2023-2024学年广东省广州十六中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广东省广州十六中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数为．( )
A. B. C. D.
2.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩单位：分分别是，，，，，，，，对这组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是
5.孙子算经中有一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何，这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的；每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，问车和人各多少若设有辆车，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则顶点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.为解决停车问题，某小区在如图所示的一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长，宽，矩形停车位与道路成角，则在这一路段边上最多可以划出个车位参考数据：( )
A. B. C. D.
10.如图，为矩形的对角线，将沿翻折得到，与边交于点若，，，其中、是关于的方程的两个实根，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达人次将用科学记数法表示应为______．
12.代数式有意义时，应满足的条件是 ．
13.年月日是第个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为______
14.如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是，，则四边形的周长为______．
15.已知抛物线与轴的一个交点为，并且该抛物线与轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰的两条边，则的周长为 ．
16.在四边形中，，，为内部的任一条射线，点关于的对称点为不与点重合，直线与交于点，连接、，当时，面积为______；当在内部绕点转动时，面积的最大值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程组：．
18.本小题分
如图，中，为的中点，连接并延长到，使求证：．
19.本小题分
九年级班现要从两位男生和两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是女生的概率是______；
如果选派两位学生代表参赛，用列表或画树状图的方法，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
20.本小题分
已知
化简；
若，求的值．
21.本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于，点在该反比例函数的图象上，点在点的右侧．
请从以下三个选项中选择两个作为已知条件，剩下一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程；；．
你选择的条件是______，结论是______填序号
22.本小题分
某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵元单价均为整数．
若班长小华在甲商店购买，他发现用元购买硬面笔记本与用元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件软面笔记本单价不变：一次购买的数量少于本，按原价售出；不少于本按软面笔记本的单价售出班长小华打算购买本硬面笔记本为正整数，他发现再多购买本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
23.本小题分
在中，，以长为半径作．
尺规作图：将绕点顺时针旋转得，使得点的对应点落在线段上保留作图痕迹，不用写画法；
在的条件下，若线段与交于点，连接．
求证：与相切；
如果，，与交于点，连接，求的长．
24.本小题分
已知：关于的二次函数．
若函数的图象过点，求与的关系；
如图，若函数的图象与轴有两个公共点，，并与动直线：交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点设的面积为，的面积为．
当点为抛物线顶点时，求的面积；
探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由．
25.本小题分
已知中，，，中，，，连接，取中点，连接、．
如图，若、、三点共线，为中点．
直接指出与的关系______；
直接指出的长度______；
将图中的绕点逆时针旋转如图，，试确定与的关系，并说明理由；
在中，若，请直接指出点所经历的路径长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：因为，
所以的倒数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：俯视图有列，从左到右小正方形的个数是，，，
故选：．
从上往下看，看到的平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
3.【答案】
【解析】解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，则选项错误；
D、正确．
故选：．
根据合并同类项的法则，积的乘方，同底数幂的除法即可作出判断．
本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
4.【答案】
【解析】解：、按照从小到大的顺序排列为，，，，，，，，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：．
根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
故选：．
设有辆车，根据每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的，可知共有人，根据每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，可知共有人，据此列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，
6.【答案】
【解析】解：与位似，与的相似比为：，
与位似比为：，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故选：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
7.【答案】
【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结果．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质，熟练运用切线的性质是本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：线段由线段平移得到，
且，，，，
．
故选：．
根据，两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
本题考查坐标与图象的变化，熟知平移过程中图象上的每一个点的平移方向和距离均相同是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，设最后一个车位的点落在边线上，延长与道路边沿交于，
在中，，，
，
在中，，，
，
同理，
，
可划车位的个数为：个，
故选：．
根据直角三角形的边角关系可求出，，进而求出，再进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
10.【答案】
【解析】解：、是关于的方程的两个实根，
，，
即，，
沿翻折得到，与边交于点，
，
，
，
，
，
在中，，
，解得或舍去，
，
．
故选：．
利用根与系数的关系得到，，，，再利用折叠的性质和平行线的性质得到，则，所以，利用勾股定理得到，解得或舍去，则，然后计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了矩形的性质和折叠的性质．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数，属于基础题．
直接利用分式、二次根式的定义求出的取值范围．
【解答】
解：代数式有意义时，
，解得：．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由条形统计图可得，
，
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：．
根据直方图中的数据，可以计算出的值，然后即可计算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】
【解析】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
平行四边形的周长为，
，
四边形的周长，
故答案为：．
先由证明≌，得，，再求得，由平行四边形的周长，即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：把代入方程得解得，
则原方程为，解得，．
因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，
所以的腰为，底边为，则的周长为．
故答案为．
先根据一元二次方程的解的定义，把代入方程求出得到原方程为，再解此方程得到，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为，底边为，再计算三角形的周长．
本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是三角形三边的关系．
16.【答案】
【解析】解：连接，由轴对称性可知，，
，
、、在以点为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
是等边三角形，
当，则，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
解：是等边三角形，
要使面积的最大，只需最大即可，
当是圆的直径时，面积的最大，
，
面积的最大值为，
故答案为：．
连接，根据圆的定义可知、、在以点为圆心，为半径的圆上，再判断是等边三角形，当，是等边三角形，此时，继而可求面积；
则当是圆的直径时，面积的最大，此时，由此可求解．
本题考查轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，圆的性质，能确定是圆的直径时，面积的最大是解题的关键．
17.【答案】解：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
原方程组的解为：．
【解析】直接使用代入消元法即可．
本题考查了解二元一次方程组，常用方法是代入消元法和加减消元法，熟练掌握解法是解题的关键．
18.【答案】证明：为的中点，
，
，，
≌，
．
【解析】本题直接使用证明即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解决问题的关键
19.【答案】
【解析】解：有名女生，总人数人，
代表是女生的概率是，
故答案为：；
设两名男生为、，两名女生为、，
则画树状图得：
共有种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有种情况，
恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选派一男一女两位同学参赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：
；
，
，
当时，原式．
【解析】先通分括号内的式子，然后再将除法改乘法约分即可；
由，可以得到，然后代入中化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
21.【答案】
【解析】解：，都在反比例函数图象上，
，
，
，，
在一次函数上，
，
，
，
，
，，
作于，
，，
，，
，
，
．
故答案为：，．
由，都在反比例函数的图象可得，以及，的坐标，再求出的坐标，计算出和即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，明确反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积都等于是解题的关键．
22.【答案】解：设甲商店硬面笔记本的单价为元，则甲商店软面笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为元；
设乙商店硬面笔记本的原价为元，则乙商店软面笔记本的原价为元，
根据题意得：，
整理得：，
．
，且，均为正整数，
．
答：乙商店硬面笔记本的原价为元．
【解析】设甲商店硬面笔记本的单价为元，则甲商店软面笔记本的单价为元，利用数量总价单价，结合用元购买硬面笔记本与用元购买软面笔记本的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
设乙商店硬面笔记本的原价为元，则乙商店软面笔记本的原价为元，利用总价单价数量，结合再多购买本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于，的二元一次方程，结合且，均为正整数，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】解：取与的交点为，
以为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，；
分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、；
作直线；
以为圆心，长为半径画弧，交于；
连接；
则即为所求，如下图所示：
是绕点顺时针旋转而成，且，
，，
点在上，
，
在和中，
≌，
，
是的半径，
是的切线；
如下图：
，是的半径，
是的切线，且是直角三角形，
，，
，
，
是的切线，
，
故，
即，
令，，
，
，且，
，
解得，
，
在中，由勾股定理得，，
即的长为．
【解析】取与的交点为，过作的垂线，以为圆心，长为半径画弧，交垂线于，连接即可；
根据证≌，得出即可；
根据勾股定理求出的长，根据三角函数得出，令，，求出值，利用勾股定理求出即可．
本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握基本作图方法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，切线的判定等知识是解题的关键．
24.【答案】解：函数的图象过点，
代入得：，
化简得：；
如图，设直线与交于点，
根据题意得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
，点为抛物线顶点，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
的面积，
存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于，
由得，，，，，，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
当时，存在最大值，最大值为．
【解析】直接代入，化简即可；
如图，设直线与交于点，待定系数法求得抛物线的解析式为，当时，，得到，，求得直线的解析式为，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；
如图，设直线交轴于，由得，，，，，，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论．
25.【答案】，且
结论：，且，
理由如下：
延长至使，连接、，延长交于，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，且；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
在旋转过程中，是定值，则也是定值，
点的运动路径是以为中点，以为半径的圆，
如图，过作，交的延长线于，
由知：是等腰直角三角形，
，
，
设，，
则，
解得：，
，
，
，
，
，
，即，
此时，点所经历的路径长．
如图，过作，交的延长线于，
同理得：，
，
，
，
此时，点所经历的路径长．
综上所述，当旋转或时，，点经历的路径长为或．
【解析】解：，且，
理由是：如图，过作，交于，交的延长线于，
是等腰直角三角形，且，
，
同理，
、、三点共线，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
；
是的中点，
，
；
故答案为：，且；；
见答案；
见答案．
作辅助线，构建全等三角形，证明≌，可得与相等且互相垂直；
根据中点的定义得的长，则；
结论仍然成立，作辅助线，延长至使，连接、，延长交于，证明≌，
则，，再证明≌，则，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和等腰三角形三线合一的性质得：，且；
先计算当时，，旋转角的度数：有两种情况：是锐角和钝角时，分别画出图形，作辅助线，构建直角三角形，设，，根据勾股定理列方程组可得的值，得的值，再计算点所经历的路径长．
本题主要考查了几何变换综合题，构造三角形全等，等腰直角三角形的判定与性质，运用类比思想，解题的关键是得出几何变换不变的边角关系，再利用三角形全等求解．
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