高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业23 简单符合函数的导数（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业23 简单符合函数的导数（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 350.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:50:04 | ||
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文档简介
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课时作业23 简单符合函数的导数
基础达标练
题组一 复合函数的概念
1. 对于函数 ，下列说法正确的是( )
A. 不是复合函数
B. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
C. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
D. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
【答案】D
【解析】根据复合函数的概念可知 正确.
2. (多选题)下列是复合函数的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 是二次函数，不是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数.
题组二 求复合函数的导数
3. 设 ，则 ( )
A. 0 B. C. D.
【答案】 C
【解析】由复合函数的导数公式得， ， .
4. 已知函数 的导数为 ，则 的导数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复合函数的求导公式得， 的导数为 .
5. [2023山东德州高二期中](多选题)下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】 AC
【解析】 ；
；
；
.故选 .
6. [2023湖北武汉高二测试]函数 的导数为 ，则 ， .
【答案】 2 ; 3
【解析】函数 的导数为 ，
又 ，所以 解得 ， .
7. 求下列函数的导数.
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） ;
【解析】 .
（4） .
【解析】 .
题组三 复合函数的导数的应用
8. [2022湖北丹江口第一中学高二月考]曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，求得 ，所以切点坐标为 .
又 ，所以 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
9. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该振子在时的瞬时速度为 .
【答案】0
【解析】因为 ，
所以 ，
根据导数的几何意义得该振子在 时的瞬时速度为 .
10. [2023福建泉州高二月考]已知直线 与曲线 相切，则 .
【答案】 1
【解析】因为 ，所以 ，
设切点坐标为 ，则
解得 两式相减得 .
11. 曲线 在点 处的切线与直线 平行，且与 的距离为 ，求直线 的方程.
【解析】 ， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
又直线 与直线 平行，
故直线 的方程可设为 .
由 ,得 或3.
直线 的方程为 或 .
素养提升练
12. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为初始时该放射性同位素的含量.已知 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时所需衰变的时间为( )
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
【答案】D
【解析】由 得 ，
因为 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，
即 ，解得 ，则 ，
当该放射性同位素含量为4.5贝克，即 时， ，
即 ，所以 ，解得 .故选 .
13. 已知直线 与曲线 ， 分别交于点 , ，则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】设与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，
与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，则 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，此时 ，所以当直线 与直线 重合时， 最小，最小值为 .故选 .
14. 已知，为正实数，直线与曲线相切于点 ，求 的最小值.
【解析】对 求导得 ，
因为直线 与曲线 相切于点 ，
所以 ,即 ，
所以 ，
所以切点为 ，
由切点 在直线 上，
可得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值是4.
15. 如图，酒杯上部的形状为倒立的圆锥，杯深 ．上口宽 ，将水以 的流量倒入杯中，当水深为 时，求水面高度的瞬时变化率．
【解析】设在 时注入杯中的水的高度为 ,杯中水面为圆形，圆的半径为 ，
如图，杯子上部的轴截面为等腰三角形 , 为底边 上的高， ， 分别为 ， 的中点，
容易得到 ，所以 ，
故在 时杯中水的体积 ，
又 ,所以 ，
解得 .
则 ,
当 时， ,
则 .
故当水深为 时，水面高度的瞬时变化率为 .
16. 已知函数 的图象在 处的切线为 .
（1） 求切线 的倾斜角；
【解析】由 得 ，
所以函数 的图象在 处的切线 的斜率为 ,
由于直线的倾斜角的取值范围是 ,所以切线 的倾斜角为 .
（2） 求该函数图象上一点 到直线 的最短距离．
【解析】作出直线 和曲线 （图略），可知它们无公共点，平移直线 ，当 与曲线相切时，切点到直线 的距离就是曲线上的点到直线 的最短距离，由（1）知 .
设切点为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以点 ．
所以曲线 上的点到直线 的最短距离为点 到直线 的距离，故最短距离 .
创新拓展练
17. [2023山东潍坊高二期末]已知函数 ， 为 的导函数，则 .
【答案】1
【解析】 ，其定义域为 ，令 ，
显然其定义域关于原点对称，且 ，
即函数 是 上的奇函数， ，
因此 ，所以 ，
由 两边求导得， ，即 ，
而 ，于是 ，
所以 ，
所以 .
参考答案
基础达标练
题组一 复合函数的概念
1. 对于函数 ，下列说法正确的是( )
A. 不是复合函数
B. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
C. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
D. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
【答案】D
【解析】根据复合函数的概念可知 正确.
2. (多选题)下列是复合函数的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 是二次函数，不是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数.
题组二 求复合函数的导数
3. 设 ，则 ( )
A. 0 B. C. D.
【答案】 C
【解析】由复合函数的导数公式得， ， .
4. 已知函数 的导数为 ，则 的导数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复合函数的求导公式得， 的导数为 .
5. [2023山东德州高二期中](多选题)下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】 AC
【解析】 ；
；
；
.故选 .
6. [2023湖北武汉高二测试]函数 的导数为 ，则 ， .
【答案】 2 ; 3
【解析】函数 的导数为 ，
又 ，所以 解得 ， .
7. 求下列函数的导数.
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） ;
【解析】 .
（4） .
【解析】 .
题组三 复合函数的导数的应用
8. [2022湖北丹江口第一中学高二月考]曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，求得 ，所以切点坐标为 .
又 ，所以 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
9. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该振子在时的瞬时速度为 .
【答案】0
【解析】因为 ，
所以 ，
根据导数的几何意义得该振子在 时的瞬时速度为 .
10. [2023福建泉州高二月考]已知直线 与曲线 相切，则 .
【答案】 1
【解析】因为 ，所以 ，
设切点坐标为 ，则
解得 两式相减得 .
11. 曲线 在点 处的切线与直线 平行，且与 的距离为 ，求直线 的方程.
【解析】 ， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
又直线 与直线 平行，
故直线 的方程可设为 .
由 ,得 或3.
直线 的方程为 或 .
素养提升练
12. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为初始时该放射性同位素的含量.已知 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时所需衰变的时间为( )
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
【答案】D
【解析】由 得 ，
因为 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，
即 ，解得 ，则 ，
当该放射性同位素含量为4.5贝克，即 时， ，
即 ，所以 ，解得 .故选 .
13. 已知直线 与曲线 ， 分别交于点 , ，则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】设与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，
与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，则 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，此时 ，所以当直线 与直线 重合时， 最小，最小值为 .故选 .
14. 已知，为正实数，直线与曲线相切于点 ，求 的最小值.
【解析】对 求导得 ，
因为直线 与曲线 相切于点 ，
所以 ,即 ，
所以 ，
所以切点为 ，
由切点 在直线 上，
可得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值是4.
15. 如图，酒杯上部的形状为倒立的圆锥，杯深 ．上口宽 ，将水以 的流量倒入杯中，当水深为 时，求水面高度的瞬时变化率．
【解析】设在 时注入杯中的水的高度为 ,杯中水面为圆形，圆的半径为 ，
如图，杯子上部的轴截面为等腰三角形 , 为底边 上的高， ， 分别为 ， 的中点，
容易得到 ，所以 ，
故在 时杯中水的体积 ，
又 ,所以 ，
解得 .
则 ,
当 时， ,
则 .
故当水深为 时，水面高度的瞬时变化率为 .
16. 已知函数 的图象在 处的切线为 .
（1） 求切线 的倾斜角；
【解析】由 得 ，
所以函数 的图象在 处的切线 的斜率为 ,
由于直线的倾斜角的取值范围是 ,所以切线 的倾斜角为 .
（2） 求该函数图象上一点 到直线 的最短距离．
【解析】作出直线 和曲线 （图略），可知它们无公共点，平移直线 ，当 与曲线相切时，切点到直线 的距离就是曲线上的点到直线 的最短距离，由（1）知 .
设切点为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以点 ．
所以曲线 上的点到直线 的最短距离为点 到直线 的距离，故最短距离 .
创新拓展练
17. [2023山东潍坊高二期末]已知函数 ， 为 的导函数，则 .
【答案】1
【解析】 ，其定义域为 ，令 ，
显然其定义域关于原点对称，且 ，
即函数 是 上的奇函数， ，
因此 ，所以 ，
由 两边求导得， ，即 ，
而 ，于是 ，
所以 ，
所以 .
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课时作业23 简单符合函数的导数
基础达标练
题组一 复合函数的概念
1. 对于函数 ，下列说法正确的是( )
A. 不是复合函数
B. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
C. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
D. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
【答案】D
【解析】根据复合函数的概念可知 正确.
2. (多选题)下列是复合函数的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 是二次函数，不是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数.
题组二 求复合函数的导数
3. 设 ，则 ( )
A. 0 B. C. D.
【答案】 C
【解析】由复合函数的导数公式得， ， .
4. 已知函数 的导数为 ，则 的导数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复合函数的求导公式得， 的导数为 .
5. [2023山东德州高二期中](多选题)下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】 AC
【解析】 ；
；
；
.故选 .
6. [2023湖北武汉高二测试]函数 的导数为 ，则 ， .
【答案】 2 ; 3
【解析】函数 的导数为 ，
又 ，所以 解得 ， .
7. 求下列函数的导数.
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） ;
【解析】 .
（4） .
【解析】 .
题组三 复合函数的导数的应用
8. [2022湖北丹江口第一中学高二月考]曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，求得 ，所以切点坐标为 .
又 ，所以 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
9. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该振子在时的瞬时速度为 .
【答案】0
【解析】因为 ，
所以 ，
根据导数的几何意义得该振子在 时的瞬时速度为 .
10. [2023福建泉州高二月考]已知直线 与曲线 相切，则 .
【答案】 1
【解析】因为 ，所以 ，
设切点坐标为 ，则
解得 两式相减得 .
11. 曲线 在点 处的切线与直线 平行，且与 的距离为 ，求直线 的方程.
【解析】 ， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
又直线 与直线 平行，
故直线 的方程可设为 .
由 ,得 或3.
直线 的方程为 或 .
素养提升练
12. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为初始时该放射性同位素的含量.已知 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时所需衰变的时间为( )
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
【答案】D
【解析】由 得 ，
因为 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，
即 ，解得 ，则 ，
当该放射性同位素含量为4.5贝克，即 时， ，
即 ，所以 ，解得 .故选 .
13. 已知直线 与曲线 ， 分别交于点 , ，则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】设与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，
与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，则 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，此时 ，所以当直线 与直线 重合时， 最小，最小值为 .故选 .
14. 已知，为正实数，直线与曲线相切于点 ，求 的最小值.
【解析】对 求导得 ，
因为直线 与曲线 相切于点 ，
所以 ,即 ，
所以 ，
所以切点为 ，
由切点 在直线 上，
可得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值是4.
15. 如图，酒杯上部的形状为倒立的圆锥，杯深 ．上口宽 ，将水以 的流量倒入杯中，当水深为 时，求水面高度的瞬时变化率．
【解析】设在 时注入杯中的水的高度为 ,杯中水面为圆形，圆的半径为 ，
如图，杯子上部的轴截面为等腰三角形 , 为底边 上的高， ， 分别为 ， 的中点，
容易得到 ，所以 ，
故在 时杯中水的体积 ，
又 ,所以 ，
解得 .
则 ,
当 时， ,
则 .
故当水深为 时，水面高度的瞬时变化率为 .
16. 已知函数 的图象在 处的切线为 .
（1） 求切线 的倾斜角；
【解析】由 得 ，
所以函数 的图象在 处的切线 的斜率为 ,
由于直线的倾斜角的取值范围是 ,所以切线 的倾斜角为 .
（2） 求该函数图象上一点 到直线 的最短距离．
【解析】作出直线 和曲线 （图略），可知它们无公共点，平移直线 ，当 与曲线相切时，切点到直线 的距离就是曲线上的点到直线 的最短距离，由（1）知 .
设切点为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以点 ．
所以曲线 上的点到直线 的最短距离为点 到直线 的距离，故最短距离 .
创新拓展练
17. [2023山东潍坊高二期末]已知函数 ， 为 的导函数，则 .
【答案】1
【解析】 ，其定义域为 ，令 ，
显然其定义域关于原点对称，且 ，
即函数 是 上的奇函数， ，
因此 ，所以 ，
由 两边求导得， ，即 ，
而 ，于是 ，
所以 ，
所以 .
参考答案
基础达标练
题组一 复合函数的概念
1. 对于函数 ，下列说法正确的是( )
A. 不是复合函数
B. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
C. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
D. 是复合函数，可以看成由 和 这两个基本初等函数复合而成
【答案】D
【解析】根据复合函数的概念可知 正确.
2. (多选题)下列是复合函数的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数；
对于 ： 是二次函数，不是复合函数；
对于 ： 由函数 和 复合而成，是复合函数.
题组二 求复合函数的导数
3. 设 ，则 ( )
A. 0 B. C. D.
【答案】 C
【解析】由复合函数的导数公式得， ， .
4. 已知函数 的导数为 ，则 的导数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复合函数的求导公式得， 的导数为 .
5. [2023山东德州高二期中](多选题)下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】 AC
【解析】 ；
；
；
.故选 .
6. [2023湖北武汉高二测试]函数 的导数为 ，则 ， .
【答案】 2 ; 3
【解析】函数 的导数为 ，
又 ，所以 解得 ， .
7. 求下列函数的导数.
（1） ；
【解析】 .
（2） ；
【解析】 .
（3） ;
【解析】 .
（4） .
【解析】 .
题组三 复合函数的导数的应用
8. [2022湖北丹江口第一中学高二月考]曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，求得 ，所以切点坐标为 .
又 ，所以 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
9. 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该振子在时的瞬时速度为 .
【答案】0
【解析】因为 ，
所以 ，
根据导数的几何意义得该振子在 时的瞬时速度为 .
10. [2023福建泉州高二月考]已知直线 与曲线 相切，则 .
【答案】 1
【解析】因为 ，所以 ，
设切点坐标为 ，则
解得 两式相减得 .
11. 曲线 在点 处的切线与直线 平行，且与 的距离为 ，求直线 的方程.
【解析】 ， ， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
又直线 与直线 平行，
故直线 的方程可设为 .
由 ,得 或3.
直线 的方程为 或 .
素养提升练
12. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为初始时该放射性同位素的含量.已知 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时所需衰变的时间为( )
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
【答案】D
【解析】由 得 ，
因为 时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 ，
即 ，解得 ，则 ，
当该放射性同位素含量为4.5贝克，即 时， ，
即 ，所以 ，解得 .故选 .
13. 已知直线 与曲线 ， 分别交于点 , ，则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】设与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，
与直线 垂直，且与曲线 相切的直线为 ，则 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，
设直线 与曲线 的切点为 ，
因为 ，所以 ，解得 ， ，即 ，此时 ，所以当直线 与直线 重合时， 最小，最小值为 .故选 .
14. 已知，为正实数，直线与曲线相切于点 ，求 的最小值.
【解析】对 求导得 ，
因为直线 与曲线 相切于点 ，
所以 ,即 ，
所以 ，
所以切点为 ，
由切点 在直线 上，
可得 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值是4.
15. 如图，酒杯上部的形状为倒立的圆锥，杯深 ．上口宽 ，将水以 的流量倒入杯中，当水深为 时，求水面高度的瞬时变化率．
【解析】设在 时注入杯中的水的高度为 ,杯中水面为圆形，圆的半径为 ，
如图，杯子上部的轴截面为等腰三角形 , 为底边 上的高， ， 分别为 ， 的中点，
容易得到 ，所以 ，
故在 时杯中水的体积 ，
又 ,所以 ，
解得 .
则 ,
当 时， ,
则 .
故当水深为 时，水面高度的瞬时变化率为 .
16. 已知函数 的图象在 处的切线为 .
（1） 求切线 的倾斜角；
【解析】由 得 ，
所以函数 的图象在 处的切线 的斜率为 ,
由于直线的倾斜角的取值范围是 ,所以切线 的倾斜角为 .
（2） 求该函数图象上一点 到直线 的最短距离．
【解析】作出直线 和曲线 （图略），可知它们无公共点，平移直线 ，当 与曲线相切时，切点到直线 的距离就是曲线上的点到直线 的最短距离，由（1）知 .
设切点为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以点 ．
所以曲线 上的点到直线 的最短距离为点 到直线 的距离，故最短距离 .
创新拓展练
17. [2023山东潍坊高二期末]已知函数 ， 为 的导函数，则 .
【答案】1
【解析】 ，其定义域为 ，令 ，
显然其定义域关于原点对称，且 ，
即函数 是 上的奇函数， ，
因此 ，所以 ，
由 两边求导得， ，即 ，
而 ，于是 ，
所以 ，
所以 .
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