，与才能相似，
∴此时，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-4所示，当点F在点B右侧，
∵，
∴只有当时，与才能相似，
∴此时，
∴，
设，则，，
∴，
∴
解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在；
综上所述，点D的坐标为或或或．
2．(相似的妙用)如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；
(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点D作于点G，交于点H，
设过点的直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得或
将分别代入得
∴或；
（3）解：如图1所示，当点D与点C重合时，
∵点A（-4，0），点C（0，4），
∴OA=OC=4，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，
∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，
∴∠AOF=∠FOC=45°，
又∵OA=OC，
∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，
∴△OFC是直角三角形，
∴此时点D的坐标为（0，4）；
如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD，
由旋转的性质可得∠DOF=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，
∴C、D、F、O四点共圆，
∴∠FCD=∠FOD=45°，
∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴点D的纵坐标为4，
∴当y=4时，，
解得或（舍去），
∴点D的坐标为（-3，4）；
如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=DF，
∵FG⊥DH，DH⊥y轴，
∴∠FGD=∠DHO=90°，
∴∠GDF+∠GFD=90°，
又∵∠GDF+∠HDO=90°，
∴∠GFD=∠HDO，
∴△GDF≌△HOD（AAS），
∴GD=OH，GF=DH，
设点D的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴点F的坐标为（，），
∵点F在直线AC：上，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或；
综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或
一、二次函数中相似的存在性问题。
1．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证：；
（3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．
(1)直接写出三点的坐标；
(2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
(3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
5．如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．
①求抛物线的解析式．
②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．抛物线过、两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，，交于点E，，求点D的坐标；
(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线，点Q在x轴上运动，点P在抛物线对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线经过点和．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、相似在二次函数压轴题中的灵活运用。
11．如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标．
12．如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．
(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．
13．【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
试卷第20页，共45页
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