高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业9 等比数列的判定与性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业9 等比数列的判定与性质（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 320.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:51:33 | ||
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文档简介
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课时作业9 等比数列的判定与性质
基础达标练习
一、等比数列通项公式的函数特征
1. 已知等比数列 ，下列选项能判断 为递增数列的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. [2023山东烟台高二测试]数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则“ ”是“数列 为递减数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、等比数列的判定与证明
3. 已知数列 ，则“ ”是“ 为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. （多选题）下列关于等比数列 的命题中是真命题的是 ( )
A. 若 是等比数列，则
B. 若 ,则 是等比数列
C. 若 ,则 不是等比数列
D. 若 不是等比数列,则
5. 设数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1） 证明：数列 是等比数列；
（2） 求数列 的通项公式.
三 ， ， ， ，且 性质的应用
6. 在等比数列 中， ， ，则 等于( )
A. B. 128 C. D. 256
7. (多选题)已知数列 是正项等比数列，且 ，则 的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. D.
8. [2023湖北荆门高二测试]已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 .
9. 在各项均为正数的等比数列中，，则 .
10. [2023辽宁营口高二期中]在等比数列 中，若 , ，则 的值为 ，公比 的值为 .
11. [2023江苏如东中学高二期末]已知数列 是等比数列，若 , ，则使得数列 的前 项乘积 的 的最大值为 .
素养提升练习
12. (多选题)已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，记 的前 项积为 ，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
13. 已知 ，数列 满足 ，且对任意 ，都有 ，则( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
14. 已知数列 ， 满足 , ，其中 是等差数列，且 ，则 .
15. 已知方程 的四个根可以组成以1为首项的等比数列，则 .
16. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1） 求 ， 的值；
（2） 求证：数列 是等比数列．
17. 在1和2之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记为 ，令 ， .
（1） 证明：数列 为等比数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
参考答案
基础达标练习
一、等比数列通项公式的函数特征
1. 已知等比数列 ，下列选项能判断 为递增数列的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】对于 ， ， ，则 单调递减，故 不符合题意；
对于 ， ， ，则 的符号会随着 取奇数或偶数发生改变，故数列为摆动数列，故 不符合题意；
对于 ， ， ，则 为常数列，不具有单调性，故 不符合题意；
对于 ， ， ， ， 在 上单调递减， 为递增数列，故 符合题意.
故选 .
2. [2023山东烟台高二测试]数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则“ ”是“数列 为递减数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】由 ，得 或 ，
此时数列 不一定是递减数列，所以充分性不成立；
由数列 为递减数列，得 或 所以 ，所以必要性成立.
综上，“ ”是“数列 为递减数列”的必要不充分条件.
故选 .
二、等比数列的判定与证明
3. 已知数列 ，则“ ”是“ 为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若数列 为等比数列，则 ，且数列 的各项均不为0，
所以由“ ”不能推出“ 为等比数列”，充分性不成立；
由“ 为等比数列”可以推出“ ”，必要性成立，
所以“ ”是“ 为等比数列”的必要不充分条件.
故选 .
4. （多选题）下列关于等比数列 的命题中是真命题的是 ( )
A. 若 是等比数列，则
B. 若 ,则 是等比数列
C. 若 ,则 不是等比数列
D. 若 不是等比数列,则
【答案】 AC
【解析】对于 ，若 是等比数列，则必有 ，得 ，故选项 中命题为真；
对于 ，如0,0,0， ，虽然满足 ，但 不是等比数列，故选项 中命题为假；
选项 中命题是真命题，假设 是等比数列，
由选项 知，必有 ,与 矛盾,所以假设不成立，从而原命题为真命题；由数列0，0，0， ，可知选项 中命题是假命题.
5. 设数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1） 证明：数列 是等比数列；
证明：因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以由①②得， ， ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为3的等比数列.
（2） 求数列 的通项公式.
【解析】由（1）得， ，则 .
当 时， ；
当 时， ，两式相减得， .
又 时， 满足上式，故数列 的通项公式为 .
三 ， ， ， ，且 性质的应用
6. 在等比数列 中， ， ，则 等于( )
A. B. 128 C. D. 256
【答案】 B
【解析】根据等比数列的性质可知， ，又 ，且 ，所以 ，故 .故选 .
7. (多选题)已知数列 是正项等比数列，且 ，则 的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】 ABD
【解析】 数列 是正项等比数列， , ，由 ，得 ,解得 ，选项 符合题意.
8. [2023湖北荆门高二测试]已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 .
【答案】18
【解析】在等比数列 中， ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因为数列 是等差数列，所以 .
9. 在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【答案】4
【解析】因为数列 为等比数列，所以 ，
所以 .
10. [2023辽宁营口高二期中]在等比数列 中，若 , ，则 的值为 ，公比 的值为 .
【答案】3 ; 1
【解析】由等比数列的性质可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，得 .
11. [2023江苏如东中学高二期末]已知数列 是等比数列，若 , ，则使得数列 的前 项乘积 的 的最大值为 .
【答案】20
【解析】数列 是等比数列， , ，
所以 ，
，所以使得 的 的最大值为20.
素养提升练习
12. (多选题)已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，记 的前 项积为 ，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由于等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，所以 ，由题意得 , ，所以 .
因为 ，所以 ， ，
.
故选 .
13. 已知 ，数列 满足 ，且对任意 ，都有 ，则( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
【答案】D
【解析】由题意知， ，所以 ，
所以 ， ，
所以{ 是等比数列，且 ,所以 ，
选项 ， ， 错误，选项 正确.
故选 ．
14. 已知数列 ， 满足 , ，其中 是等差数列，且 ，则 .
【答案】
【解析】 ,因为 是等差数列，所以 为定值，
所以 是等比数列.
由已知得，
.
15. 已知方程 的四个根可以组成以1为首项的等比数列，则 .
【答案】
【解析】设方程 的四个根从小到大依次为 ， ， ， ，
则 ，由等比数列的性质可知， ，方程 的两根之积为8，方程 的两根之积也为8，
，则等比数列 ， ， ， 的公比 ，
， ，
由根与系数的关系，不妨设 ， ，则 ， ，
因此 ， .
16. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1） 求 ， 的值；
【解析】 ，
当 时， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
（2） 求证：数列 是等比数列．
证明： ，①
当 时， ．
得
.
，即 ， ，
， ， ，
故 是以4为首项，2为公比的等比数列．
17. 在1和2之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记为 ，令 ， .
（1） 证明：数列 为等比数列；
【解析】证明：设 ， ， ， ， 构成等比数列，其中 ， ，
依题意得， ， ，②
易知 ，
：得 .
， .
，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）得 ，
易知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 .
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课时作业9 等比数列的判定与性质
基础达标练习
一、等比数列通项公式的函数特征
1. 已知等比数列 ，下列选项能判断 为递增数列的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. [2023山东烟台高二测试]数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则“ ”是“数列 为递减数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、等比数列的判定与证明
3. 已知数列 ，则“ ”是“ 为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. （多选题）下列关于等比数列 的命题中是真命题的是 ( )
A. 若 是等比数列，则
B. 若 ,则 是等比数列
C. 若 ,则 不是等比数列
D. 若 不是等比数列,则
5. 设数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1） 证明：数列 是等比数列；
（2） 求数列 的通项公式.
三 ， ， ， ，且 性质的应用
6. 在等比数列 中， ， ，则 等于( )
A. B. 128 C. D. 256
7. (多选题)已知数列 是正项等比数列，且 ，则 的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. D.
8. [2023湖北荆门高二测试]已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 .
9. 在各项均为正数的等比数列中，，则 .
10. [2023辽宁营口高二期中]在等比数列 中，若 , ，则 的值为 ，公比 的值为 .
11. [2023江苏如东中学高二期末]已知数列 是等比数列，若 , ，则使得数列 的前 项乘积 的 的最大值为 .
素养提升练习
12. (多选题)已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，记 的前 项积为 ，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
13. 已知 ，数列 满足 ，且对任意 ，都有 ，则( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
14. 已知数列 ， 满足 , ，其中 是等差数列，且 ，则 .
15. 已知方程 的四个根可以组成以1为首项的等比数列，则 .
16. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1） 求 ， 的值；
（2） 求证：数列 是等比数列．
17. 在1和2之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记为 ，令 ， .
（1） 证明：数列 为等比数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
参考答案
基础达标练习
一、等比数列通项公式的函数特征
1. 已知等比数列 ，下列选项能判断 为递增数列的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】对于 ， ， ，则 单调递减，故 不符合题意；
对于 ， ， ，则 的符号会随着 取奇数或偶数发生改变，故数列为摆动数列，故 不符合题意；
对于 ， ， ，则 为常数列，不具有单调性，故 不符合题意；
对于 ， ， ， ， 在 上单调递减， 为递增数列，故 符合题意.
故选 .
2. [2023山东烟台高二测试]数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则“ ”是“数列 为递减数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】由 ，得 或 ，
此时数列 不一定是递减数列，所以充分性不成立；
由数列 为递减数列，得 或 所以 ，所以必要性成立.
综上，“ ”是“数列 为递减数列”的必要不充分条件.
故选 .
二、等比数列的判定与证明
3. 已知数列 ，则“ ”是“ 为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若数列 为等比数列，则 ，且数列 的各项均不为0，
所以由“ ”不能推出“ 为等比数列”，充分性不成立；
由“ 为等比数列”可以推出“ ”，必要性成立，
所以“ ”是“ 为等比数列”的必要不充分条件.
故选 .
4. （多选题）下列关于等比数列 的命题中是真命题的是 ( )
A. 若 是等比数列，则
B. 若 ,则 是等比数列
C. 若 ,则 不是等比数列
D. 若 不是等比数列,则
【答案】 AC
【解析】对于 ，若 是等比数列，则必有 ，得 ，故选项 中命题为真；
对于 ，如0,0,0， ，虽然满足 ，但 不是等比数列，故选项 中命题为假；
选项 中命题是真命题，假设 是等比数列，
由选项 知，必有 ,与 矛盾,所以假设不成立，从而原命题为真命题；由数列0，0，0， ，可知选项 中命题是假命题.
5. 设数列 的前 项和为 ，若 ， .
（1） 证明：数列 是等比数列；
证明：因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以由①②得， ， ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为3的等比数列.
（2） 求数列 的通项公式.
【解析】由（1）得， ，则 .
当 时， ；
当 时， ，两式相减得， .
又 时， 满足上式，故数列 的通项公式为 .
三 ， ， ， ，且 性质的应用
6. 在等比数列 中， ， ，则 等于( )
A. B. 128 C. D. 256
【答案】 B
【解析】根据等比数列的性质可知， ，又 ，且 ，所以 ，故 .故选 .
7. (多选题)已知数列 是正项等比数列，且 ，则 的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】 ABD
【解析】 数列 是正项等比数列， , ，由 ，得 ,解得 ，选项 符合题意.
8. [2023湖北荆门高二测试]已知等比数列 中， ，数列 是等差数列，且 ，则 .
【答案】18
【解析】在等比数列 中， ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因为数列 是等差数列，所以 .
9. 在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【答案】4
【解析】因为数列 为等比数列，所以 ，
所以 .
10. [2023辽宁营口高二期中]在等比数列 中，若 , ，则 的值为 ，公比 的值为 .
【答案】3 ; 1
【解析】由等比数列的性质可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，得 .
11. [2023江苏如东中学高二期末]已知数列 是等比数列，若 , ，则使得数列 的前 项乘积 的 的最大值为 .
【答案】20
【解析】数列 是等比数列， , ，
所以 ，
，所以使得 的 的最大值为20.
素养提升练习
12. (多选题)已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，记 的前 项积为 ，则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由于等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 , ，所以 ，由题意得 , ，所以 .
因为 ，所以 ， ，
.
故选 .
13. 已知 ，数列 满足 ，且对任意 ，都有 ，则( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
【答案】D
【解析】由题意知， ，所以 ，
所以 ， ，
所以{ 是等比数列，且 ,所以 ，
选项 ， ， 错误，选项 正确.
故选 ．
14. 已知数列 ， 满足 , ，其中 是等差数列，且 ，则 .
【答案】
【解析】 ,因为 是等差数列，所以 为定值，
所以 是等比数列.
由已知得，
.
15. 已知方程 的四个根可以组成以1为首项的等比数列，则 .
【答案】
【解析】设方程 的四个根从小到大依次为 ， ， ， ，
则 ，由等比数列的性质可知， ，方程 的两根之积为8，方程 的两根之积也为8，
，则等比数列 ， ， ， 的公比 ，
， ，
由根与系数的关系，不妨设 ， ，则 ， ，
因此 ， .
16. 设数列 的前 项和为 ，已知 ．
（1） 求 ， 的值；
【解析】 ，
当 时， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
（2） 求证：数列 是等比数列．
证明： ，①
当 时， ．
得
.
，即 ， ，
， ， ，
故 是以4为首项，2为公比的等比数列．
17. 在1和2之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记为 ，令 ， .
（1） 证明：数列 为等比数列；
【解析】证明：设 ， ， ， ， 构成等比数列，其中 ， ，
依题意得， ， ，②
易知 ，
：得 .
， .
，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）得 ，
易知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 .
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