2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则向量的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若，，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，为的中点，，为上一点，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. ，的夹角为钝角
D. 若实数使得成立，则为负数
10.已知，其中，为锐角，则( )
A. B.
C. D.
11.已知圆的半径为，直线与圆相切于点，直线与圆交于，两点，为的中点若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知，为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______．
13.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为______．
14.设当时，函数取得最大值，则 ______．
15.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
Ⅰ若，且，求向量；
Ⅱ若，且与垂直，求与的夹角的正弦值．
17.本小题分
已知向量，，，其中．
若，求函数的最小值及相应的值；
若与的夹角为，且，求的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作：，当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
Ⅰ分别根据下列已知条件求：
，；，；
Ⅱ若向量，
求证：；
Ⅲ若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
(ⅰ)当时，求的最大值；
(ⅱ)写出的最大值．只需写出结果
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点，，
．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算法则，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
则，，
．
故选：．
利用向量的坐标运算分别求出，，再利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，又，，
．
故选：．
由求出，再由，利用两角差的余弦公式计算即可．
本题考查两角和差公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
且，，三点共线，
所以存在实数，使得，即，
则，解得．
故选：．
根据三点共线可得，列出方程组即可得解．
本题主要考查了三点共线与向量共线的转化，还考查向量共线定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
则，，
，
则，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦公式，考查诱导公式的应用，属于基础题．
根据所给的角的正弦值，利用诱导公式求出，把要求的角的余弦利用余弦的二倍角公式展开，代入数值得到结果．
【解答】
解：，
，
，
，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：若，，
则，，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据，的范围，求出的范围，再求出，由以及两角和的正切公式求出三角函数值，求出的值即可．
本题考查了三角函数求值问题，考查和差公式以及转化思想，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为为的中点，则，
可得，即，解得，
又因为为上一点，设，
则，
可得，解得，即，
则，
可得，即．
故选：．
由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解．
本题考查了向量的线性运算的几何应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当不共线时，根据向量减法的三角形法则知，
当反向共线时，，所以，故A正确；
对于，若，则以为邻边的平行四边形为矩形，
且和是这个矩形的两条对角线长，则，故B错误；
对于，因为，所以两边同时平方得：，
所以，故，则，故C错误；
对于，若存在实数，使得成立，则共线，由于，则反向共线，所以为负数，故D正确．
故选：．
根据平面向量的模、线性运算的概念，平面向量的夹角与数量积等逐一判断各选项即可．
本题考查平面向量的模，线性运算和平面向量共线，平面向量的夹角与数量积等知识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为，为锐角，所以，，
所以，，
又因为，所以，
所以，
对于项，因为，所以，则，故A项正确；
对于项，，故B项正确；
对于项，因为，，
两式相加并化简得，故C项错误；
对于项，由项知，两式相减并化简得，
所以，故D项正确．
故选：．
由三角函数平方关系可求得、即可判断项，由及差角公式即可判断项，由和角、差角公式展开、，两式相加可判断项，两式相减可得，进而可得即可判断项．
本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，易知，
则由题意可知，
由勾股定理可得，
当点，位于直线异侧时或为直径时，
设，
则
，
由，可得，
因此的取值范围为；
当点，位于直线同侧时，
设，
则
，
由，可得，
可得的取值范围为，
综上可得的最值范围是
因此的可能取值为，．
故选：．
由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或，然后结合三角函数的性质即可确定的最大值．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查三角函数的性质，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意可得向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
利用投影向量的定义计算即可得出结果．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由两边同时平方，可得，
即，整理得，
再由，可得，
所以，，
结合，，可得向量与的夹角为．
故答案为：．
根据向量的模的计算公式与性质，推出，然后根据向量的夹角公式算出答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的夹角公式等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，函数取得最大值，
，，
，
则，
故答案为：．
由题意利用辅助角公式求得 和的值，再利用两角差的余弦公式可得要求的得值．
本题主要考查辅助角公式，三角函数的最值，两角差的余弦公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：，
令，．
，
，
，
，
．
，，，，
，即：．
故答案为：．
由可得的取值范围，再由向量的数量积及夹角知识可得，再用函数的最值知识即可．
本题考查向量的数量积和模等基础知识，还考查了函数的最值与逻辑推理、计算等能力，属中档题．
16.【答案】解：Ⅰ，可设，，，
解得，
，或．
Ⅱ与垂直，
，
化为，
，
，，
与的夹角的正弦值．
【解析】Ⅰ利用向量共线定理即可得出；
Ⅱ由与垂直，可得，利用数量积的运算性质展开即可得出．
本题考查了向量共线定理、数量积的运算性质、同角三角函数的平方关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：，
，，
．
令，则，
则，且．
则，．
时，，此时．
由于，故．
所以函数的最小值为，相应的值为；
与的夹角为，
．
，，．
，．
，．
，
．
【解析】根据向量点乘表示出函数的解析式后令转化为二次函数解题．
根据向量与的夹角为确定，再由可知向量点乘向量等于整理可得，再将代入即可得到答案．
本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算．向量一般和三角函数放在一起进行考查，这种题型是高考的热点，每年必考．
18.【答案】Ⅰ解：因为，
且，
所以；
又，
是；
Ⅱ因为向量，
且向量，
则，
所以，
同理．
所以；
Ⅲ设，因为，
所以，
所以，
．
当，即时，
取得最大值；
的最大值为．
【解析】Ⅰ由求解；
Ⅱ由证明；
Ⅲ设，由求解；求解．
本题考查向量的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．
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