2023-2024学年广东省广州市西关外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广东省广州市西关外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. 和 B. 与
C. 与 D. 与
2.若单位向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，则向量的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的( )
A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心
8.在中，在上，且，在上，且，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图在中，、、分别是边、、上的中线，且相交于点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知向量，设的夹角为，则( )
A. B. C. D.
11.在中，内角，，所对的边分别为、、，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C.
D. 若，且，则为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的投影向量是______．
13.一条河宽，一船从出发垂直到达正对岸的处，船速为，水速为，则船到达处所需时间为______．
14.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且，求的坐标．
已知，求与垂直的单位向量的坐标．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，若．
求角；
若，，求的面积．
17.本小题分
已知向量，记函数，
若函数的最小正周期为．
求的值；
当时，试求的值域；
求在上的单调递增区间．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．
求角的大小；
若时，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
求的余弦值．
若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，令，、不共线，且，不存在，与不共线，能作为基底，
，令，、不共线，且，不存在，与不共线，能作为基底，
，，与共线，不能作为基底，
，令，、不共线，且，不存在，与不共线，能作为基底．
故选：．
利用向量共线定理求解即可．
本题考查向量共线的应用，平面向量基底的判断，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：单位向量，的夹角为，
则．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
由正弦定理可得，即，即，
所以．
故选：．
由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
两边同时平方得，，
即，
因为，，，
所以，，
则．
故选：．
由已知结合同角平方关系先求出，，然后结合二倍角公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，由，
可得，
又，，可得，
设向量，的夹角为，，
所以，
可得，即．
故选：．
由平面向量运算律根据模长可得，再由数量积定义可得夹角为．
本题考查平面向量数量积运算及夹角公式，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据图象可知，
由，可得，
又，可得；
由可知，可得；
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得．
故选：．
由的部分图象可求得其解析式为，再根据平移规则可求得．
本题考查三角函数性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
所以点到三个顶点的距离相等，
所以为的外心；
记的中点为，
因为，
所以，
所以，，三点共线，
故点在中线上，
同理点也在的另外两条中线上，
即点为中线的交点，
即为重心；
作，
因为，
所以，
所以，
所以点在上，
同理点在的另外两条高上，
即为高的交点，
所以为的垂心．
故选：．
根据各点所满足的表达式，利用平面向量运算律并结合几何关系的向量表示可分别求得点，，依次是的外心，重心，垂心．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则
，
又，
所以，
则，
又，所以，，
则．
故选：．
根据平面向量的线性运算进行代换即可求得结论．
本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，为的重心，
对于，由重心的性质可得：：，所以，即A错误；
对于，由重心的性质可得：：，所以，即B正确；
对于，，即D错误；
对于，由上知，，
所以，
所以，即，即C正确．
故选：．
由条件可知为的重心，结合重心的性质与平面向量的线性运算法则，逐一判断即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，，，则，，
依次分析选项：
对于，，，，则与不平行，A错误；
对于，，，则，即，B正确；
对于，，，不成立，C错误；
对于，，，则，，，则，则，D正确．
故选：．
根据题意，求出、的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．
本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，平行向量的坐标关系，向量夹角的余弦公式，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：：由，根据等比的性质有，正确；
：当时，有，错误；
：，而，即，
由正弦定理易得，正确；
：如下图，是单位向量，则，
即、，则且平分，的夹角为，
易知为等边三角形，正确．
故选：．
由正弦定理及等比的性质可说明；令可得反例；由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知的形状．
本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，解三角形中的向量问题等知识，属于中等题．
12.【答案】
【解析】解：向量、满足，，且，
向量在向量方向上的投影是：
．
故答案为：．
由已知直接利用向量在向量方向上的投影向量的概念得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量在向量上投影的概念，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：合速度 ，
．
故答案为：．
求出合速度的大小，根据时间的计算公式求得答案．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：与的夹角为锐角
即
解得
当时，与同向
实数的取值范围是
故答案为：
由与的夹角为锐角，则，根据向量，我们要以构造一个关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围，但要特别注意还包括与同向与的夹角为的情况，讨论后要去掉使与同向与的夹角为的的取值．
本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，由两个向量夹角为锐角，两个向量数量积大于，我们可以寻求解答的思路，但本题才忽略还包括与同向与的夹角为的情况，导致实数的取值范围扩大．
15.【答案】解：设，
，，且，
则，解得或；
故或；
设，
则，解得或，
故或
【解析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直、共线的性质，属于基础题．
16.【答案】解：因为，
所以由正弦定理可得，
因为，
所以，即，
又，
所以．
由余弦定理可知，可得，解得，
所以．
【解析】由正弦定理，同角三角函数基本公式化简已知等式可得，结合范围，可得的值．
由余弦定理可得，解方程可得，利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
17.【答案】解：分
，，分
由，，
，
，
，
的值域为分
由，
得分
又，，或，
在上的单调递增区间为分
【解析】可利用向量的坐标运算公式结合正弦与余弦的二倍角公式求得，由最小正周期为即可求得的值；
，的值域可求得；
，令取特值，即可求得在上的单调递增区间．
本题考查平面向量数量积的运算，正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，着重考查正弦函数的图象与性质的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：在中，，而，即，
所以，由余弦定理得，所以；
由知；，而，
于是，即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值．
【解析】利用三角形面积公式、余弦定理求解即得．
由中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解．
本题主要考查解三角形，考查余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：建立以点为原点的平面直角坐标系．如图所示：
则，，，，
，
又就是的夹角，
，
的余弦值为；
设，，
，
，即．
，
，即，即，解得，
，，
由题得，
当点在上时，设，
，
，解得，
，；
当点在上时，设，
，
，不合题意，舍去；
当点在上时，设，
，
，不合题意，舍去；
当点在上时，设，
，
，解得，集，
．
综上所述，存在或．
【解析】建立以点为原点的平面直角坐标系．转化为求的夹角的余弦，即可得出答案；
设，求出点的坐标和，再就点的位置分四种情况讨论得解．
本题考查解三角形，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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