高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业11 等比数列的前项和公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业11 等比数列的前项和公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 320.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:52:44 | ||
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文档简介
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课时作业11 等比数列的前项和公式
基础达标练习
题组一 求等比数列的前 项和
1. 已知 为数列 的前 项和，若 , ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知等比数列 的前4项和为1，公比为2，则数列 的前8项和等于 .
3. [2023湖北黄冈高二测试]已知等比数列 的公比 ，且 ， ，则 的前2 023项和等于 .
题组二 等比数列的基本量运算
4. 已知等比数列 的公比 ，前6项和 ，则 ( )
A. B. C. 16 D. 32
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走了( )
A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里
6. (多选题)已知 是数列 的前 项和， ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等差数列
C. D.
7. [2023山西大同高二月考]已知数列 为等比数列.
（1） 若 ， ，求 ；
（2） 若 ， ， ，求 .
8. [2023山东枣庄高二期末]已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列， ,再从 ； ; 这三个条件中选择两个作为已知条件，解答下列问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
题组三 等比数列前 项和的函数特征及其应用
9. (多选题)设 为数列 的前 项和，下列条件中，可使数列 为等比数列的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为 （其中 ， 为非零常数）
C.
D.
10. 已知等比数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
素养提升练习
11. 等比数列 中， ， ， 为 的前 项和．若 ，则 的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 不存在
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ,若 ，则 .
13. 已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意正整数 ， ，都有 ，若 恒成立，则实数 的最小值为 .
14. 已知数列 为各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若 ，求 的最大值.
15. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1） 求证： 是等比数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
16. 已知首项均为 的等差数列 与等比数列 满足 ， ，且 的各项均不相等，设 为数列 的前 项和，则 的最大值与最小值之差为 .
参考答案
基础达标练习
题组一 求等比数列的前 项和
1. 已知 为数列 的前 项和，若 , ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】因为 ， ，所以 中的各项均不为0，所以数列 为等比数列，且公比 ，所以 ，解得 ，所以 .故选 .
2. 已知等比数列 的前4项和为1，公比为2，则数列 的前8项和等于 .
【答案】17
【解析】解法一：由题意得
.
解法二：由题意得 即 解得 ，所以 .
3. [2023湖北黄冈高二测试]已知等比数列 的公比 ，且 ， ，则 的前2 023项和等于 .
【答案】
【解析】 ， ,
， ，解得 （正值舍去），
由 ，解得 ，则 的前2 023项和 .
题组二 等比数列的基本量运算
4. 已知等比数列 的公比 ，前6项和 ，则 ( )
A. B. C. 16 D. 32
【答案】 D
【解析】因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 .
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走了( )
A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里
【答案】B
【解析】由题意可知此人每天走的里数构成公比为 的等比数列，设为 ，由题意和等比数列的前 项和公式可得 ，解得 ，故此人第二天走了 里.
6. (多选题)已知 是数列 的前 项和， ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， .
故选 .
7. [2023山西大同高二月考]已知数列 为等比数列.
（1） 若 ， ，求 ；
【解析】因为 ， ，所以 ，得 ，
当 时， ；当 时， .
（2） 若 ， ， ，求 .
【解析】由 ， ，得 ， ，
解得 , ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 .
8. [2023山东枣庄高二期末]已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列， ,再从 ； ; 这三个条件中选择两个作为已知条件，解答下列问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【解析】选择条件①和条件②:
设等差数列 的公差为 ,
由题意得 解得
, .
（2）设等比数列 的公比为 , ,
由题意得 解得 , ,
设数列 的前 项和为 ,则 .
选择条件①和条件③：
设等差数列 的公差为 ,
由题意得 解得
， .
（2）由（1）知， ,设等比数列 的公比为 , ,
由题意得 解得 , .
设数列 的前 项和为 ,则 .
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列 的公比为 , ,
由题意得 解得
.
设等差数列 的公差为 ,则 ,又 ,故 ，
.
（2）设数列 的前 项和为 ,
由（1）可知 .
题组三 等比数列前 项和的函数特征及其应用
9. (多选题)设 为数列 的前 项和，下列条件中，可使数列 为等比数列的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为 （其中 ， 为非零常数）
C.
D.
【答案】 BD
【解析】等比数列的各项均不为0，故 不符合题意；
由等比数列的定义和通项公式知 符合题意；
由 ，可得 , , ，显然 ，故 不符合题意；
因为 符合等比数列前 项和 的形式，所以 符合题意.
故选 .
10. 已知等比数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
【答案】3
【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 .
当 时， ，不符合题意.
当 时， ，
令 ，则 ，所以 ，解得 .
素养提升练习
11. 等比数列 中， ， ， 为 的前 项和．若 ，则 的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 不存在
【答案】A
【解析】等比数列 中， ， ，则 ，则 ．
当 时，若 ，则有 ，解得 ；
当 时，若 ，则有 ，整理可得 ，无整数解．
故 ．
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ,若 ，则 .
【答案】 ;7
【解析】当 时， ；
当 时， ，即 ， 是首项为 ，公比为2的等比数列，
， .
由 ，得 ，解得 .
13. 已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意正整数 ， ，都有 ，若 恒成立，则实数 的最小值为 .
【答案】
【解析】由于 ，且对任意正整数 ， ，都有 ，
所以令 ，得 ，所以 , ，
所以数列 是首项和公比都为 的等比数列，得 ，
若 恒成立，则 ，所以实数 的最小值为 .
14. 已知数列 为各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等比数列 的公比为 .
因为 , ，所以
所以 ，即 ，解得 或 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2） 若 ，求 的最大值.
【解析】由（1）得， .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 的最大值为4.
15. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1） 求证： 是等比数列；
【证明】因为数列 的首项 ，且满足 ，
所以 ，即 ，
又 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）可得， ，
则 ，
所以
.
16. 已知首项均为 的等差数列 与等比数列 满足 ， ，且 的各项均不相等，设 为数列 的前 项和，则 的最大值与最小值之差为 .
【答案】
【解析】 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， ，得
解得 （舍去）或 则 .
当 为奇数时， ，易知 单调递减，最大值为 ，且 ；
当 为偶数时， ，易知 单调递增，最小值为 ，且 .
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 的最大值与最小值之差为 .
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课时作业11 等比数列的前项和公式
基础达标练习
题组一 求等比数列的前 项和
1. 已知 为数列 的前 项和，若 , ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知等比数列 的前4项和为1，公比为2，则数列 的前8项和等于 .
3. [2023湖北黄冈高二测试]已知等比数列 的公比 ，且 ， ，则 的前2 023项和等于 .
题组二 等比数列的基本量运算
4. 已知等比数列 的公比 ，前6项和 ，则 ( )
A. B. C. 16 D. 32
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走了( )
A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里
6. (多选题)已知 是数列 的前 项和， ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等差数列
C. D.
7. [2023山西大同高二月考]已知数列 为等比数列.
（1） 若 ， ，求 ；
（2） 若 ， ， ，求 .
8. [2023山东枣庄高二期末]已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列， ,再从 ； ; 这三个条件中选择两个作为已知条件，解答下列问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
题组三 等比数列前 项和的函数特征及其应用
9. (多选题)设 为数列 的前 项和，下列条件中，可使数列 为等比数列的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为 （其中 ， 为非零常数）
C.
D.
10. 已知等比数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
素养提升练习
11. 等比数列 中， ， ， 为 的前 项和．若 ，则 的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 不存在
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ,若 ，则 .
13. 已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意正整数 ， ，都有 ，若 恒成立，则实数 的最小值为 .
14. 已知数列 为各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若 ，求 的最大值.
15. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1） 求证： 是等比数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
16. 已知首项均为 的等差数列 与等比数列 满足 ， ，且 的各项均不相等，设 为数列 的前 项和，则 的最大值与最小值之差为 .
参考答案
基础达标练习
题组一 求等比数列的前 项和
1. 已知 为数列 的前 项和，若 , ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】因为 ， ，所以 中的各项均不为0，所以数列 为等比数列，且公比 ，所以 ，解得 ，所以 .故选 .
2. 已知等比数列 的前4项和为1，公比为2，则数列 的前8项和等于 .
【答案】17
【解析】解法一：由题意得
.
解法二：由题意得 即 解得 ，所以 .
3. [2023湖北黄冈高二测试]已知等比数列 的公比 ，且 ， ，则 的前2 023项和等于 .
【答案】
【解析】 ， ,
， ，解得 （正值舍去），
由 ，解得 ，则 的前2 023项和 .
题组二 等比数列的基本量运算
4. 已知等比数列 的公比 ，前6项和 ，则 ( )
A. B. C. 16 D. 32
【答案】 D
【解析】因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 .
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第二天走了( )
A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里
【答案】B
【解析】由题意可知此人每天走的里数构成公比为 的等比数列，设为 ，由题意和等比数列的前 项和公式可得 ，解得 ，故此人第二天走了 里.
6. (多选题)已知 是数列 的前 项和， ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， .
故选 .
7. [2023山西大同高二月考]已知数列 为等比数列.
（1） 若 ， ，求 ；
【解析】因为 ， ，所以 ，得 ，
当 时， ；当 时， .
（2） 若 ， ， ，求 .
【解析】由 ， ，得 ， ，
解得 , ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 .
8. [2023山东枣庄高二期末]已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列， ,再从 ； ; 这三个条件中选择两个作为已知条件，解答下列问题.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【解析】选择条件①和条件②:
设等差数列 的公差为 ,
由题意得 解得
, .
（2）设等比数列 的公比为 , ,
由题意得 解得 , ,
设数列 的前 项和为 ,则 .
选择条件①和条件③：
设等差数列 的公差为 ,
由题意得 解得
， .
（2）由（1）知， ,设等比数列 的公比为 , ,
由题意得 解得 , .
设数列 的前 项和为 ,则 .
选择条件②和条件③：
（1）设等比数列 的公比为 , ,
由题意得 解得
.
设等差数列 的公差为 ,则 ,又 ,故 ，
.
（2）设数列 的前 项和为 ,
由（1）可知 .
题组三 等比数列前 项和的函数特征及其应用
9. (多选题)设 为数列 的前 项和，下列条件中，可使数列 为等比数列的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为 （其中 ， 为非零常数）
C.
D.
【答案】 BD
【解析】等比数列的各项均不为0，故 不符合题意；
由等比数列的定义和通项公式知 符合题意；
由 ，可得 , , ，显然 ，故 不符合题意；
因为 符合等比数列前 项和 的形式，所以 符合题意.
故选 .
10. 已知等比数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
【答案】3
【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 .
当 时， ，不符合题意.
当 时， ，
令 ，则 ，所以 ，解得 .
素养提升练习
11. 等比数列 中， ， ， 为 的前 项和．若 ，则 的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 不存在
【答案】A
【解析】等比数列 中， ， ，则 ，则 ．
当 时，若 ，则有 ，解得 ；
当 时，若 ，则有 ，整理可得 ，无整数解．
故 ．
12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 ,若 ，则 .
【答案】 ;7
【解析】当 时， ；
当 时， ，即 ， 是首项为 ，公比为2的等比数列，
， .
由 ，得 ，解得 .
13. 已知数列 的前 项和为 ， ，且对任意正整数 ， ，都有 ，若 恒成立，则实数 的最小值为 .
【答案】
【解析】由于 ，且对任意正整数 ， ，都有 ，
所以令 ，得 ，所以 , ，
所以数列 是首项和公比都为 的等比数列，得 ，
若 恒成立，则 ，所以实数 的最小值为 .
14. 已知数列 为各项均为正数的等比数列， 为其前 项和， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等比数列 的公比为 .
因为 , ，所以
所以 ，即 ，解得 或 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2） 若 ，求 的最大值.
【解析】由（1）得， .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 的最大值为4.
15. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1） 求证： 是等比数列；
【证明】因为数列 的首项 ，且满足 ，
所以 ，即 ，
又 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）可得， ，
则 ，
所以
.
16. 已知首项均为 的等差数列 与等比数列 满足 ， ，且 的各项均不相等，设 为数列 的前 项和，则 的最大值与最小值之差为 .
【答案】
【解析】 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ， ，得
解得 （舍去）或 则 .
当 为奇数时， ，易知 单调递减，最大值为 ，且 ；
当 为偶数时， ，易知 单调递增，最小值为 ，且 .
所以 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 的最大值与最小值之差为 .
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