初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形完整版（含解析）

矩形、菱形、正方形（完整）——1、矩形
知识点1：矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；
②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
例1：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为　　
A．12 B．14 C．16 D．18
知识点2：矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
例2：如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则　　．
例3：如图，一张矩形纸片，，．点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点，分别落在点，处，
（1）若，则的度数为　 　；
（2）若，求的长．
知识点3：矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
例1：在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是　　
A． B． C． D．
例2 ：已知：如图，在中，，是的中线，为的外角的平分线，，交于点．求证：四边形是矩形．
矩形、菱形、正方形（完整）—2、菱形
知识点1：菱形的性质及应用
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2、性质：菱形具有平行四边形的性质，另外，
图示 菱形性质 几何语言
菱形的四条边都相等 四边形为菱形
对角线互相垂直 四边形为菱形
对角线平分一对对角 四边形为菱形
3、菱形的面积
（1）底高
（2）菱形面积为对角线乘积一半，即
对角线之积
例1：下列性质中，菱形对角线不具有的是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
例2：如图，菱形的对角线，的长分别是6和8，则这个菱形的面积是　　
A．20 B．24 C．40 D．48
例3：如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且．
（1）菱形的周长为　　；
（2）若，求的长．
知识点2：菱形的判定
图示 判定定理 几何语言
有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边形为平行四边形 平行四边形为菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边形为平行四边形 平行四边形为菱形
四边相等的四边形是菱形 平行四边形为菱形
注意：运用前两种方法时，必须先识别四边形是平行四边形，然后再从有一组邻边相等或对角线互相垂直这两个方面来探讨；最后一种判定方法时任意四边形，只要满足了四条边都相等就能证明时菱形．
例1：如图，在中，对角线、相交于点，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
例2 ：在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形．
矩形、菱形、正方形（完整）——3、正方形
知识点1：正方形的性质及应用
1、定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
2、性质
图示 性质 几何语言
边 对边平行， 四条边都相等 ∵四边形是正方形 ∴
角 四个角都是直角 ∵四边形是正方形 ∴
对角线 对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ∵四边形是正方形 ∴
注意：
（1）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
（3）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形的对角线与边的夹角是45°.
例1：如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是　　．
例2：如图，在平面直角坐标系中，点、、在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．，
知识点2：正方形的判定
正方形的判定
图示 判定定理 几何语言
有一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形
补充：判定四边形是正方形
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
③对角线相等的菱形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
⑤既是菱形又是矩形的四边形是正方形．
例1：小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①，②，③，④中任选两个作为补充条件，使为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是　　
A．②③ B．①③ C．①② D．③④
例2 ：如图，在中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求证：四边形是正方形．
矩形练习：
1、检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是　　
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量两条对角线，是否互相垂直
D．测量门框的三个角，是否都是直角
2、如图，在中，点在上，，，下列四个判断中不正确的是　　
A．四边形是平行四边形
B．若，则四边形是矩形
C．若且，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是矩形
3、如图，在中，再添加一个条件　　（写出一个即可），是矩形（图形中不再添加辅助线）
4、如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
5、如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是　　
A．1 B． C．2 D．
6、如图，在矩形中对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为　　
A． B．4 C．6 D．8
7、若矩形两条对角线的夹角是，且较短的边长为3，则这个矩形的面积为　　．
8．如图，在矩形中，的平分线交与点，，，则　　．
9．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，，则的长度为　 　．
10．如图，矩形中，点、分别在、上，，交于点．若，，则图中两块阴影部分的面积之和为　 　．
11、如图，在矩形中，点在上，平分．
（1）是否为等腰三角形？为什么？
（2）已知，，求的长．
12、如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以每秒的速度向点运动，　　秒后四边形是矩形．
13、如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且．
求证：ABCD是矩形；
点E在BA延长线上，且，连接DE，求证：．
14、如图，在平行四边形ABCD中，于点E，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF．
求证：四边形AEFD是矩形；
若，，，求AE的长。
15、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且．
求证：四边形ABCD是矩形；
，若：：2，则的度数是多少？
16、已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分，平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．
17、如图所示，在中，是上一点，是的中点，过点作交的延长线于点，且，连接．
（1）猜想与有什么数量关系，并说明理由；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
菱形练习：
1、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是　　
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2、如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　
A． B．4 C． D．5
3、如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，顶点在轴正半轴上，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
4、如图，是一张平行四边形纸片， 要求利用所学知识作出一个菱形， 甲、 乙两位同学的作法如下： 则关于甲、 乙两人的作法， 下列判断正确的为（ ）
A ． 仅甲正确 B ． 仅乙正确
C ． 甲、 乙均正确 D ． 甲、 乙均错误
5、如图将菱形竖直位置的对角线向右平移，水平位置的对角线向上平移，平移后菱形被分成四块，最大一块与最小一块的面积和记为，其余两块的面积和记为，则与的差是　　
A． B． C． D．
6、如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形周长等于．其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
7、如图，菱形的对角线、相交于点，、分别为边、的中点，连接．若，，则菱形的周长为　 　．
8、如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为 ．
9、已知三角形的三条中位线的长分别为、、，则这个三角形的周长是 ．
10、矩形的对角线与相交于点，，，分别是，的中点，则的长度为 ．
11、已知：如图，在正方形中，点、在对角线上，且，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
12、如图，矩形的对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）垂直平分线线段于点，，求的长．
13、如图，在中，，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F．
求证：≌；
求证：四边形ADCF是菱形；
若，，求菱形ADCF的面积．
正方形练习：
1、如图，正方形中，在延长线上取一点，使，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
2、如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，若，则的长为　　．
3、如图，在边长为的正方形中，以为边在正方形内作等边，连接并延长交于点，连接．请从，两题中任选一题作答：
．的度数等于　　．
．线段的长是　　．
4、下列说法正确的是　　
A．正方形的每一条对角线平分一组对角
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个内角都是直角
D．平行四边形是轴对称图形
5、如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，边作交边于于点，且点不与点，重合，作，，垂足分别为点和．
（1）求证：；
（2）求证：．
6、如图，正方形中，是边上一点，是延长线上一点，且，若四边形的面积是，则长是　　．
7、下列命题，不正确的是　　
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
8、如图，四边形是平行四边形，与相交于点，，添加一个条件：　　，可使它成为正方形．
9、已知矩形，给出三个关系式：①；②；③，如果选择关系式　 　作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是　　．
10、如图，在矩形中，点在边上，连结，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连结．求证：四边形是正方形．
11、下列说法不能判断是正方形的是　　
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形
12、已知平行四边形，对角线、相交于点，且，延长至点，使，连接．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：四边形是正方形．
13、如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，添加一个条件，仍不能证明四边形为正方形的是　　
A． B． C． D．
14、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作，求证：四边形OCED是正方形．
矩形、菱形、正方形（完整）——1、矩形
知识点1：矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；
②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
例1：矩形的对角线、相交于点，，，则的周长为　　
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长；
故选：．
知识点2：矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
例2：如图，在矩形中，，，点为边上任意一点，过点作，，垂足分别为、，则　　．
【解答】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，，，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
例3：如图，一张矩形纸片，，．点在这张矩形纸片的边上，将纸片折叠，使落在射线上，折痕为，点，分别落在点，处，
（1）若，则的度数为　 　；
（2）若，求的长．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，
，，
由折叠的性质得：，
；
故答案为：70；
（2），，
，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折不变性可知，，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
由翻折不变性可知，，
．
知识点3：矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
例1：在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：
、四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
、根据四边形是平行四边形和不能推出四边形是矩形，故本选项符合题意；
、四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
、，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
故选：．
例2 ：已知：如图，在中，，是的中线，为的外角的平分线，，交于点．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：在中，，是边的中线，
，，
，
为的外角的平分线，
，
，
，
，
四边形为矩形．
矩形、菱形、正方形（完整）——2菱形
知识点1：菱形的性质及应用
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2、性质：菱形具有平行四边形的性质，另外，
图示 菱形性质 几何语言
菱形的四条边都相等 四边形为菱形
对角线互相垂直 四边形为菱形
对角线平分一对对角 四边形为菱形
3、菱形的面积
（1）底高
（2）菱形面积为对角线乘积一半，即
对角线之积
例1：下列性质中，菱形对角线不具有的是　　
A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【解答】解：菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分，
对角线所在直线是对称轴．
故，，正确，错误．
故选：．
例2：如图，菱形的对角线，的长分别是6和8，则这个菱形的面积是　　
A．20 B．24 C．40 D．48
【解答】解：菱形的对角线，的长分别是6和8，
菱形的面积．
故选：．
例3：如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，且．
（1）菱形的周长为　　；
（2）若，求的长．
【解答】解：（1）四边形是菱形，，
菱形的周长为：8；
故答案为8．
（2）四边形是菱形，，，
，，
，
．
知识点2：菱形的判定
图示 判定定理 几何语言
有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边形为平行四边形 平行四边形为菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边形为平行四边形 平行四边形为菱形
四边相等的四边形是菱形 平行四边形为菱形
注意：运用前两种方法时，必须先识别四边形是平行四边形，然后再从有一组邻边相等或对角线互相垂直这两个方面来探讨；最后一种判定方法时任意四边形，只要满足了四条边都相等就能证明时菱形．
例1：如图，在中，对角线、相交于点，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、邻边相等的平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故选项不符合题意；
、由不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故选项符合题意；
、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故选项不符合题意．
故选：．
例2 ：在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为菱形．
矩形、菱形、正方形（完整）——3、正方形
知识点1：正方形的性质及应用
1、定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
2、性质
图示 性质 几何语言
边 对边平行， 四条边都相等 ∵四边形是正方形 ∴
角 四个角都是直角 ∵四边形是正方形 ∴
对角线 对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ∵四边形是正方形 ∴
注意：
（1）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
（3）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形的对角线与边的夹角是45°.
例1：如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是　　．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
例2：如图，在平面直角坐标系中，点、、在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为　　
A． B． C． D．，
【解答】解：过作轴于，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
是的中点，
，
点的坐标为，
，
，，
同理，
，，
，
点的坐标为，
故选：．
知识点2：正方形的判定
正方形的判定
图示 判定定理 几何语言
有一组邻边相等的矩形是正方形 ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形 ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形
补充：判定四边形是正方形
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
③对角线相等的菱形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
⑤既是菱形又是矩形的四边形是正方形．
例1：小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①，②，③，④中任选两个作为补充条件，使为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是　　
A．②③ B．①③ C．①② D．③④
【解答】解：、四边形是平行四边形，
当②时，平行四边形是矩形，
当时，这是矩形的性质，无法得出四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
、四边形是平行四边形，
当①时，平行四边形是菱形，
当③时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；
、四边形是平行四边形，
当①时，平行四边形是菱形，
当②时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；
、四边形是平行四边形，
当③时，平行四边形是矩形，
当④时，矩形是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：．
例2 ：如图，在中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求证：四边形是正方形．
【解答】证明：（1），
，
是等边三角形，
（三线合一）
即，
是菱形；
（2）是等边三角形，
由（1）知，，
，是直角三角形
，
，
，
，
是菱形，
，
菱形是正方形．
矩形练习：
1、检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是　　
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量两条对角线，是否互相垂直
D．测量门框的三个角，是否都是直角
【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，
故不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故不符合题意，
两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，
故不符合题意；
三个角都是直角的四边形是矩形，
故符合题意；
故选：．
2、如图，在中，点在上，，，下列四个判断中不正确的是　　
A．四边形是平行四边形
B．若，则四边形是矩形
C．若且，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是矩形
【解析】因为，，所以四边形是平行四边形．故正确．
，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故正确．
若且，则四边形是菱形，故正确；
因为平分，所以，又因为四边形是平行四边形，所以是菱形．故错误．
故选：．
3、如图，在中，再添加一个条件　　（写出一个即可），是矩形（图形中不再添加辅助线）
【解析】添加的条件是，
理由是：，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，
故答案为：
4、如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
【解析】如图，连接，设与交点为，
是的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
5、如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是　　
A．1 B． C．2 D．
【解析】连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故选：．
6、如图，在矩形中对角线与相交于点，，垂足为点，，，则的长为　　
A． B．4 C．6 D．8
【解析】四边形是矩形，
，
， 故选：．
7、若矩形两条对角线的夹角是，且较短的边长为3，则这个矩形的面积为　　．
【解答】解：如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
矩形的面积
故答案为：
8．如图，在矩形中，的平分线交与点，，，则　　．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
在中，．
故答案为．
9．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，，则的长度为　 　．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
又中，，
，
，
故答案为：2．
10．如图，矩形中，点、分别在、上，，交于点．若，，则图中两块阴影部分的面积之和为　 　．
【解答】解：如图，过点作于，交于，
，，
，
，且，，
易证：四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形
，，，，，
，
两块阴影部分的面积之和为10 故答案为10
11、如图，在矩形中，点在上，平分．
（1）是否为等腰三角形？为什么？
（2）已知，，求的长．
【解答】解：（1）是等腰三角形，
理由是：四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
即是等腰三角形．
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
即．
12、、如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以每秒的速度向点运动，　　秒后四边形是矩形．
【解析】当时，四边形是矩形，
此时：，，
在中，，
所以3秒后四边形是矩形，
故答案为：3
13、如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且．
【解析】求证：ABCD是矩形；
点E在BA延长线上，且，连接DE，求证：．
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形ABCD是矩形；
四边形ABCD是平行四边形，
，，
又，
，
四边形DEAC是平行四边形，
．
14、如图，在平行四边形ABCD中，于点E，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF．
求证：四边形AEFD是矩形；
若，，，求AE的长。
【解析】.证明：，
．
即 ．
在 ABCD中，且，
且．
四边形AEFD是平行四边形．
，
．
四边形AEFD是矩形；
解：四边形AEFD是矩形，，
．
，，
．
．
，
的面积．
．
15、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且．
求证：四边形ABCD是矩形；
，若：：2，则的度数是多少？
【解析】证明：，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
四边形ABCD是矩形；
解：，：：2，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
．
16、已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分，平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．
【解析】证明：
（1）平分、平分，
，，
，
，，
，，
，，
；
（2）点为的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分、平分，
，
，
即，
四边形是矩形．
17、如图所示，在中，是上一点，是的中点，过点作交的延长线于点，且，连接．
（1）猜想与有什么数量关系，并说明理由；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
【解析】（1）猜想：，
证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）猜想：当是以为顶点的等腰三角形时，四边形是矩形；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
同理可得四边形是平行四边形，
，
是等腰三角形，即，
，
是矩形．
菱形练习：
1、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是　　
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选：．
2、如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　
A． B．4 C． D．5
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
3、如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，顶点在轴正半轴上，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：菱形的顶点，，
，，
，
点的坐标为
故选：．
4、如图，是一张平行四边形纸片， 要求利用所学知识作出一个菱形， 甲、 乙两位同学的作法如下： 则关于甲、 乙两人的作法， 下列判断正确的为（ ）
A ． 仅甲正确 B ． 仅乙正确
C ． 甲、 乙均正确 D ． 甲、 乙均错误
【解答】解： 甲的作法正确；
四边形是平行四边形，
，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
乙的作法正确；
，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
故选：C．
5、如图将菱形竖直位置的对角线向右平移，水平位置的对角线向上平移，平移后菱形被分成四块，最大一块与最小一块的面积和记为，其余两块的面积和记为，则与的差是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作关于的对称线段，作关于的对称线段，
由对称性可知，图中对应颜色的部分面积相等，
与的差，
，，
，
故选：．
6、如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；④；⑤四边形周长等于．其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，，
四边形是菱形，
①，正确；
②四边形是矩形，错误；
③平分，正确；
④当，如图所示：，分别为，中点，
连接，延长交上一点，
，，
，故本小题错误；
⑤四边形周长等于，正确；
综上所述，①③⑤共3个正确；
故选：．
7、如图，菱形的对角线、相交于点，、分别为边、的中点，连接．若，，则菱形的周长为　 　．
【解答】解：、是和的中点，即是的中位线，
，
，，
在中，，
所以菱形的周长为8，
故答案为：8
8、如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为　　．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
9、已知三角形的三条中位线的长分别为、、，则这个三角形的周长是　 　．
【解答】解：三角形的三条中位线的长分别是、、，
三角形的三条边分别是、、．
这个三角形的周长．
故答案是：42．
10、矩形的对角线与相交于点，，，分别是，的中点，则的长度为　 　．
【解答】解：四边形为矩形，
，
又因为矩形对角线的交点等分对角线，
，
又在中，，分别是，的中点，
为的中位线，
，
故答案为：1．
11、已知：如图，在正方形中，点、在对角线上，且，
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【解答】（1）证明：正方形中，对角线，
，
．
，
．
四边形是菱形；
（2）解：在中，由勾股定理，得
，
，
，
四边形的面积
．
12、如图，矩形的对角线、相交于点，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）垂直平分线线段于点，，求的长．
【解析】证明：（1），，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线，相交于点，
，
四边形为菱形．
（2）过作，
矩形的对角线、相交于点，
，
垂直平分线线段于点，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
．
13、如图，在中，，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于点F．
求证：≌；
求证：四边形ADCF是菱形；
若，，求菱形ADCF的面积．
解：证明：，
，
是AD的中点，AD是BC边上的中线，
，，
在和中，
，
≌；
证明：由知，≌，
则
，
．
，
四边形ADCF是平行四边形，
，D是BC的中点，E是AD的中点，
，
四边形ADCF是菱形；
正方形练习：
1、如图，正方形中，在延长线上取一点，使，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
故选：．
2、如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，若，则的长为　　．
【解答】解：如图，将绕点按逆时针方向旋转得到．
绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
点，点，点三点共线，
，
，
，
在和中，
，
；
设，
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
则的长为，
故答案为：．
3、如图，在边长为的正方形中，以为边在正方形内作等边，连接并延长交于点，连接．请从，两题中任选一题作答：
．的度数等于　　．
．线段的长是　　．
【解答】解：．△为等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
故答案为：；
．作，与交于点，如下图，则，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
即，
故答案为：．
4、下列说法正确的是　　
A．正方形的每一条对角线平分一组对角
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个内角都是直角
D．平行四边形是轴对称图形
【解答】解：．正方形的每一条对角线平分一组对角，故选项符合题意；
．矩形的对角线不一定互相垂直，故选项不符合题意；
．菱形的四个内角不一定都是直角，故选项不符合题意；
．平行四边形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：．
5、如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，边作交边于于点，且点不与点，重合，作，，垂足分别为点和．
（1）求证：；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）四边形为正方形，
平分，
又，，
．
（2），，，，
四边形为正方形，
，即．
，
，
．
，，
．
在和中，，
，
．
6、如图，正方形中，是边上一点，是延长线上一点，且，若四边形的面积是，则长是　　．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
四边形的面积是，
正方形的面积是，
，
7、下列命题中，不正确的是　　
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
【解答】解：、对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，本选项说法不正确，符合题意；
、有一个角是直角的菱形是正方形，本选项说法正确，不符合题意；
、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，本选项说法正确，不符合题意；
、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，选项说法不正确，不符合题意；
故选：．
8、如图，四边形是平行四边形，与相交于点，，添加一个条件：　　，可使它成为正方形．
【解答】解：因为四边形是平行四边形，，
所以是菱形，
如果，
那么四边形是正方形．
故答案为：．
9、已知矩形，给出三个关系式：①；②；③，如果选择关系式　 　作为条件（写出一个即可），那么可以判定矩形为正方形，理由是　　．
【解答】解：四边形是矩形，，
矩形为正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形），
故答案为：③，对角线互相垂直的矩形是正方形．
10、如图，在矩形中，点在边上，连结，将矩形沿折叠，点的对称点落在边上，连结．求证：四边形是正方形．
【解答】证明：四边形是矩形，
．
由折叠，得
．
四边形是矩形．
，
四边形是正方形．
11、下列说法不能判断是正方形的是　　
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【解答】解：．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项不符合题意；
．对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项不符合题意；
．对角线相等的菱形是正方形，故选项不符合题意；
．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，菱形不一定是正方形，故选项符合题意；
故选：．
12、已知平行四边形，对角线、相交于点，且，延长至点，使，连接．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求证：四边形是正方形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
．
又，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
又，
，
矩形是正方形．
13、如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，添加一个条件，仍不能证明四边形为正方形的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：垂直平分，
，，
，
，
四边形是菱形；
当时，
，
则时，菱形是正方形．
，，
菱形是正方形．
故选项正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项正确，但不符合题意；
当时，利用正方形的判定得出，菱形是正方形，故选项正确，但不符合题意；
当时，无法得出菱形是正方形，故选项错误，符合题意．
故选：．
14、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作，求证：四边形OCED是正方形．
【解析】证明：，，
四边形OCED是平行四边形，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
四边形OCED是正方形．