2023-2024学年福建省福州市闽侯一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年福建省福州市闽侯一中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的零点是( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. B. 、是单位向量，则
C. 两个相同的向量的模相等 D. 单位向量均相等
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.设，是两个非零向量，则下列描述错误的有( )
A. 若，则存在实数，使得
B. 若，则
C. 若，则，反向
D. 若，则，一定同向
11.函数，则下列选项正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为
C. 的最大值为 D. 的一条对称轴为
12.已知函数，则( )
A. 函数有两个不同的零点
B. 函数在上单调递增
C. 当时，若在上的最大值为，则
D. 当时，若在上的最大值为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设，，若，则______．
14. ．
15.已知，，与的夹角为，，则与的夹角为______．
16.已知，内角、、所对的边分别是、、，，的角平分线交于点若，则______，的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，．
求；
若，求实数的值．
18.本小题分
如图，在中，，设，．
Ⅰ用，表示，；
Ⅱ若为内部一点，且求证：，，三点共线．
19.本小题分
化简求值：
已知，，求的值；
已知，，且，求．
20.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，若，且．
求角的值；
若，且的面积为，求边上的中线的长．
21.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点的求法：定义法，属于基础题．
由函数零点的定义列出方程，求出方程的根是函数的零点．
【解答】
解：由得，，
所以函数的零点是，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：相反向量的模相等，所以，故A正确；
B.单位向量的模为，所以，故B正确；
C.相同向量的模相等，故C正确；
D.模相等，方向相同的向量是相等向量，单位向量的模相等，向量的方向不一定相同，故D错误．
故选：．
根据向量的基本概念，判断选项．
本题考查了向量模的定义，单位向量的定义，相等向量的定义，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，，
则，
由，得，
解得．
故选：．
利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
根据两角差的余弦公式，化简求值．
本题主要考查了诱导公式及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由余弦定理知，，
所以．
故选：．
结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
故，
又，，．
故选：．
确定，，，代入计算得到答案．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数；
故当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值为；
故函数的值域为．
故选：．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和二次函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
所以，令，
则，得，得，
所以，
所以为直角三角形，
故选：．
先化简，再结合余弦定理可得，所以得，令，代入前面的式子可求出，然后根据三边的关系可判断三角形的形状．
本题考查三角形的余弦定理和直角三角形的勾股定理的逆定理，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：：因为，
所以，A正确；
：，B错误；
：，C错误；
：，D正确．
故选：．
由已知结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式分别对各选项进行化简即可判断．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，由向量加法的意义知方向相反，且，
则存在实数，使得，故A错误；
对于，当，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，
则，故B正确；
对于，当，由向量加法的意义知方向相同，故C错误；
对于，当时，同向或反向，故D错误．
故选：．
根据向量加法的意义判断；根据平面向量加法的平行四边形法则判断；根据平面向量平行的性质判断．
本题考查向量加法的意义、平面向量加法的平行四边形法则、平面向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的性质的应用判断、、、的结论．
【解答】
解：函数，
对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：当时，，故B错误；
对于：当时，即时，函数的最大值为，故C正确；
对于：当时，，故D正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式，
所以函数有两个不同的零点，A正确；
因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，
所以在上单调递增，不正确；
令，则．
当时，，故在上先减后增，
又，故最大值为，
解得负值舍去．
同理当时，，在上的最大值为，
解得负值舍去．
故选：．
结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断．
本题考查二次函数的零点、最值问题、指数函数的单调性的运用．属于知识的综合应用．
13.【答案】
【解析】解：，；
；
；
解得；
．
故答案为：．
根据，，三点的坐标可求出，根据，即可得出，从而可求出，的值，进而求出的值．
考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及向量坐标的数乘运算，相等向量的概念．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的正切公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
利用对原式进行替换，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．
【解答】
解：原式．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】
解：，，与的夹角为，
．
，
，
，
，
．
．
与的夹角为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
则，
又因为为的角平分线，可得面积关系为，
记，则有，
可得，
由余弦定理，
得，即，
又，即，
所以，，此时，即，
故答案为：，
利用正弦定理边角互化可得出的值，设，利用三角形的面积关系可得出，利用余弦定理得出，进而得出，利用基本不等式可求得角的取值范围，由此可得出的取值范围．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：向量，，．
；
，
，
若，则，
解得实数．
【解析】利用向量坐标运算法则直接求解；
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ在中，，设，．
；
；
证明：Ⅱ因为为内部一点，且．
则，
所以与共线且有公共点，
所以，，三点共线．
【解析】由已知结合向量的线性表示即可求解；
Ⅱ由已知只要证明与共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明．
本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于中档题．
19.【答案】解：，
，且，
，
，
；
，
，且，，
，，
，且，
．
【解析】根据条件可求出，进而得出，然后根据二倍角的正切公式即可得解；
根据条件可求出和的值，然后根据两角和的正弦公式即可求出的值，进而得出的值．
本题考查了同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式和二倍角的正切公式，是基础题．
20.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
所以，或，
又因为，则，
故；
由知，又，
所以 ，
则，所以，
又，所以，
在中，，
由余弦定理得，
所以．
【解析】根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案；
由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案．
本题考查解三角形问题，三角恒等变换，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：函数
，，
令，求得，
可得函数的增区间为，．
再结合，可得函数的增区间为，．
将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，
若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，
即在区间上有两个不相等的实根．
令，则在区间上有个根．
令，则，或，
求得，或，
即实数的范围为．
【解析】由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，求得的范围．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】解：向量的伴随函数为，
则，所以，
又，所以，所以，
故；
，
相伴特征向量为，故，则，
，
设，，，
故，，
因为，所以，
即，
整理得，
由，可得，
故，又，
当且仅当时，和同时等于，等式成立，
此时点坐标为，
故在图像上存在点，使得．
【解析】根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可得解；
确定得到，再计算，，根据向量垂直关系，结合三角函数有界性得到答案．
本题考查平面向量数量积运算，考查三角函数的化简与求值，属中档题．
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