高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业10 等比数列的综合应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业10 等比数列的综合应用（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 316.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:52:10 | ||
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文档简介
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课时作业10 等比数列的综合应用
基础达标练习
题组一 由等比数列构造新的等比数列
1. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知数列 为等比数列，则( )
A. 数列 ， ， 成等比数列
B. 数列 ， ， 成等比数列
C. 数列 ， ， 成等比数列
D. 数列 ， ， 成等比数列
2. （多选题）已知等比数列 中， ，公比 ，则( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等比数列
C. 数列 是等比数列 D. 数列{ 是递减数列
3. [2023江西高二测试]已知 是一个无穷等比数列，首项为 ，公比为 .
（1） 将数列 中的前 项去掉，剩余项组成一个新数列，则这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2） 取出数列 中的所有奇数项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
在数列 中，每隔10项取出一项，取出的数依次排列组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？请根据得到的结论写出一个关于等比数列的猜想.
题组二 等比数列的实际应用
4. 已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴， ，按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
5. “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的棰，每天截取一半，永远都取不完．”设第一天这根棰被截取一半，剩下 尺，第二天被截取剩下的一半，剩下 尺， ，第五天被截取剩下的一半，剩下 尺，则 ( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
6. [2023江苏苏州高二调研]直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,受到了广大消费者的追捧,针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长 ，则 年后，该公司投入的资金开始超过7 000万元.
（参考数据: , , ）( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
7. 拉面是很多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，先将面团拉到一定长度，然后对折（对折后面条的根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将 面团拉成细丝面条，每次对折后去掉的捏在手里的面团都是 ．第一次拉的长度是 ，共拉了7次，则最后每根 长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗细均匀，质量相等）是 .
题组三 等比数列与其他知识的交汇问题
8. 若数列 是等比数列，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
9. 在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 的值为( )
A. B. C. D. 2
10. [2023江西九江高二期末]已知 ， ，若 ， ， ， 成等比数列， ， ， ， 成等差数列，则 的最小值为 .
11. 等比数列中, ,则 , .
素养提升练习
12. 为公比大于1的正项等比数列，且 和 是方程 的两根，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
13. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知首项为正数的等比数列 的公比为 ，曲线 ，则下列叙述正确的有( )
A. 时, 为圆
B. 时, 的离心率为2
C. 时, 的离心率为
D. 时, 表示渐近线为 的双曲线
14. 从盛满 升酒精的容器里倒出 升酒精，再用水加满，再倒出 升液体，再用水加满， ，这样倒了 次后容器中的纯酒精有多少升？
15. 某县位于沙漠边缘地带，到2018年年底全县的绿化率已达到 ，从2018年开始，原有沙漠面积的 通过植树造林改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的 又被侵蚀，变为沙漠．
（1） 设全县面积为1，2018年年底绿洲面积 ，经过一年（指2019年年底）绿洲面积为 ，经过 年绿洲面积为 ，求证： ;
（2） 至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过 ？（精确到年， ）
参考答案
基础达标练习
题组一 由等比数列构造新的等比数列
1. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知数列 为等比数列，则( )
A. 数列 ， ， 成等比数列
B. 数列 ， ， 成等比数列
C. 数列 ， ， 成等比数列
D. 数列 ， ， 成等比数列
【答案】BD
【解析】设等比数列 的公比为 ， ， ，当 时， ，故 错误；
数列 ， ， 的每项都不为0，且 ，故 正确；
当数列 为1， ，1， ，1， 时， ，故 错误；
数列 ， ， 的每一项都不为0，且 ，故 正确.
故选 .
2. （多选题）已知等比数列 中， ，公比 ，则( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等比数列
C. 数列 是等比数列 D. 数列{ 是递减数列
【答案】BC
【解析】因为等比数列 中， ， ，所以 ，即 ，故 错误；
， ，于是 ，故 是等比数列，故 正确；
，故 正确；
是递增数列，故 错误.
故选 .
3. [2023江西高二测试]已知 是一个无穷等比数列，首项为 ，公比为 .
（1） 将数列 中的前 项去掉，剩余项组成一个新数列，则这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【解析】将数列 中的前 项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 , .
（2） 取出数列 中的所有奇数项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【解析】取出数列 中的所有奇数项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 , .
（3） 在数列 中，每隔10项取出一项，取出的数依次排列组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？请根据得到的结论写出一个关于等比数列的猜想.
【解析】在数列 中，每隔10项取出一项，取出的数依次排列组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是 ，我们由此可以得到一个结论：在数列 中，每隔 项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为 .
题组二 等比数列的实际应用
4. [2023重庆巫山官渡中学高二期末]已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴， ，按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
【答案】B
【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有 只蜜蜂， ，按照这个规律，每天的蜜蜂数构成以5为首项，5为公比的等比数列，则第 天的蜜蜂数 ，所以第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂 只.故选 .
5. “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的棰，每天截取一半，永远都取不完．”设第一天这根棰被截取一半，剩下 尺，第二天被截取剩下的一半，剩下 尺， ，第五天被截取剩下的一半，剩下 尺，则 ( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
【答案】 D
【解析】设这根棰总长为1，则 为 ,公比 的等比数列,所以 , ， ， ，所以 .
6. [2023江苏苏州高二调研]直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,受到了广大消费者的追捧,针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长 ，则 年后，该公司投入的资金开始超过7 000万元.（参考数据: , , ）( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
【答案】 C
【解析】设 年后该公司投入的资金为 万元,则 ,由题意可知，数列 是以 为首项,1.12为公比的等比数列，所以 ，
由 可得 ,
因此，12年后，该公司投入的资金开始超过7 000万元.
7. 拉面是很多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，先将面团拉到一定长度，然后对折（对折后面条的根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将 面团拉成细丝面条，每次对折后去掉的捏在手里的面团都是 ．第一次拉的长度是 ，共拉了7次，则最后每根 长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗细均匀，质量相等）是 .
【答案】3
【解析】这团面共拉了7次，即对折了6次，最后所有细丝拉面的总质量是 ，拉了7次后，共有 根长度为 的细丝面条，每根这样的面条的质量为 ．
题组三 等比数列与其他知识的交汇问题
8. 若数列 是等比数列，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】等比数列 中， , ,
.故选 .
9. 在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 的值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为 ， 是方程 的两个根，
所以有 , ，因此 ， ，
由等比数列的性质可知， ，而 ，
所以 .
10. [2023江西九江高二期末]已知 ， ，若 ， ， ， 成等比数列， ， ， ， 成等差数列，则 的最小值为 .
【答案】4
【解析】由题意得， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
11. 等比数列中, ,则 , .
【答案】 ；6
【解析】因为 是等比数列,所以 ,所以 ,
，
.
素养提升练习
12. [2023山东青岛高二测试] 为公比大于1的正项等比数列，且 和 是方程 的两根，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得， ， ，因为 为公比大于1的正项等比数列，所以 ，故 ， ，所以 ，将其代入 得， ，解得 或4，
设公比为 ，当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ；当 时， ，所以 ，
因为 ，所以不符合题意，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 , 时，等号成立，故选 .
13. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知首项为正数的等比数列 的公比为 ，曲线 ，则下列叙述正确的有( )
A. 时, 为圆
B. 时, 的离心率为2
C. 时, 的离心率为
D. 时, 表示渐近线为 的双曲线
【答案】ACD
【解析】当 时， ，所以 ，
即曲线 是圆心为 ，半径为 的圆，故 正确；
当 时， ，所以 与 互为相反数，且不为0，
故 为等轴双曲线，其离心率为 ，故 错误；
当 时，数列 为递增数列， ,故 ，
所以曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，
故 的离心率为 ，故 正确；
当 时， 与 异号，故曲线 表示双曲线，
其渐近线为 ，故 正确.
故选 .
14. 从盛满 升酒精的容器里倒出 升酒精，再用水加满，再倒出 升液体，再用水加满， ，这样倒了 次后容器中的纯酒精有多少升？
【解析】第一次倒完后容器中有纯酒精 升,即 升，
第二次倒完后有纯酒精 升，即 升，
……
显然每次倒完后容器中的纯酒精量构成以 为首项， 为公比的等比数列，故第 次倒完后容器中有纯酒精 升.
15. 某县位于沙漠边缘地带，到2018年年底全县的绿化率已达到 ，从2018年开始，原有沙漠面积的 通过植树造林改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的 又被侵蚀，变为沙漠．
（1） 设全县面积为1，2018年年底绿洲面积 ，经过一年（指2019年年底）绿洲面积为 ，经过 年绿洲面积为 ，求证： ;
【解析】证明：设2018年年底沙漠面积为 ，经过 年沙漠面积为 ，则 且 ， 绿洲面积 由两部分组成，一部分是原有绿洲面积 减去被侵蚀的面积，即 ，
另一部分是由沙漠改造成的绿洲面积 ， ， ．
（2） 至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过 ？（精确到年， ）
【解析】由 ，得 ，
是首项为 ,公比为 的等比数列．
， ，
令 ，
即 ，
得 ，
两边取常用对数得 ，
则 ,
， .
至少经过5年的努力，绿洲面积才能超过 ．
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课时作业10 等比数列的综合应用
基础达标练习
题组一 由等比数列构造新的等比数列
1. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知数列 为等比数列，则( )
A. 数列 ， ， 成等比数列
B. 数列 ， ， 成等比数列
C. 数列 ， ， 成等比数列
D. 数列 ， ， 成等比数列
2. （多选题）已知等比数列 中， ，公比 ，则( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等比数列
C. 数列 是等比数列 D. 数列{ 是递减数列
3. [2023江西高二测试]已知 是一个无穷等比数列，首项为 ，公比为 .
（1） 将数列 中的前 项去掉，剩余项组成一个新数列，则这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2） 取出数列 中的所有奇数项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
在数列 中，每隔10项取出一项，取出的数依次排列组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？请根据得到的结论写出一个关于等比数列的猜想.
题组二 等比数列的实际应用
4. 已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴， ，按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
5. “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的棰，每天截取一半，永远都取不完．”设第一天这根棰被截取一半，剩下 尺，第二天被截取剩下的一半，剩下 尺， ，第五天被截取剩下的一半，剩下 尺，则 ( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
6. [2023江苏苏州高二调研]直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,受到了广大消费者的追捧,针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长 ，则 年后，该公司投入的资金开始超过7 000万元.
（参考数据: , , ）( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
7. 拉面是很多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，先将面团拉到一定长度，然后对折（对折后面条的根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将 面团拉成细丝面条，每次对折后去掉的捏在手里的面团都是 ．第一次拉的长度是 ，共拉了7次，则最后每根 长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗细均匀，质量相等）是 .
题组三 等比数列与其他知识的交汇问题
8. 若数列 是等比数列，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
9. 在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 的值为( )
A. B. C. D. 2
10. [2023江西九江高二期末]已知 ， ，若 ， ， ， 成等比数列， ， ， ， 成等差数列，则 的最小值为 .
11. 等比数列中, ,则 , .
素养提升练习
12. 为公比大于1的正项等比数列，且 和 是方程 的两根，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
13. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知首项为正数的等比数列 的公比为 ，曲线 ，则下列叙述正确的有( )
A. 时, 为圆
B. 时, 的离心率为2
C. 时, 的离心率为
D. 时, 表示渐近线为 的双曲线
14. 从盛满 升酒精的容器里倒出 升酒精，再用水加满，再倒出 升液体，再用水加满， ，这样倒了 次后容器中的纯酒精有多少升？
15. 某县位于沙漠边缘地带，到2018年年底全县的绿化率已达到 ，从2018年开始，原有沙漠面积的 通过植树造林改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的 又被侵蚀，变为沙漠．
（1） 设全县面积为1，2018年年底绿洲面积 ，经过一年（指2019年年底）绿洲面积为 ，经过 年绿洲面积为 ，求证： ;
（2） 至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过 ？（精确到年， ）
参考答案
基础达标练习
题组一 由等比数列构造新的等比数列
1. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知数列 为等比数列，则( )
A. 数列 ， ， 成等比数列
B. 数列 ， ， 成等比数列
C. 数列 ， ， 成等比数列
D. 数列 ， ， 成等比数列
【答案】BD
【解析】设等比数列 的公比为 ， ， ，当 时， ，故 错误；
数列 ， ， 的每项都不为0，且 ，故 正确；
当数列 为1， ，1， ，1， 时， ，故 错误；
数列 ， ， 的每一项都不为0，且 ，故 正确.
故选 .
2. （多选题）已知等比数列 中， ，公比 ，则( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等比数列
C. 数列 是等比数列 D. 数列{ 是递减数列
【答案】BC
【解析】因为等比数列 中， ， ，所以 ，即 ，故 错误；
， ，于是 ，故 是等比数列，故 正确；
，故 正确；
是递增数列，故 错误.
故选 .
3. [2023江西高二测试]已知 是一个无穷等比数列，首项为 ，公比为 .
（1） 将数列 中的前 项去掉，剩余项组成一个新数列，则这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【解析】将数列 中的前 项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 , .
（2） 取出数列 中的所有奇数项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
【解析】取出数列 中的所有奇数项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是 , .
（3） 在数列 中，每隔10项取出一项，取出的数依次排列组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？请根据得到的结论写出一个关于等比数列的猜想.
【解析】在数列 中，每隔10项取出一项，取出的数依次排列组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是 ，我们由此可以得到一个结论：在数列 中，每隔 项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为 .
题组二 等比数列的实际应用
4. [2023重庆巫山官渡中学高二期末]已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴， ，按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )
A. 只 B. 只 C. 只 D. 只
【答案】B
【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有 只蜜蜂， ，按照这个规律，每天的蜜蜂数构成以5为首项，5为公比的等比数列，则第 天的蜜蜂数 ，所以第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂 只.故选 .
5. “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的棰，每天截取一半，永远都取不完．”设第一天这根棰被截取一半，剩下 尺，第二天被截取剩下的一半，剩下 尺， ，第五天被截取剩下的一半，剩下 尺，则 ( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
【答案】 D
【解析】设这根棰总长为1，则 为 ,公比 的等比数列,所以 , ， ， ，所以 .
6. [2023江苏苏州高二调研]直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段,受到了广大消费者的追捧,针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入,若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上,以后每年的资金投入均比上一年增长 ，则 年后，该公司投入的资金开始超过7 000万元.（参考数据: , , ）( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
【答案】 C
【解析】设 年后该公司投入的资金为 万元,则 ,由题意可知，数列 是以 为首项,1.12为公比的等比数列，所以 ，
由 可得 ,
因此，12年后，该公司投入的资金开始超过7 000万元.
7. 拉面是很多食客喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，先将面团拉到一定长度，然后对折（对折后面条的根数变为原来的2倍），再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将 面团拉成细丝面条，每次对折后去掉的捏在手里的面团都是 ．第一次拉的长度是 ，共拉了7次，则最后每根 长的细丝面条的质量（假定所有细丝面条粗细均匀，质量相等）是 .
【答案】3
【解析】这团面共拉了7次，即对折了6次，最后所有细丝拉面的总质量是 ，拉了7次后，共有 根长度为 的细丝面条，每根这样的面条的质量为 ．
题组三 等比数列与其他知识的交汇问题
8. 若数列 是等比数列，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】等比数列 中， , ,
.故选 .
9. 在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 的值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】因为 ， 是方程 的两个根，
所以有 , ，因此 ， ，
由等比数列的性质可知， ，而 ，
所以 .
10. [2023江西九江高二期末]已知 ， ，若 ， ， ， 成等比数列， ， ， ， 成等差数列，则 的最小值为 .
【答案】4
【解析】由题意得， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
11. 等比数列中, ,则 , .
【答案】 ；6
【解析】因为 是等比数列,所以 ,所以 ,
，
.
素养提升练习
12. [2023山东青岛高二测试] 为公比大于1的正项等比数列，且 和 是方程 的两根，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得， ， ，因为 为公比大于1的正项等比数列，所以 ，故 ， ，所以 ，将其代入 得， ，解得 或4，
设公比为 ，当 时， ，所以 ，
因为 ，所以 ；当 时， ，所以 ，
因为 ，所以不符合题意，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 , 时，等号成立，故选 .
13. [2023江苏南通高二期中]（多选题）已知首项为正数的等比数列 的公比为 ，曲线 ，则下列叙述正确的有( )
A. 时, 为圆
B. 时, 的离心率为2
C. 时, 的离心率为
D. 时, 表示渐近线为 的双曲线
【答案】ACD
【解析】当 时， ，所以 ，
即曲线 是圆心为 ，半径为 的圆，故 正确；
当 时， ，所以 与 互为相反数，且不为0，
故 为等轴双曲线，其离心率为 ，故 错误；
当 时，数列 为递增数列， ,故 ，
所以曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，
故 的离心率为 ，故 正确；
当 时， 与 异号，故曲线 表示双曲线，
其渐近线为 ，故 正确.
故选 .
14. 从盛满 升酒精的容器里倒出 升酒精，再用水加满，再倒出 升液体，再用水加满， ，这样倒了 次后容器中的纯酒精有多少升？
【解析】第一次倒完后容器中有纯酒精 升,即 升，
第二次倒完后有纯酒精 升，即 升，
……
显然每次倒完后容器中的纯酒精量构成以 为首项， 为公比的等比数列，故第 次倒完后容器中有纯酒精 升.
15. 某县位于沙漠边缘地带，到2018年年底全县的绿化率已达到 ，从2018年开始，原有沙漠面积的 通过植树造林改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的 又被侵蚀，变为沙漠．
（1） 设全县面积为1，2018年年底绿洲面积 ，经过一年（指2019年年底）绿洲面积为 ，经过 年绿洲面积为 ，求证： ;
【解析】证明：设2018年年底沙漠面积为 ，经过 年沙漠面积为 ，则 且 ， 绿洲面积 由两部分组成，一部分是原有绿洲面积 减去被侵蚀的面积，即 ，
另一部分是由沙漠改造成的绿洲面积 ， ， ．
（2） 至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过 ？（精确到年， ）
【解析】由 ，得 ，
是首项为 ,公比为 的等比数列．
， ，
令 ，
即 ，
得 ，
两边取常用对数得 ，
则 ,
， .
至少经过5年的努力，绿洲面积才能超过 ．
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