2023-2024学年广东省江门市培英高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省江门市培英高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，那么向量可以是( )
A. B. C. D.
2.若是第三象限的角，则是( )
A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角
C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角
3.已知扇形面积为，半径是，则扇形的圆心角是( )
A. B. C. D.
4.已知均为单位向量若，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上( )
A. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度
C. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度
6.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值是
( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正方形的边长为，若动点在以为直径的半圆上正方形内部，含边界，则的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.在中，若，则的形状可能为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不存在
11.已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是( )
A. B. C. D.
12.中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是( )
A.
B. 若，则只有一解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，的夹角为，，，则 ______．
14.已知，则 ______．
15.关于下列命题：
若，是第一象限角，且，则；
函数是偶函数；
函数的一个对称中心是；
函数在上是增函数．
写出所有正确命题的序号：______．
16.如图所示，是边长为的等边三角形，为边上的一个动点，是以为圆心，为半径的圆的直径，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知
化简
若是第二象限角，且，求的值．
18.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
当为何值时，？
19.本小题分
如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点，在单位圆上，其中点在第一象限，且，记，．
若，求点的坐标；
若点的坐标为，求的值．
20.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的表达式；
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．
21.本小题分
某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为．
过点的一条直线与走廊的外侧两边交于，两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；
一根长度为的铁棒能否水平铁棒与地面平行通过该直角走廊？请说明理由铁棒的粗细忽略不计．
22.本小题分
某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路，，之间划分两片三角形区域用来种植花卉如图中阴影部分所示，已知，，，，三点在同直线上，．
若，求的长度；
求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设向量，
由，得，
，
向量可以是．
故选：．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：是第三象限的角，，，，，
，，，，
故当为偶数时，是第一象限角，
当为奇数时，是第三象限角，
故选：．
由，，利用不等式的性质求出，，，讨论的奇偶性，得到的终边所在的象限．
本题考查象限角、轴线角的判定，体现了分类讨论的数学思想．求出的取值范围是本题的难点．
3.【答案】
【解析】【分析】
考查扇形的面积公式的应用，圆心角的求法，考查计算能力，常考题型，是基础题．
直接利用扇形面积公式，求出扇形的弧长，然后求出扇形的圆心角．
【解答】
解：因为扇形面积为，半径是，所以扇形的弧长为：，
所以扇形的圆心角为：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，
又因为，均为单位向量，
所以，解得，
所以在上的投影向量为．
故选：．
由已知，求得，再根据投影向量的概念直接求解即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查投影向量的概念，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，
接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；
若向左平移个单位长度，得到函数的图象；
故A错误，B正确；
C、中伸长到原来的倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，
故D错误．
故选：．
利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
则，
，，
由正弦定理可知，．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式，诱导公式，整体代入法，属于基础题．
由已知结合两角差的余弦公式得，由诱导公式及两角和的正弦公式展开所求式，代入即可得答案．
【解答】
解：，
，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形的边长为，
设：，，，，
取的中点，连接，所以的取值范围为，
即，
由于，
故．
故选：．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：若，则，解得，故A正确；
对于：若，则，解得，故B正确；
对于：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
所以，整理得，解得或，
当时，是等腰三角形，
当时，是直角三角形，
当且时，是等腰直角三角形．
故选：．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
因为为锐角，
所以，解得．
当时，，解得．
当为锐角时，实数的取值范围是．
所以实数可能的取值是，．
故选：．
利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据平面向量数量积公式及三角形面积公式，
，
因为，所以，故A错误；
由上可知：，故有两解，故B错误；
若为锐角三角形，
则，且，即，
由正弦定理可知：，故C正确；
若为边上的中点，则，
由余弦定理知，
根据基本不等式有，当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确．
故选：．
利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定，利用正弦定理可判定，利用角的范围结合正弦定理可判定，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定．
本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为向量，的夹角为，，，
所以，
所以．
故答案为：．
由平面向量的数量积运算计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
因为，运用整体法，利用三角函数诱导公式直接求解即可．
本题考查运用三角函数诱导公式求值，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于，若，是第一象限角，且，可举，，则，则错；
对于，函数，，则为偶函数，则对；
对于，令，解得，函数的对称中心为，
当时，即为，则对；
对于，函数，
令，，则，即为增区间，
令，，则，即为减区间．
在上即为减函数．则错．
故答案为：．
可举，，则，即可判断；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断；
由正弦函数的对称中心，解方程即可判断；由正弦函数的单调性，解不等式即可判断．
本题考查正弦函数的奇偶性和单调性、对称性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
16.【答案】
【解析】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，
设，其中；
所以，，
所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围是．
故答案为：．
以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，即可求出的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．
17.【答案】解：
．
是第二象限角，且，
，
是第二象限角，
．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，三角函数在各个象限中的符号，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意利用诱导公式化简的解析式．
利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得的值．
18.【答案】解：，
，
．
，
则，解得．
【解析】根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；
由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：若，
则，，
所以点，
若点的坐标为，
因为，点在第一象限，
所以，
即，
则，
因为，
所以，
所以，
所以．
【解析】Ⅰ若，直接利用三角函数的定义求点的坐标；
Ⅱ若点的坐标为，则，，即可求的值．
本题考查任意角的三角函数的定义、诱导公式的应用，比较基础．
20.【答案】解：由题图可知，，所以，所以，
将点的坐标代入函数，
得，即，
因为，所以，
所以函数的表达式为．
依题意，
方程在上有实数解，
即方程在上有实数解．
令，
，，，
的值域为，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据图象求出与，再结合顶点求出即可；
先求出的解析式，再把所求转化为在上有实数解；把等式左边看成是一个整体求出其范围，即可求得结论．
本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数诱导公式等知识，属于中档题．解题的关键是灵活运用对称思想求解函数的解析式．
21.【答案】解：根据图得：．
铁棒能水平通过该直角直廊，
理由如下：
．
令得，．
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
所以当时，有最小值，
因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊．
【解析】本题主要考查函数模型的建立与应用，还考查了三角函数的定义，导数法求函数最值等，属于中档题．
根据图可知，而，代入整理可得函数．
“长度为的铁棒能否水平铁棒与地面平行通过该直角走廊，铁棒能水平通过该直角直廊”，关键看函数的值域，先研究其单调性，用导数法，先求导，令得，，易知当时，，为减函数；当时，，为增函数，可知当时，有最小值，再与比较得到结论．
22.【答案】解：某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路，，之间划分两片三角形区域用来种植花卉如图中阴影部分所示，
已知，，，，三点在同直线上，，
因为，
所以在中，由余弦定理可得，
所以，解得，
由正弦定理得，即，解得，
所以，
可得，
在中，由正弦定理得，则，
解得，所以，
则的长度为；
设，则，
由于，则，
在中．由正弦定理得，解得，
过点作的垂线，交于点，设的面积为，
则，
所以，
所以，
所以
，
即面积的最小值为．
【解析】利用余弦定理得到，利用正弦定理得到，在中，由正弦定理得到的长度即可求解；
设，则，在中．由正弦定理得，过点作的垂线，交于点，设的面积为，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
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