高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业12 等比数列的前项和的综合应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业12 等比数列的前项和的综合应用（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 337.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:49:49 | ||
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文档简介
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课时作业12 等比数列的前项和的综合应用
基础达标练习
题组一 等比数列前 项和的性质及其应用
1. [2023福建龙岩高二月考]已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则 ( )
A. 1 B. 4 C. 12 D. 36
2. 一个等比数列共有 项，若前 项之和为15，后 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为( )
A. 63 B. 72 C. 75 D. 87
3. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 的值为( )
A. 1 B. C. D.
4. 为等比数列 的前 项和，且 , , ，则( )
A. B. C. D.
5. [2023江西赣州高二测试]等比数列 共有 项，其中 ，偶数项之和为84，奇数项之和为170，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
6. [2023江苏苏州高二月考]多选题设等比数列 的前 项和为 ，则下列数列一定是等比数列的有( )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
7. 等比数列 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个等比数列的公比 ，令该数列的前 项积为 ，则 的最大值为 ．
题组二 等比数列前 项和的实际应用
8. 一弹球从100米高度处自由落下，每次着地后又跳回到本次着地前的高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是（结果保留到个位）( )
A. 300米 B. 299米 C. 199米 D. 166米
9. [2023天津河西高二期末]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
10. [2023广东佛山第四中学高二期末]某企业在今年年初贷款 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还相同金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
11. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推，都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出 万元资金进行奖励.
素养提升练习
12. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 17
13. [2023福建漳州高二期中]（多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形，得到图2，重复以上步骤，得到图3，…….记图1中正方形的个数为 ，图2中正方形的个数为 ，图3中正方形的个数为 ， ，图n中正方形的个数为 ，则下列说法正确的有( )
图1
图2
图3
A.
B. 图5中最小正方形的边长为
C.
D. 若 ，则图n中所有正方形的面积之和为8
14. [2023湖北随州曾都第一中学高二期末]设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 .
数列 中的项按顺序可以排列成如下的形式，第一行1项，排 ;第二行2项，从左到右分别排 , ;第三行3项，以此类推，设数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为
,4, , , , , ,
16. 已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求 ，并求 的最大值．
17. 某同学若将每月省下的零花钱100元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为 ，每存够一年就将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为 ，问三年后取出本利共多少元？
（参考数据： ， ）
参考答案
基础达标练习
题组一 等比数列前 项和的性质及其应用
1. [2023福建龙岩高二月考]已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则 ( )
A. 1 B. 4 C. 12 D. 36
【答案】C
【解析】由题意得， ，
设等比数列 的公比为 ，由等比数列前 项和的性质可得 ，即 ， ， ， ，解得 ，
又前3项之积 ， ， .
故选 .
2. 一个等比数列共有 项，若前 项之和为15，后 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为( )
A. 63 B. 72 C. 75 D. 87
【答案】A
【解析】由题意知 ， ，
又 ，解得 ，
所以 .
3. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 的值为( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一（前 项和公式法）
若 ，则 ,所以 .
由等比数列的前 项和公式有 ,整理得 .因为 ，所以 ,即 .
因为 ，所以 ,所以 ，得 .
解法二（项的性质法）
由 ，得 ,
即 ，
即 ,所以 .
解法三（前 项和性质法）
由等比数列的前 项和的性质得 ,代入 ，
整理得 ,得 , ，
得 ，所以 ,所以 .
4. 为等比数列 的前 项和，且 , , ，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 , , 成等比数列，
所以 ，即 ，整理得 .
故选 .
5. [2023江西赣州高二测试]等比数列 共有 项，其中 ，偶数项之和为84，奇数项之和为170，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】等比数列 共有 项， 该数列中偶数项有 项，奇数项有 项，由题意得 ， 偶数项之和为 ， ，
奇数项之和为 ， ，
得 ， ，
, .
故选 .
6. [2023江苏苏州高二月考]多选题设等比数列 的前 项和为 ，则下列数列一定是等比数列的有( )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
【答案】BD
【解析】设数列 的公比为 ， ，对于 和 ，首项为 ，当 时， ，不满足等比数列，故 ， 不符合；
对于 ， ，且 ，同理 ，
故数列 ， ， ， 为等比数列， 符合；
对于 ， ，且 ， ，
故数列 ， ， ， 为等比数列， 符合.
故选 .
7. 等比数列 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个等比数列的公比 ，令该数列的前 项积为 ，则 的最大值为 ．
【答案】 ；2
【解析】设该数列共有 项，则奇数项之和 ，
偶数项之和 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
显然 时， 随 的增大而减小，又 ，所以 的最大值为2.
题组二 等比数列前 项和的实际应用
8. 一弹球从100米高度处自由落下，每次着地后又跳回到本次着地前的高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是（结果保留到个位）( )
A. 300米 B. 299米 C. 199米 D. 166米
【答案】A
【解析】小球第10次着地时经过的路程为
（米）．
9. [2023天津河西高二期末]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】设顶层的灯数是 ，则每一层灯数形成以 为首项，2为公比的等比数列 ，由题可得 ，解得 ，故塔的顶层的灯数是3.
10. [2023广东佛山第四中学高二期末]某企业在今年年初贷款 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还相同金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【答案】 B
【解析】设每年偿还 万元，则
，所以 ，解得 .
故选 .
11. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推，都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出 万元资金进行奖励.
【答案】2 046
【解析】由题意，设第十名到第一名得到的奖金分别是 , , , ，则 ，当 时， ，两式相减，可得 ，整理得 ，
又当 时， ，解得 ，
所以从第十名到第一名每人所得奖金数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，
则 万元.
素养提升练习
12. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 17
【答案】 B
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ，
所以 ，则 .
13. [2023福建漳州高二期中]（多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形，得到图2，重复以上步骤，得到图3，…….记图1中正方形的个数为 ，图2中正方形的个数为 ，图3中正方形的个数为 ， ，图n中正方形的个数为 ，则下列说法正确的有( )
图1
图2
图3
A.
B. 图5中最小正方形的边长为
C.
D. 若 ，则图n中所有正方形的面积之和为8
【答案】BCD
【解析】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形的个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列的前 项和公式可知 .
选项 ： ， 中说法错误.
选项 ：自下而上每一“层”的正方形的边长也成等比数列，且公比为 ，所以每“层”正方形的边长 ,所以 ， 中说法正确.
选项 ： ， 中说法正确.
选项 ：由 ，解得 ，每一“层”的面积和 ，所以当 时，所有正方形的面积之和为8, 中说法正确.
故选 .
14. [2023湖北随州曾都第一中学高二期末]设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 .
【答案】
【解析】由 ，得 .
又正项等比数列 的前 项和为 ，故 ， ，
数列 是等比数列， ，故 ，解得 ， 等比数列 为正项数列， ，故 .
数列 中的项按顺序可以排列成如下的形式，第一行1项，排 ;第二行2项，从左到右分别排 , ;第三行3项，以此类推，设数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为
,4, , , , , ,
【答案】21
【解析】由数列的排列可知，每一行的数都构成以4为首项，3为公比的等比数列，设其前 项和为 ,则 ，设满足 的最小正整数为 ，项 排在第 行第 列 , ，且 ，则有 ，则 ， ，即从第6行第6列开始， .因为前6行共有 项，所以最小正整数 的值为21.
16. 已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等比数列 的公比为 ,
因为 , , 成等差数列，所以 ，
即 ,所以 ，即 ,可得 ,
又因为 ,所以等比数列 的通项公式为 ．
（2） 求 ，并求 的最大值．
【解析】由（1）得 ,所以 ，
所以 ,
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
易知当 时，函数 单调递减.
所以当 ，即 时， ,
所以 的最大值为 .
17. 某同学若将每月省下的零花钱100元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为 ，每存够一年就将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为 ，问三年后取出本利共多少元？
（参考数据： ， ）
【解析】 第一年的本利和可分为：
第一个月： 元，
第二个月： 元，
……
第十二个月：100元.
那么第一年的本利和为
元.
于是三年后取出时第一年所存钱的本利和为 元.
同理第二年所存钱在最后取出时的本利和为 元.
第三年所存钱在年底取出时的本利和为 元.
所以三年后取出的本利和为
（元）.
所以三年后取出的本利共约3 820元.
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课时作业12 等比数列的前项和的综合应用
基础达标练习
题组一 等比数列前 项和的性质及其应用
1. [2023福建龙岩高二月考]已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则 ( )
A. 1 B. 4 C. 12 D. 36
2. 一个等比数列共有 项，若前 项之和为15，后 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为( )
A. 63 B. 72 C. 75 D. 87
3. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 的值为( )
A. 1 B. C. D.
4. 为等比数列 的前 项和，且 , , ，则( )
A. B. C. D.
5. [2023江西赣州高二测试]等比数列 共有 项，其中 ，偶数项之和为84，奇数项之和为170，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
6. [2023江苏苏州高二月考]多选题设等比数列 的前 项和为 ，则下列数列一定是等比数列的有( )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
7. 等比数列 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个等比数列的公比 ，令该数列的前 项积为 ，则 的最大值为 ．
题组二 等比数列前 项和的实际应用
8. 一弹球从100米高度处自由落下，每次着地后又跳回到本次着地前的高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是（结果保留到个位）( )
A. 300米 B. 299米 C. 199米 D. 166米
9. [2023天津河西高二期末]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
10. [2023广东佛山第四中学高二期末]某企业在今年年初贷款 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还相同金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
11. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推，都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出 万元资金进行奖励.
素养提升练习
12. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 17
13. [2023福建漳州高二期中]（多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形，得到图2，重复以上步骤，得到图3，…….记图1中正方形的个数为 ，图2中正方形的个数为 ，图3中正方形的个数为 ， ，图n中正方形的个数为 ，则下列说法正确的有( )
图1
图2
图3
A.
B. 图5中最小正方形的边长为
C.
D. 若 ，则图n中所有正方形的面积之和为8
14. [2023湖北随州曾都第一中学高二期末]设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 .
数列 中的项按顺序可以排列成如下的形式，第一行1项，排 ;第二行2项，从左到右分别排 , ;第三行3项，以此类推，设数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为
,4, , , , , ,
16. 已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求 ，并求 的最大值．
17. 某同学若将每月省下的零花钱100元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为 ，每存够一年就将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为 ，问三年后取出本利共多少元？
（参考数据： ， ）
参考答案
基础达标练习
题组一 等比数列前 项和的性质及其应用
1. [2023福建龙岩高二月考]已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则 ( )
A. 1 B. 4 C. 12 D. 36
【答案】C
【解析】由题意得， ，
设等比数列 的公比为 ，由等比数列前 项和的性质可得 ，即 ， ， ， ，解得 ，
又前3项之积 ， ， .
故选 .
2. 一个等比数列共有 项，若前 项之和为15，后 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为( )
A. 63 B. 72 C. 75 D. 87
【答案】A
【解析】由题意知 ， ，
又 ，解得 ，
所以 .
3. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 的值为( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一（前 项和公式法）
若 ，则 ,所以 .
由等比数列的前 项和公式有 ,整理得 .因为 ，所以 ,即 .
因为 ，所以 ,所以 ，得 .
解法二（项的性质法）
由 ，得 ,
即 ，
即 ,所以 .
解法三（前 项和性质法）
由等比数列的前 项和的性质得 ,代入 ，
整理得 ,得 , ，
得 ，所以 ,所以 .
4. 为等比数列 的前 项和，且 , , ，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 , , 成等比数列，
所以 ，即 ，整理得 .
故选 .
5. [2023江西赣州高二测试]等比数列 共有 项，其中 ，偶数项之和为84，奇数项之和为170，则 ( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】等比数列 共有 项， 该数列中偶数项有 项，奇数项有 项，由题意得 ， 偶数项之和为 ， ，
奇数项之和为 ， ，
得 ， ，
, .
故选 .
6. [2023江苏苏州高二月考]多选题设等比数列 的前 项和为 ，则下列数列一定是等比数列的有( )
A. ， ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
【答案】BD
【解析】设数列 的公比为 ， ，对于 和 ，首项为 ，当 时， ，不满足等比数列，故 ， 不符合；
对于 ， ，且 ，同理 ，
故数列 ， ， ， 为等比数列， 符合；
对于 ， ，且 ， ，
故数列 ， ， ， 为等比数列， 符合.
故选 .
7. 等比数列 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个等比数列的公比 ，令该数列的前 项积为 ，则 的最大值为 ．
【答案】 ；2
【解析】设该数列共有 项，则奇数项之和 ，
偶数项之和 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
显然 时， 随 的增大而减小，又 ，所以 的最大值为2.
题组二 等比数列前 项和的实际应用
8. 一弹球从100米高度处自由落下，每次着地后又跳回到本次着地前的高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是（结果保留到个位）( )
A. 300米 B. 299米 C. 199米 D. 166米
【答案】A
【解析】小球第10次着地时经过的路程为
（米）．
9. [2023天津河西高二期末]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】C
【解析】设顶层的灯数是 ，则每一层灯数形成以 为首项，2为公比的等比数列 ，由题可得 ，解得 ，故塔的顶层的灯数是3.
10. [2023广东佛山第四中学高二期末]某企业在今年年初贷款 万元，年利率为 ，从今年年末开始每年偿还相同金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【答案】 B
【解析】设每年偿还 万元，则
，所以 ，解得 .
故选 .
11. 某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推，都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出 万元资金进行奖励.
【答案】2 046
【解析】由题意，设第十名到第一名得到的奖金分别是 , , , ，则 ，当 时， ，两式相减，可得 ，整理得 ，
又当 时， ，解得 ，
所以从第十名到第一名每人所得奖金数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，
则 万元.
素养提升练习
12. 已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 17
【答案】 B
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ，
所以 ，则 .
13. [2023福建漳州高二期中]（多选题）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形，得到图2，重复以上步骤，得到图3，…….记图1中正方形的个数为 ，图2中正方形的个数为 ，图3中正方形的个数为 ， ，图n中正方形的个数为 ，则下列说法正确的有( )
图1
图2
图3
A.
B. 图5中最小正方形的边长为
C.
D. 若 ，则图n中所有正方形的面积之和为8
【答案】BCD
【解析】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形的个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列的前 项和公式可知 .
选项 ： ， 中说法错误.
选项 ：自下而上每一“层”的正方形的边长也成等比数列，且公比为 ，所以每“层”正方形的边长 ,所以 ， 中说法正确.
选项 ： ， 中说法正确.
选项 ：由 ，解得 ，每一“层”的面积和 ，所以当 时，所有正方形的面积之和为8, 中说法正确.
故选 .
14. [2023湖北随州曾都第一中学高二期末]设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 .
【答案】
【解析】由 ，得 .
又正项等比数列 的前 项和为 ，故 ， ，
数列 是等比数列， ，故 ，解得 ， 等比数列 为正项数列， ，故 .
数列 中的项按顺序可以排列成如下的形式，第一行1项，排 ;第二行2项，从左到右分别排 , ;第三行3项，以此类推，设数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值为
,4, , , , , ,
【答案】21
【解析】由数列的排列可知，每一行的数都构成以4为首项，3为公比的等比数列，设其前 项和为 ,则 ，设满足 的最小正整数为 ，项 排在第 行第 列 , ，且 ，则有 ，则 ， ，即从第6行第6列开始， .因为前6行共有 项，所以最小正整数 的值为21.
16. 已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列．
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等比数列 的公比为 ,
因为 , , 成等差数列，所以 ，
即 ,所以 ，即 ,可得 ,
又因为 ,所以等比数列 的通项公式为 ．
（2） 求 ，并求 的最大值．
【解析】由（1）得 ,所以 ，
所以 ,
令 ，则 ，因为 ，所以 ，
易知当 时，函数 单调递减.
所以当 ，即 时， ,
所以 的最大值为 .
17. 某同学若将每月省下的零花钱100元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为 ，每存够一年就将一年的本利和改存为年利按复利计算，年利为 ，问三年后取出本利共多少元？
（参考数据： ， ）
【解析】 第一年的本利和可分为：
第一个月： 元，
第二个月： 元，
……
第十二个月：100元.
那么第一年的本利和为
元.
于是三年后取出时第一年所存钱的本利和为 元.
同理第二年所存钱在最后取出时的本利和为 元.
第三年所存钱在年底取出时的本利和为 元.
所以三年后取出的本利和为
（元）.
所以三年后取出的本利共约3 820元.
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