高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业13 求数列的通项公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业13 求数列的通项公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 347.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:53:42 | ||
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文档简介
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课时作业13 求数列的通项公式
基础达标练
1. 数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2. [2023山东烟台高二月考]数列 , , , ， 的一个通项公式可能是( )
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 的前三项依次为 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 在数列 中， ， ，则 ( )
A. 512 B. 511 C. 502 D. 503
5. （多选题）已知数列 满足 ， ，则( )
A. B. 为等比数列
C. 的通项公式为 D. 为递增数列
6. 设数列的前项和为，且，为常数列，则 ．
7. 如图所示的一系列正方形图案的做法是把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）;在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）;以此类推,每进行一次操作,就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1,记第 个图案中所有着色的正方形的面积之和为 ,则数列 的通项公式为 .
图1 图2
图3 图4
8. 已知数列 满足 ， ，则 .
9.已知数列满足且，则数列的通项公式为 ．
10. 设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则数列 的通项公式为 .
11. 在数列 中， ， .
（1） 求证： 是等比数列；
（2） 求数列 的通项公式.
素养提升练
12. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项公式为 ( )
A. B. C. D.
13. [2023山东烟台高二期末]（多选题）设首项为1的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 为等比数列
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
14. 已知等比数列的前项和 ,则 , .
15. 已知数列 是公差为 的等差数列，数列 是公比为 ，且 的等比数列，若函数 ，且 ， ， ， ，分别求数列 和 的通项公式.
16. 已知数列 的前 项和为 ， , .
（1） 求证： 是等差数列；
（2） 求数列 的通项公式；
（3） 求 的取值范围.
参考答案
基础达标练
1. 数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ， ， ， ， ，所以数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为 .故选 .
2. [2023山东烟台高二月考]数列 , , , ， 的一个通项公式可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ， , ， ，所以所求数列的一个通项公式是 .故选 .
3. 已知等比数列 的前三项依次为 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得 ，解得 ，故 ， ，
所以 ，则 .
4. 在数列 中， ， ，则 ( )
A. 512 B. 511 C. 502 D. 503
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 .
5. （多选题）已知数列 满足 ， ，则( )
A. B. 为等比数列
C. 的通项公式为 D. 为递增数列
【答案】AB
【解析】易得 ，故 正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，故 正确；
，所以 ，所以 ，故 错误；
由 可知， 为递减数列，故 错误.
故选 .
6. 设数列的前项和为，且，为常数列，则 ．
【答案】
【解析】设 ，当 时， ，
两式相减得 .
7. 如图所示的一系列正方形图案的做法是把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）;在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）;以此类推,每进行一次操作,就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1,记第 个图案中所有着色的正方形的面积之和为 ,则数列 的通项公式为 .
图1 图2
图3 图4
【答案】
【解析】结合已知条件，归纳总结如下:第1个图案中，着色正方形的面积为 ;
第2个图案中，新着色的正方形的面积是 ,故着色正方形的面积为 ;
第3个图案中，新着色的正方形的面积是 ，
故着色正方形的面积为 ；……；
第 个图案中，新着色的正方形的面积是 ，
故着色正方形的面积为 .
故 .
8. 已知数列 满足 ， ，则 .
【答案】
【解析】 ， ，
数列 是首项为 ，公差为1的等差数列， ，
.
9.已知数列满足且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
则 ，所以 ．
10. 设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【解析】 ， ，
又 ， ，
即 , ,即 ，
， .
11. 在数列 中， ， .
（1） 求证： 是等比数列；
证明：由 ,，
得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为4的等比数列.
（2） 求数列 的通项公式.
【解析】由（1）知， ，即 .
素养提升练
12. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项公式为 ( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】由 ，得 ，化简得 ，因为 ，所以 ，即 .
13. [2023山东烟台高二期末]（多选题）设首项为1的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 为等比数列
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
【答案】 AD
【解析】 ， ,又 ,
数列 是首项、公比都为2的等比数列，故 正确.
， ,
数列 的前 项和为 ，故 正确.
， 当 时， ，当 ， ,
又 不满足上式， 故 错误
， 数列 不是等比数列.故 错误.
故选 .
14. 已知等比数列的前项和 ,则 , .
【答案】 ；
【解析】解法一： 等比数列 的前 项和 ，
，
， , ， .
解法二： 等比数列 的前 项和 , ，则 ， ，又 ， .
15. 已知数列 是公差为 的等差数列，数列 是公比为 ，且 的等比数列，若函数 ，且 ， ， ， ，分别求数列 和 的通项公式.
【解析】 是公差为 的等差数列, ， ，
， ， ,
.
是公比为 的等比数列， ， ，
，整理得 ，
由 ，且 ，得 ， ,
.
16. 已知数列 的前 项和为 ， , .
（1） 求证： 是等差数列；
【解析】证明：由 ，
得 ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公差为2的等差数列.
（2） 求数列 的通项公式；
【解析】由（1）得， ，当 时， ，
令 ,得 与 矛盾，
所以
（3） 求 的取值范围.
【解析】因为 , ,
所以 , ,
所以数列 是递增数列，所以 .
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课时作业13 求数列的通项公式
基础达标练
1. 数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2. [2023山东烟台高二月考]数列 , , , ， 的一个通项公式可能是( )
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 的前三项依次为 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 在数列 中， ， ，则 ( )
A. 512 B. 511 C. 502 D. 503
5. （多选题）已知数列 满足 ， ，则( )
A. B. 为等比数列
C. 的通项公式为 D. 为递增数列
6. 设数列的前项和为，且，为常数列，则 ．
7. 如图所示的一系列正方形图案的做法是把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）;在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）;以此类推,每进行一次操作,就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1,记第 个图案中所有着色的正方形的面积之和为 ,则数列 的通项公式为 .
图1 图2
图3 图4
8. 已知数列 满足 ， ，则 .
9.已知数列满足且，则数列的通项公式为 ．
10. 设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则数列 的通项公式为 .
11. 在数列 中， ， .
（1） 求证： 是等比数列；
（2） 求数列 的通项公式.
素养提升练
12. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项公式为 ( )
A. B. C. D.
13. [2023山东烟台高二期末]（多选题）设首项为1的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 为等比数列
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
14. 已知等比数列的前项和 ,则 , .
15. 已知数列 是公差为 的等差数列，数列 是公比为 ，且 的等比数列，若函数 ，且 ， ， ， ，分别求数列 和 的通项公式.
16. 已知数列 的前 项和为 ， , .
（1） 求证： 是等差数列；
（2） 求数列 的通项公式；
（3） 求 的取值范围.
参考答案
基础达标练
1. 数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ， ， ， ， ，所以数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式为 .故选 .
2. [2023山东烟台高二月考]数列 , , , ， 的一个通项公式可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ， , ， ，所以所求数列的一个通项公式是 .故选 .
3. 已知等比数列 的前三项依次为 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得 ，解得 ，故 ， ，
所以 ，则 .
4. 在数列 中， ， ，则 ( )
A. 512 B. 511 C. 502 D. 503
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 .
5. （多选题）已知数列 满足 ， ，则( )
A. B. 为等比数列
C. 的通项公式为 D. 为递增数列
【答案】AB
【解析】易得 ，故 正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，故 正确；
，所以 ，所以 ，故 错误；
由 可知， 为递减数列，故 错误.
故选 .
6. 设数列的前项和为，且，为常数列，则 ．
【答案】
【解析】设 ，当 时， ，
两式相减得 .
7. 如图所示的一系列正方形图案的做法是把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）;在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）;以此类推,每进行一次操作,就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1,记第 个图案中所有着色的正方形的面积之和为 ,则数列 的通项公式为 .
图1 图2
图3 图4
【答案】
【解析】结合已知条件，归纳总结如下:第1个图案中，着色正方形的面积为 ;
第2个图案中，新着色的正方形的面积是 ,故着色正方形的面积为 ;
第3个图案中，新着色的正方形的面积是 ，
故着色正方形的面积为 ；……；
第 个图案中，新着色的正方形的面积是 ，
故着色正方形的面积为 .
故 .
8. 已知数列 满足 ， ，则 .
【答案】
【解析】 ， ，
数列 是首项为 ，公差为1的等差数列， ，
.
9.已知数列满足且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
则 ，所以 ．
10. 设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则数列 的通项公式为 .
【答案】
【解析】 ， ，
又 ， ，
即 , ,即 ，
， .
11. 在数列 中， ， .
（1） 求证： 是等比数列；
证明：由 ,，
得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为4的等比数列.
（2） 求数列 的通项公式.
【解析】由（1）知， ，即 .
素养提升练
12. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项公式为 ( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】由 ，得 ，化简得 ，因为 ，所以 ，即 .
13. [2023山东烟台高二期末]（多选题）设首项为1的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 为等比数列
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
【答案】 AD
【解析】 ， ,又 ,
数列 是首项、公比都为2的等比数列，故 正确.
， ,
数列 的前 项和为 ，故 正确.
， 当 时， ，当 ， ,
又 不满足上式， 故 错误
， 数列 不是等比数列.故 错误.
故选 .
14. 已知等比数列的前项和 ,则 , .
【答案】 ；
【解析】解法一： 等比数列 的前 项和 ，
，
， , ， .
解法二： 等比数列 的前 项和 , ，则 ， ，又 ， .
15. 已知数列 是公差为 的等差数列，数列 是公比为 ，且 的等比数列，若函数 ，且 ， ， ， ，分别求数列 和 的通项公式.
【解析】 是公差为 的等差数列, ， ，
， ， ,
.
是公比为 的等比数列， ， ，
，整理得 ，
由 ，且 ，得 ， ,
.
16. 已知数列 的前 项和为 ， , .
（1） 求证： 是等差数列；
【解析】证明：由 ，
得 ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公差为2的等差数列.
（2） 求数列 的通项公式；
【解析】由（1）得， ，当 时， ，
令 ,得 与 矛盾，
所以
（3） 求 的取值范围.
【解析】因为 , ,
所以 , ,
所以数列 是递增数列，所以 .
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