高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业15 数列求和（二）（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业15 数列求和（二）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 332.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-20 16:55:48 | ||
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文档简介
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课时作业15 数列求和（二）
基础达标练
1. [2023江苏苏州高二期末]在数列 中， ， ，则数列 的前5项和 ( )
A. B. C. D.
2. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 满足 ，若数列 满足 ，则数列 的前20项的和为 ( )
A. 230 B. 115 C. 110 D. 100
3. (多选题)已知数列的前项和为，，，且.记 ，则下列说法正确的是( )
A. 为等差数列 B. C. D.
4. 已知数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项之和等于9，则 .
5. 已知数列 的通项公式为 ,前 项和为 ，则 ，若 ，则实数 的最小值为 .
6. 定义各项均为正数的数列的“美数”为.若各项均为正数的数列的“美数”为，且，则 .
7. 已知等比数列 的前 项和是 ,且 ， 是 与 的等差中项.
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
8. 已知等差数列 的前 项和为 , , .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
素养提升练
9. 已知 是首项为1的等差数列, 是公比为 的等比数列,数列 的前 项和 ,则数列 的前 项和等于( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 ( )
A. 2 020 B. 1 010 C. 2 D.
11. (多选题)已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. { 为等差数列
C. 的取值范围是
D. 数列 的通项公式为
12. 已知数列的前 项和为，且，设函数 ，则 ， .
13. [2023广东广州高二期末]已知 , ，且 在直线 上，其中 是数列 中的第 项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
14. 记 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 若 ，求数列 的前 项和 .
15. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
（1） 求 ， ；
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
参考答案
基础达标练
1. [2023江苏苏州高二期末]在数列 中， ， ，则数列 的前5项和 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 , , 数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
, ，
故 .故选 .
2. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 满足 ，若数列 满足 ，则数列 的前20项的和为 ( )
A. 230 B. 115 C. 110 D. 100
【答案】B
【解析】 ，①
，
得， ，
所以 ，
所以数列 的前20项的和为 .故选 .
3. (多选题)已知数列的前项和为，，，且.记 ，则下列说法正确的是( )
A. 为等差数列 B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由 变形得 ，即 为等差数列，因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，
故 正确.
4. 已知数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项之和等于9，则 .
【答案】99
【解析】
，
所以数列 的前 项之和
，解得 .
5. 已知数列 的通项公式为 ,前 项和为 ，则 ，若 ，则实数 的最小值为 .
【答案】 ; 4
【解析】由 ，得 ，
所以 ,
得 ，所以 ，即实数 的最小值为4.
6. 定义各项均为正数的数列的“美数”为.若各项均为正数的数列的“美数”为，且，则 .
【答案】
【解析】因为各项均为正数的数列 的“美数”为 ，所以 .
设数列 的前 项和为 ，则 ,
所以 ，
所以 .
又当 时， ，即 ，满足上式，
所以 .
又 ，所以 ，所以 .
7. 已知等比数列 的前 项和是 ,且 ， 是 与 的等差中项.
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，
由 是 与 的等差中项，可得 ，
所以 ，解得 （舍0），
所以 , .
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
，
得 ,
所以 .
8. 已知等差数列 的前 项和为 , , .
（1）求 的通项公式；
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由题意知， 解得
.
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】 ，
.
素养提升练
9. 已知 是首项为1的等差数列, 是公比为 的等比数列,数列 的前 项和 ,则数列 的前 项和等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】由数列 的前 项和为 ,
得 ， ,
设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ，
依题意，得 , , ，
所以 ， ，
所以 ，所以数列 的前 项和 ,①
得 ,
得
,
所以 .
10. 已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 ( )
A. 2 020 B. 1 010 C. 2 D.
【答案】 A
【解析】 ，
数列 为等比数列，且 ，
， ．
11. (多选题)已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. { 为等差数列
C. 的取值范围是
D. 数列 的通项公式为
【答案】 BCD
【解析】当 时， ，则 ，由 得，
当 时， ，两式相减得， ，则 ，
是以2为首项，3为公比的等比数列， ， 错误；
又 ，
，
是以 为首项， 为公差的等差数列， 正确； ,则 ， 正确；
，
， ，
数列 为单调递增数列，则 ，故 ， 正确.
故选 .
12. 已知数列的前 项和为，且，设函数 ，则 ， .
【答案】 ;
【解析】 ，①
当 时， ，所以 ，当 时， ，
得， ，
所以 ，显然 时， 也成立，
当 时， ，
当 时， 也成立，所以 .
由 ，得 ， ，所以 ，
所以 .
13. [2023广东广州高二期末]已知 , ，且 在直线 上，其中 是数列 中的第 项.
（1）求数列 的通项公式；
【解析】因为 , ，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
又因为 在直线 上，所以 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）知， ，
则 ，
于是得 ，
两式相减得
，
所以数列 的前 项和 .
14. 记 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1） 求证：数列 为等比数列；
证明： ， 当 时， ，
，得 ，即 ，
化简得 ，
又 ， 数列 中各项均不为0，且 ，
数列 是首项为2，公比为3的等比数列.
（2） 若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）得， ， ，
，
数列 的前 项和 .
15. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
（1） 求 ， ；
【解析】由 ，得 ，
两式相减得 ，
即 ， ，
， ，
以上各式累加得， ， ，
， 符合上式， ，
，即 .
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由题意及（1）得， ，
，
则 ，
两式相减得， ，
即 .
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课时作业15 数列求和（二）
基础达标练
1. [2023江苏苏州高二期末]在数列 中， ， ，则数列 的前5项和 ( )
A. B. C. D.
2. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 满足 ，若数列 满足 ，则数列 的前20项的和为 ( )
A. 230 B. 115 C. 110 D. 100
3. (多选题)已知数列的前项和为，，，且.记 ，则下列说法正确的是( )
A. 为等差数列 B. C. D.
4. 已知数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项之和等于9，则 .
5. 已知数列 的通项公式为 ,前 项和为 ，则 ，若 ，则实数 的最小值为 .
6. 定义各项均为正数的数列的“美数”为.若各项均为正数的数列的“美数”为，且，则 .
7. 已知等比数列 的前 项和是 ,且 ， 是 与 的等差中项.
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
8. 已知等差数列 的前 项和为 , , .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
素养提升练
9. 已知 是首项为1的等差数列, 是公比为 的等比数列,数列 的前 项和 ,则数列 的前 项和等于( )
A. B.
C. D.
10. 已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 ( )
A. 2 020 B. 1 010 C. 2 D.
11. (多选题)已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. { 为等差数列
C. 的取值范围是
D. 数列 的通项公式为
12. 已知数列的前 项和为，且，设函数 ，则 ， .
13. [2023广东广州高二期末]已知 , ，且 在直线 上，其中 是数列 中的第 项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
14. 记 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1） 求证：数列 为等比数列；
（2） 若 ，求数列 的前 项和 .
15. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
（1） 求 ， ；
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
参考答案
基础达标练
1. [2023江苏苏州高二期末]在数列 中， ， ，则数列 的前5项和 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 , , 数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
, ，
故 .故选 .
2. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 满足 ，若数列 满足 ，则数列 的前20项的和为 ( )
A. 230 B. 115 C. 110 D. 100
【答案】B
【解析】 ，①
，
得， ，
所以 ，
所以数列 的前20项的和为 .故选 .
3. (多选题)已知数列的前项和为，，，且.记 ，则下列说法正确的是( )
A. 为等差数列 B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由 变形得 ，即 为等差数列，因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，
故 正确.
4. 已知数列 的通项公式为 ，若该数列的前 项之和等于9，则 .
【答案】99
【解析】
，
所以数列 的前 项之和
，解得 .
5. 已知数列 的通项公式为 ,前 项和为 ，则 ，若 ，则实数 的最小值为 .
【答案】 ; 4
【解析】由 ，得 ，
所以 ,
得 ，所以 ，即实数 的最小值为4.
6. 定义各项均为正数的数列的“美数”为.若各项均为正数的数列的“美数”为，且，则 .
【答案】
【解析】因为各项均为正数的数列 的“美数”为 ，所以 .
设数列 的前 项和为 ，则 ,
所以 ，
所以 .
又当 时， ，即 ，满足上式，
所以 .
又 ，所以 ，所以 .
7. 已知等比数列 的前 项和是 ,且 ， 是 与 的等差中项.
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，
由 是 与 的等差中项，可得 ，
所以 ，解得 （舍0），
所以 , .
（2） 若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
，
得 ,
所以 .
8. 已知等差数列 的前 项和为 , , .
（1）求 的通项公式；
【解析】设等差数列 的公差为 ，
由题意知， 解得
.
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】 ，
.
素养提升练
9. 已知 是首项为1的等差数列, 是公比为 的等比数列,数列 的前 项和 ,则数列 的前 项和等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】由数列 的前 项和为 ,
得 ， ,
设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ，
依题意，得 , , ，
所以 ， ，
所以 ，所以数列 的前 项和 ,①
得 ,
得
,
所以 .
10. 已知函数 ，若等比数列 满足 ，则 ( )
A. 2 020 B. 1 010 C. 2 D.
【答案】 A
【解析】 ，
数列 为等比数列，且 ，
， ．
11. (多选题)已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是( )
A. 数列 的通项公式为
B. { 为等差数列
C. 的取值范围是
D. 数列 的通项公式为
【答案】 BCD
【解析】当 时， ，则 ，由 得，
当 时， ，两式相减得， ，则 ，
是以2为首项，3为公比的等比数列， ， 错误；
又 ，
，
是以 为首项， 为公差的等差数列， 正确； ,则 ， 正确；
，
， ，
数列 为单调递增数列，则 ，故 ， 正确.
故选 .
12. 已知数列的前 项和为，且，设函数 ，则 ， .
【答案】 ;
【解析】 ，①
当 时， ，所以 ，当 时， ，
得， ，
所以 ，显然 时， 也成立，
当 时， ，
当 时， 也成立，所以 .
由 ，得 ， ，所以 ，
所以 .
13. [2023广东广州高二期末]已知 , ，且 在直线 上，其中 是数列 中的第 项.
（1）求数列 的通项公式；
【解析】因为 , ，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
又因为 在直线 上，所以 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）知， ，
则 ，
于是得 ，
两式相减得
，
所以数列 的前 项和 .
14. 记 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1） 求证：数列 为等比数列；
证明： ， 当 时， ，
，得 ，即 ，
化简得 ，
又 ， 数列 中各项均不为0，且 ，
数列 是首项为2，公比为3的等比数列.
（2） 若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由（1）得， ， ，
，
数列 的前 项和 .
15. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
（1） 求 ， ；
【解析】由 ，得 ，
两式相减得 ，
即 ， ，
， ，
以上各式累加得， ， ，
， 符合上式， ，
，即 .
（2） 设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】由题意及（1）得， ，
，
则 ，
两式相减得， ，
即 .
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