高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业16 数列的综合应用（含答案）

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课时作业16 数列的综合应用
基础达标练
1. 已知等差数列 的公差为2，若 , , 成等比数列，则 等于( )
A. 2 B. 1 C. D.
2. “太极生两仪，两仪生四象”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过 次二分形成 卦，则 ( )
A. 120 B. 122 C. 124 D. 128
3. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 021这2 021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( )
A. 58 B. 59 C. 60 D. 61
4. （多选题）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 当 或 时， 取得最大值 D. 当 时， 的最大值为20
5. [2023湖北黄冈高二月考]大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第21项是( )
A. 200 B. 210 C. 220 D. 242
6. 设各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ， ，且 是 与 的等比中项，则数列 的公差 为 ．
7. 已知等比数列 的前 项和 ，且 ,9, 成等差数列，则 的值为 .
8. 在 ， ； ， ； ， 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并作答.
已知等差数列 的前 项和为 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 ，求数列 ， 的通项公式.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
9. [2023山东菏泽一中高二月考]已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， , , .
（1） 若 ，求 的通项公式；
（2） 若 ，求 .
10. 设数列 是等比数列，其前 项和为 .
（1） 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列 的通项公式；
； ， .
（2） 在（1）的条件下，若 ，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
素养提升练
11. （多选题）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：用 表示斐波那契数列的第 项，则数列 满足 ， ，记 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知等差数列 的公差 ，且满足 , , 成等比数列，若 ， 是数列 的前 项和，则 的最小值为
13. 已知数列的前项和为 ，数列的前项和为 ，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立，， .
14. [2023福建龙岩第一中学高二月考]甲、乙两同学在复习数列时发现原来做过的一道数列题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是 ， ， 成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，那么请你通过推理把条件补充完整并解答此题.
等比数列 的前 项和为 ，已知 .
（1） 判断 ， ， 的关系；
（2） 若 ， ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
15. 我国南宋时期的数学家杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和．
（1） 把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15， ，写出 与 的递推关系，并求出数列 的通项公式；
（2） 设 , ，求数列 的前 项和 .
16. 已知数列 的前 项和为 ， .
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
； ； .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 ，是数列的前项和，若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．
创新拓展练
17. 黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数 ，我们经常从无穷级数的部分和 入手.请你回答以下问题.
（1） 求；（其中 表示不超过 的最大整数，例 , ）
参考答案
基础达标练
1. 已知等差数列 的公差为2，若 , , 成等比数列，则 等于( )
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】因为数列 的公差为2，所以 ， ，又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，解得 .
2. “太极生两仪，两仪生四象”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过 次二分形成 卦，则 ( )
A. 120 B. 122 C. 124 D. 128
【答案】 A
【解析】依题意可得 是首项为2，公比为2的等比数列，则 ．故选 ．
3. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 021这2 021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( )
A. 58 B. 59 C. 60 D. 61
【答案】A
【解析】因为由1到2 021这2 021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为 ．令 ，得 ，即该数列的项数为58．
4. （多选题）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 当 或 时， 取得最大值 D. 当 时， 的最大值为20
【答案】BCD
【解析】由题意得 ，即 ，①
又 是 与 的等比中项，所以 ，所以 ，整理得 ，②
由①②解得 ， ，故选项 中说法错误，选项 中说法正确；
，又 ，
所以当 或 时， 取得最大值，故选项 中说法正确；
令 ，解得 ，又 ，
所以 的最大值为20，故选项 中说法正确.故选 .
5. [2023湖北黄冈高二月考]大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第21项是( )
A. 200 B. 210 C. 220 D. 242
【答案】C
【解析】根据题意可知，数列的前10项中奇数项为0，4，12，24，40，
有 , , , , ，
故其奇数项的通项公式为 为奇数 ,故 ，故选 .
6. 设各项均为正数的等差数列 的前 项和为 ， ，且 是 与 的等比中项，则数列 的公差 为 ．
【答案】1
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 是 与 的等比中项，
所以 ，
联立
即
解得 或 （舍去）.
经检验 满足题意.
7. 已知等比数列 的前 项和 ，且 ,9, 成等差数列，则 的值为 .
【答案】
【解析】当 时, ；
当 时， ，所以 ，
又 ,9, 成等差数列，所以 ,即 ，
由①②解得 , ,所以 .
8. 在 ， ； ， ； ， 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并作答.
已知等差数列 的前 项和为 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 ，求数列 ， 的通项公式.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】设等差数列 的公差为 .
若选①：由 ，得 ，故 ，
所以 解得
故 ，则 ，所以 .
若选②：由题意得
即 解得
故 ，则 ，所以 .
若选③：由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，故 ，
则 ，故 .
9. [2023山东菏泽一中高二月考]已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， , , .
（1） 若 ，求 的通项公式；
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ，
则 ， .
由 ，得 .①
由 ，得 .②
联立①②，解得 （舍去）或
因此 的通项公式为 .
（2） 若 ，求 .
【解析】由 , ，得 ，解得 或 .
当 时，由①得 ，则 .
当 时，由①得 ，则 .
10. 设数列 是等比数列，其前 项和为 .
（1） 从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列 的通项公式；
； ， .
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，
若选①，当 时， ，则 ，
当 时， ，可得 ，
则 ，
所以 .
若选②，由 ， ，
得 ， ，可得 ，
所以 ， ，所以 .
（2） 在（1）的条件下，若 ，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】 ，所以 ，所以 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 .
素养提升练
11. （多选题）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：用 表示斐波那契数列的第 项，则数列 满足 ， ，记 ，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】 ABC
【解析】由 知， 的前9项依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，即 ，故 正确；
由 得 ，得 ，故 正确；
， ， ， ， ，所以 ，即 ，故 正确；
由 得， ， ， ， ，以上各式累加得， ，所以 ，所以 ，即 ，故 错误.
故选 .
12. 已知等差数列 的公差 ，且满足 , , 成等比数列，若 ， 是数列 的前 项和，则 的最小值为
【答案】 4
【解析】 , , 成等比数列， ，
，解得 舍去
，
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
的最小值为4.
13. 已知数列的前项和为 ，数列的前项和为 ，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立，， .
【证明】 选①②作为条件，证明③：
因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
（1）-（2）得 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，
即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 .
选①③作为条件，证明②：
因为 ，所以当 时， ；当 时， ，
（1）-（2）得 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 .
因为 ，所以当 时， ；
当 时， .
因为当 时， 满足上式，所以 ，故 .
选②③作为条件，证明①：
因为 ，所以当 时， ；
当 时， .
因为当 时， 满足上式，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，故 .
14. [2023福建龙岩第一中学高二月考]甲、乙两同学在复习数列时发现原来做过的一道数列题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是 ， ， 成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，那么请你通过推理把条件补充完整并解答此题.
等比数列 的前 项和为 ，已知 .
（1） 判断 ， ， 的关系；
【解析】由 ， ， 成等差数列，得 ，
即 ，
由题意知 ，所以 .
又 ，所以 .
综上可知，缺少的条件是 .
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ， ， 成等差数列.
（2） 若 ， ，记数列 的前 项和为 ，证明： .
【解析】证明：由 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
两式相减可得，
，
化简可得 ，
由 ，可得 .
15. 我国南宋时期的数学家杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为1，其他各数均为它肩上两数之和．
（1） 把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，按原来的顺序排列得一数列：1，3，6，10，15， ，写出 与 的递推关系，并求出数列 的通项公式；
【解析】由“杨辉三角”的定义可知： ，
当 时， ，所以 ，
故 ，该式对 也成立.
所以 .
（2） 设 , ，求数列 的前 项和 .
【解析】由题得 , ，所以 , ，
则 ，①
所以 ，
得， ，
即 ，
所以 .
16. 已知数列 的前 项和为 ， .
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
； ； .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求数列的通项公式；
（2）记 ，是数列的前项和，若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．
第（1）小问【解析】选①：当 时， ， ，
， 当 时， ，
两式相减得 ，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
.
选②： ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
又当 时， 满足上式， .
选③： ，
当 时， ，
两式相除得 ，
又当 时， 满足上式， .
第（2）小问【解析】 ，
，
对任意的 , 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
对任意的 恒成立，
, ，
令 , ，则 ，
， ，即 ，
数列 是递减数列， ，
， .
创新拓展练
17. 黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数 ，我们经常从无穷级数的部分和 入手.请你回答以下问题.
（1） 求；（其中 表示不超过 的最大整数，例 , ）
【解析】
，
，
所以 ，
所以 .
（2） 已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，求 .
【解析】当 时， ，解得 ，因为 ，所以 ，当 时， ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项、公差均为1的等差数列，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 .
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