高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业14 数列求和（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业14 数列求和（一）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 323.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:54:33 | ||
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文档简介
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课时作业14 数列求和（一）
基础达标练
1. 若数列 的通项公式为 ,则数列 的前 项和为( )
A. B.
C. D.
2. 已知数列 的通项公式是 ，则 ( )
A. B.
C. 3 033 D. 3 034
3. [2023福建莆田第六中学高二期中]已知等差数列 的前 项和为 ，且 , ，则 的前 项和 .
4. [2023湖北黄石二中高二期末]已知数列 满足 ， ，且 , ，则该数列的前9项和为 .
5. [2023江西赣州高二月考]已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 .
6. [2023山东青岛高二期中]集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉集合论“是数学天才最优秀的作品，是人类纯粹智力活动的最高成就之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前 次操作中总共去掉的线段长度之和不小于 ，则 的最小值为 .
（参考数据： ， ）
7. [2023湖南郴州高二期中]已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且满足 .
（1） 若 ， ， 成等比数列，求 的值；
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
已知数列 满足 ， ，求 的前 项和 .
素养提升练
9. [2023河北唐山一中高二期末]（多选题）设首项为2的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
10. [2023山西太原师范学院附属中学高二期末]高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. 4 956 B. 4 959 C. 4 962 D. 4 965
11. （多选题）已知数列 满足 ， ，且 ， ，记 为数列 的前 项和，数列 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式 成立的整数 可以为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
12. 已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 是否存在 ，使 ？若存在，求出所有符合条件的 的值；若不存在，请说明理由.
13. 在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
（1） 证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
（2） 若 求数列 的前 项和 .
参考答案
基础达标练
1. 若数列 的通项公式为 ,则数列 的前 项和为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由分组法求和，得数列 的前 项和 .
2. 已知数列 的通项公式是 ，则 ( )
A. B. C. 3 033 D. 3 034
【答案】 A
【解析】由 ，得 .
3. [2023福建莆田第六中学高二期中]已知等差数列 的前 项和为 ，且 , ，则 的前 项和 .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ， ， ，
解得
， ，
设 ，则 ，易知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则 .
4. [2023湖北黄石二中高二期末]已知数列 满足 ， ，且 , ，则该数列的前9项和为 .
【答案】34
【解析】 , ，
当 为奇数时， ， ；
当 为偶数时， ，则数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
.
5. [2023江西赣州高二月考]已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 .
【答案】
【解析】由题意得， ， ， ， ，
又 的周期为4，
.
[2023山东青岛高二期中]集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉集合论“是数学天才最优秀的作品，是人类纯粹智力活动的最高成就之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前 次操作中总共去掉的线段长度之和不小于 ，则 的最小值为 .
（参考数据： ， ）
【答案】 9
【解析】第一次操作去掉的线段长度为 ，
第二次操作去掉的线段长度之和为 ，
第三次操作去掉的线段长度之和为 ， ，
第 次操作去掉的线段长度之和为 ，
由此可得去掉线段的总长度为 ，
令 ，得 ，得 ，
所以 ，所以 的最小值是9.
7. [2023湖南郴州高二期中]已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且满足 .
（1） 若 ， ， 成等比数列，求 的值；
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 .
又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，解得 .
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】因为 ，
所以
.
8. 已知数列 满足 ， ，求 的前 项和 .
【解析】因为 , ，
所以 .
当 为偶数时， ;
当 为奇数时， .
综上所述，
素养提升练
9. [2023河北唐山一中高二期末]（多选题）设首项为2的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
【答案】 BD
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 ，则 ，故 错误；
当 时， ，所以 ，当 时， 不满足上式，所以 故 正确；
由 可知， ，故 不是等比数列，故 错误；
因为 ，所以数列 的前 项和为 ，故 正确.
故选 .
10. [2023山西太原师范学院附属中学高二期末]高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. 4 956 B. 4 959 C. 4 962 D. 4 965
【答案】 B
【解析】由 ， ，由累加法可得：
，
所以 ，所以 .
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
因此 .故选 .
11. （多选题）已知数列 满足 ， ，且 ， ，记 为数列 的前 项和，数列 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式 成立的整数 可以为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】ABC
【解析】由题意得，当 为偶数时， ，即 ,
所以 , , , 是以 为首项， 为公比的等比数列；当 为奇数时， ，所以 , , , 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以
，
因为数列 是首项和公比都是2的等比数列，
所以 ， ，即 ，
依次检验：当 ， ， ， 时，不满足题意，当 时，满足题意，所以满足条件的最小正整数为5，
故选 .
12. 已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，
由
解得
所以
（2） 是否存在 ，使 ？若存在，求出所有符合条件的 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由（1）得，当 为偶数时， ；
当 为奇数时， .
当 为奇数时，由已知条件得， ，
化简得 ，解得 ；
当 为偶数时，由已知条件得， ，
化简得 ,解得 .
综上，存在 符合条件.
13. 在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
（1） 证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
【解析】因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
（2） 若 求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）知
则数列 的奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列；
偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列.
所以当 为偶数，且 时，
；
当 为奇数，且 时，
.
又当 时， 满足上式，
所以当 为奇数，且 时， .
综上，
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课时作业14 数列求和（一）
基础达标练
1. 若数列 的通项公式为 ,则数列 的前 项和为( )
A. B.
C. D.
2. 已知数列 的通项公式是 ，则 ( )
A. B.
C. 3 033 D. 3 034
3. [2023福建莆田第六中学高二期中]已知等差数列 的前 项和为 ，且 , ，则 的前 项和 .
4. [2023湖北黄石二中高二期末]已知数列 满足 ， ，且 , ，则该数列的前9项和为 .
5. [2023江西赣州高二月考]已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 .
6. [2023山东青岛高二期中]集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉集合论“是数学天才最优秀的作品，是人类纯粹智力活动的最高成就之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前 次操作中总共去掉的线段长度之和不小于 ，则 的最小值为 .
（参考数据： ， ）
7. [2023湖南郴州高二期中]已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且满足 .
（1） 若 ， ， 成等比数列，求 的值；
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
已知数列 满足 ， ，求 的前 项和 .
素养提升练
9. [2023河北唐山一中高二期末]（多选题）设首项为2的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
10. [2023山西太原师范学院附属中学高二期末]高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. 4 956 B. 4 959 C. 4 962 D. 4 965
11. （多选题）已知数列 满足 ， ，且 ， ，记 为数列 的前 项和，数列 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式 成立的整数 可以为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
12. 已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 是否存在 ，使 ？若存在，求出所有符合条件的 的值；若不存在，请说明理由.
13. 在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
（1） 证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
（2） 若 求数列 的前 项和 .
参考答案
基础达标练
1. 若数列 的通项公式为 ,则数列 的前 项和为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由分组法求和，得数列 的前 项和 .
2. 已知数列 的通项公式是 ，则 ( )
A. B. C. 3 033 D. 3 034
【答案】 A
【解析】由 ，得 .
3. [2023福建莆田第六中学高二期中]已知等差数列 的前 项和为 ，且 , ，则 的前 项和 .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ， ， ，
解得
， ，
设 ，则 ，易知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则 .
4. [2023湖北黄石二中高二期末]已知数列 满足 ， ，且 , ，则该数列的前9项和为 .
【答案】34
【解析】 , ，
当 为奇数时， ， ；
当 为偶数时， ，则数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
.
5. [2023江西赣州高二月考]已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 .
【答案】
【解析】由题意得， ， ， ， ，
又 的周期为4，
.
[2023山东青岛高二期中]集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉集合论“是数学天才最优秀的作品，是人类纯粹智力活动的最高成就之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段， ，将这样的操作一直继续下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前 次操作中总共去掉的线段长度之和不小于 ，则 的最小值为 .
（参考数据： ， ）
【答案】 9
【解析】第一次操作去掉的线段长度为 ，
第二次操作去掉的线段长度之和为 ，
第三次操作去掉的线段长度之和为 ， ，
第 次操作去掉的线段长度之和为 ，
由此可得去掉线段的总长度为 ，
令 ，得 ，得 ，
所以 ，所以 的最小值是9.
7. [2023湖南郴州高二期中]已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且满足 .
（1） 若 ， ， 成等比数列，求 的值；
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 .
又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，解得 .
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】因为 ，
所以
.
8. 已知数列 满足 ， ，求 的前 项和 .
【解析】因为 , ，
所以 .
当 为偶数时， ;
当 为奇数时， .
综上所述，
素养提升练
9. [2023河北唐山一中高二期末]（多选题）设首项为2的数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. 数列 的通项公式为
C. 数列 为等比数列
D. 数列 的前 项和为
【答案】 BD
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 ，则 ，故 错误；
当 时， ，所以 ，当 时， 不满足上式，所以 故 正确；
由 可知， ，故 不是等比数列，故 错误；
因为 ，所以数列 的前 项和为 ，故 正确.
故选 .
10. [2023山西太原师范学院附属中学高二期末]高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. 4 956 B. 4 959 C. 4 962 D. 4 965
【答案】 B
【解析】由 ， ，由累加法可得：
，
所以 ，所以 .
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
因此 .故选 .
11. （多选题）已知数列 满足 ， ，且 ， ，记 为数列 的前 项和，数列 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式 成立的整数 可以为( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】ABC
【解析】由题意得，当 为偶数时， ，即 ,
所以 , , , 是以 为首项， 为公比的等比数列；当 为奇数时， ，所以 , , , 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以
，
因为数列 是首项和公比都是2的等比数列，
所以 ， ，即 ，
依次检验：当 ， ， ， 时，不满足题意，当 时，满足题意，所以满足条件的最小正整数为5，
故选 .
12. 已知数列 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，
由
解得
所以
（2） 是否存在 ，使 ？若存在，求出所有符合条件的 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由（1）得，当 为偶数时， ；
当 为奇数时， .
当 为奇数时，由已知条件得， ，
化简得 ，解得 ；
当 为偶数时，由已知条件得， ，
化简得 ,解得 .
综上，存在 符合条件.
13. 在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 .
（1） 证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
【解析】因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以 ，所以 ，
又 ，所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，所以 .
（2） 若 求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）知
则数列 的奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列；
偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列.
所以当 为偶数，且 时，
；
当 为奇数，且 时，
.
又当 时， 满足上式，
所以当 为奇数，且 时， .
综上，
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