2023-2024学年北京五中分校校九年级（下）第二次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京五中分校校九年级（下）第二次段考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个几何体中，主视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
2.北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子余份，总量位居世界第二位将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为( )
A. B. C. D.
5.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
6.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是分、分、分若将三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
8.如图，在中，，，，分别是边，的中点，点为线段上的一个动点，连接，，设，图中某条线段长为，若表示与的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
10.分解因式：______．
11.已知为整数，且，则等于______．
12.方程的解为 ．
13.在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则 ______填“”或“”．
14.如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若点到的距离为，则 ______．
15.如图，在 中，于，且交的延长线于，当，，时，的长是______．
16.甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负如此进行比赛若干局后，甲胜局，负局；乙胜局，负局；若丙负局，那么丙胜了______局，三位同学至少进行了______局比赛．
三、解答题：本题共12小题，共118分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组：．
19.本小题分
已知，求代数式的值．
20.本小题分
已知：关于的方程．
求证：方程总有实数根；
若方程有一根小于，求的取值范围．
21.本小题分
已知在中，，点，分别是边，中点，连接，，延长到点，使得，连接，．
求证：四边形是菱形；
如果，且，求的长．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点为反比例函数的图象上一点．
求，的值；
连接，当时，求点的坐标．
23.本小题分
某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评随机抽取名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲款红茶分数百分制的频数分布表如下：
分数
频数
甲款红茶分数在这一组的是：
甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示：
品种 平均数 众数 中位数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
补全甲款红茶分数的频数分布直方图；
表格中的值为______，的值为______；
专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合
评分如下：甲款红茶分，乙款红茶分，若以这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照：的比例确定最终成绩，可以认定______款红茶最终成绩更高填“甲”或“乙”．
24.本小题分
如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作交于点．
求证：直线与相切；
如果，的长为，求的长．
25.本小题分
学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况在两种不同的场景和场景下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为分钟时，在场景，中的剩余质量分别为，单位：克．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与的几组对应值如下：
分钟
克
克
在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；
进一步探究发现，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系请分别求出场景，满足的函数关系式；
查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于克时，才能发挥作用在上述实验中，记该化学试剂在场景，中发挥作用的时间分别为，，则 ______填“”，“”或“”．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
求抛物线的对称轴；
已知点，点在抛物线上，若对于，存在，求的取值范围．
27.本小题分
在中，，，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
请补全图形；
直接写出，，之间的数量关系 ；
取中点，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明．
28.本小题分
新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．
已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形：
直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______请直接写出正确的序号．
如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．
如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线
上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：圆锥的主视图是三角形，因此选项A符合题意；
B.球的主视图是圆，因此选项B不符合题意；
C.圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D.正方体的主视图是正方形，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握正方体、圆柱、圆锥、球体的主视图的形状是正确判断的前提．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有种，
两次都取到白色小球的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次都取到白色小球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，
，
，
不正确．
B、与原点的距离大于与原点的距离，
，
B正确．
C、，且，，
，
不正确．
D、，，
，
不正确．
故选：．
根据有理数的运算法则和绝对值的性质逐个判断即可．
本题考查了有理数运算法则的应用和绝对值的性质，判断符号是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：形象、表达、内容三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，
最终成绩为：分，
故选：．
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
8.【答案】
【解析】解：设．
A、不符合题意，观察图可知在取得最小值．
B、不符合题意．观察图可知在取得最小值．
C、符合题意．观察图可知在取得最小值．
D、不符合题意．观察图可知在取得最小值为．
故选：．
观察图，确定为何值取得最小值即可一一判断．
本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
10.【答案】
【解析】解：
考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了无理数的估算取值，熟记平方数是解题关键．估算和的值即可求出答案．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
13.【答案】
【解析】解：点，在反比例函数的图象上，且，
点在第二象限，在第四象限，
，
故答案为：．
根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可确定的取值范围．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
14.【答案】
【解析】解：过作于，
由作图得：平分，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
先根据角平分线的性质得出，再根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理及角平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边为平行四边形，，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
在中，，，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，，进而得到，于是，再证明∽，得到，在中，，以此即可求解．
本题主要考查平行四边的性质、相似三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：在比赛中一人胜一局，那么就必然有人负一局，
在整个比赛中，胜局众数总等于负局众数，
甲、乙、丙总的负局数为：，甲、乙的总胜局数为：，
乙的胜局数为：．
要使甲、乙、丙三位同学的比赛局数为最少，就不能出现和局，
在没有出现和局的情况下，甲、乙、丙三位同学进行了局比赛，
三位同学至少进行了局比赛．
故答案为：，．
根据比赛的实际情况可知：有人胜一局，便有人负一局，因此最后胜局的总数总等于负数的总局，据此可求出丙的胜局数；要使比赛局数为最少，就不能出现和局现象，在没有出现和局的情况下，胜局的总数或负局众数就是比赛的局数．
此题结合实际问题主要考查了推理，有理数的运算等，解答此题的关键是理清题意，找准数量关系“胜局的总数等于负数的总局”，难点是理解在没有和局的情况下，比赛的总局数为最少．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：
，
，
，
则原式．
【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：关于的方程，
，
，
，
关于的方程总有实数根；
解：由知，，
，
，，
方程有一根小于，
，
，
即的取值范围为．
【解析】先求出，再判断出不小于，即可得出结论；
先求出方程的两根，由一根小于建立不等式求解，即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，解不等式，建立不等式是解本题的关键．
21.【答案】证明：点是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
点，分别是边，中点，
，
，
，
四边形是菱形．
四边形是菱形，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
．
【解析】由，先证明四边形是平行四边形，再证明即可得结论．
在直角三角形中，，由，可求出，则．
本题考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
22.【答案】解：一次函数的图象经过点，
，
，
代入得，，
；
一次函数的图象与轴交于点，
，
，
，
，
点的坐标为或．
【解析】根据待定系数法即可求得；
根据一次函数的解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式得到，求得，即可求得的坐标．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．待定系数法求解析，三角形面积等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23.【答案】 甲
【解析】解：甲款红茶分数在的频数为，
分数在这一组的频数为，
补全频数分布直方图：
根据所给数据可得众数为，中位数为从小到大排列的第个数据为，
故答案为：，；
以这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照：的比例确定最终成绩为：
甲的成绩：分，
乙的成绩：分，
，
可以认定甲款红茶最终成绩更高．
故答案为：甲．
求出甲款红茶分数在这一组的频数，即可补全频数分布直方图；
分别根据众数和中位数定义即可求出答案；
根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，即可得出结论．
本题考查频数率分布直方图，频数率分布表，中位数，众数，同时还要掌握加权平均数的计算方法，解题的关键是有较强的识图能力和计算能力．
24.【答案】证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
而为的半径，
直线与相切；
解：连接，，如图，
，
，
，
，
为直径，
，
，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
即，
，
，
．
【解析】连接，如图，利用等腰三角形的性质证明，则，所以，然后根据切线的性质得到结论；
连接，，如图，先证明，则，再证明，则在中利用正弦的定义求出，接着在中利用正弦的定义求出，则可求出，所以，从而得到的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．
25.【答案】
【解析】解：由题意，作图如下．
由题意，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系．
又点，在函数图象上，
．
解得：．
场景函数关系式为．
对于场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系．
又，在函数图象上，
．
解得：．
场景函数关系式为．
由题意，当时，
场景中，，
场景中，，
解得：，
．
依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
依据题意，分别求出当时的值，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
26.【答案】解：由题意，将代入得：，
．
对称轴为：．
，
点关于对称轴的对称点坐标为．
．
抛物线开口向下．
点，在抛物线上，且，
或．
，
或．
或．
【解析】依据题意，将点代入，得到，即可求得抛物线的对称轴；
依据题意，根据抛物线对称性可得点关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的性质可得，即可求得．
本题主要考查了二次函数的性质，解题时熟练掌握并理解二次函数的性质是关键．
27.【答案】
【解析】解：补全图形如下：
结论：．
理由：连接，
将线段绕点顺旋转，得到线段，
，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，即：，
，
；
，，证明如下：
如图，设交于，延长至，使，连接，
是中点，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
如图，连接，证明≌，得到，，，推出，即可得出，，之间的数量关系；
如图，设交于，延长至，使，连接，证明≌和≌，即可得证．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
28.【答案】
【解析】解：由题意是的关联图形，
故答案为．
如图中，
直线是的关联直线，
直线的临界状态是和相切的两条直线和，
当临界状态为时，连接为切点，
，，且，
是等腰直角三角形，
，，
，
把代入中，得到，
同法可得当直线是临界状态时，，
点的横坐标的取值范围为．
如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点与点重合，此时，得到的最大值为，
如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点得到的最小值为，
综上所述，，．
根据的关联图形的定义判断即可．
直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情形的点的横坐标即可解决问题．
分两种情形：如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点与点重合，此时，得到的最大值为如图中，当点在点是上方时，连接，交于点，当圆心在轴上时，点得到的最小值为，由此即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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