高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业19 导数的概念（含答案）

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课时作业19 导数的概念
基础达标练
题组一 变化率与导数的概念
1. 如图，函数 在 上的平均变化率为( )
A. B. C. 2 D.
2. [2023江西南昌高二测试]某地某天上午9：20的气温为 ，下午1：30的气温为 ，则在这段时间内气温的平均变化率为 .
3. 已知函数 .
（1） 求 在 上的平均变化率；
求 在 处的瞬时变化率.
题组二 导数定义的应用
4. 已知函数 ,则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
5. (多选题)下列关于函数 的变化率的叙述正确的是( )
A. 在 上的平均变化率为1
B. 在 处的导数为2
C. 在 处的瞬时变化率为1
D. 在 上的平均变化率为
6. 已知函数 ，则 .
7. [2023福建泉州实验中学高二期中]如果函数 在 处的导数是 ，那么 的值为 .
8. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 在 上的平均变化率是函数 在 上的平均变化率的2倍，则实数 的值为 ，则函数 在 处的导数为 .
9. 求函数 在 处的导数．
题组三 导数在实际问题中的意义
10. [2023广东东莞第二高级中学高二期中]某汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时可在 内完成刹车，其位移（单位： ）关于时间（单位： ）的函数为 ，则 的实际意义为( )
A. 汽车刹车后 内的位移 B. 汽车刹车后 内的平均速度
C. 汽车刹车后第 时的瞬时速度 D. 汽车刹车后第 时的位移
11. 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润 （单位：元）与产量 （单位：台）之间的关系式为 .
（1） 产量由1 000台提高到1 500台时，求总利润的平均变化率；
（2） 求 与 ，并说明它们的实际意义.
素养提升练
12. [2023山东邹城第二中学高二月考]若 ，则 ( )
A. B. 4 C. D. 1
13. (多选题)设 在 处可导，则下列式子中与 相等的是( )
A.
B.
C.
D.
14. [2023北京东城高二期末]设函数 ， ， ，当自变量 从0变到1时，它们的平均变化率分别记为 ， ， ，则 ， ， 之间的大小关系为 （用“ ”“ ”或“ ”连接）；三个函数中，在 处的瞬时变化率最大的是 .
15. 设函数 ，求 .
现有一个圆柱形空杯子，底面半径为 ，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积 （单位： ）关于时间 （单位： ）的函数解析式为 ，不考虑注液过程中溶液的流失，则当 时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为多少？并说明它的实际意义.
创新拓展练
17. [2023湖南高二测试]写出下列几何量关于自变量在指定区间 上的平均变化率和在该区间两端点处的瞬时变化率.
（1） 边长为 的正方形的周长， ， ；
（2） 半径为 的圆的面积， ， .
参考答案
基础达标练
题组一 变化率与导数的概念
1. 如图，函数 在 上的平均变化率为( )
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】 .故选 .
2. [2023江西南昌高二测试]某地某天上午9：20的气温为 ，下午1：30的气温为 ，则在这段时间内气温的平均变化率为 .
【答案】
【解析】从上午9：20到下午 ，共 ，这段时间内气温的变化量为 （即气温下降 ），所以在这段时间内气温的平均变化率为 .
3. 已知函数 .
（1） 求 在 上的平均变化率；
【解析】 在 上的平均变化率为
.
（2） 求 在 处的瞬时变化率.
【解析】 在 处的瞬时变化率为 .
题组二 导数定义的应用
4. 已知函数 ,则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
，
所以 .
5. (多选题)下列关于函数 的变化率的叙述正确的是( )
A. 在 上的平均变化率为1
B. 在 处的导数为2
C. 在 处的瞬时变化率为1
D. 在 上的平均变化率为
【答案】BD
【解析】因为函数 在 上的平均变化率为 ,
所以函数 在 上的平均变化率为 ，故 错误， 正确；
函数 在 处的瞬时变化率即 ，故 正确， 错误.故选 .
6. 已知函数 ，则 .
【答案】7
【解析】因为 ，所以 ，
，所以 .
7. [2023福建泉州实验中学高二期中]如果函数 在 处的导数是 ，那么 的值为 .
【答案】
【解析】由题意，可知
，
解得 .
8. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 在 上的平均变化率是函数 在 上的平均变化率的2倍，则实数 的值为 ，则函数 在 处的导数为 .
【答案】 2 ; 6
【解析】函数 在 上的平均变化率为 ，
函数 在 上的平均变化率为 ，
由题意知 ，所以 .
函数 在 处的导数为
.
9. 求函数 在 处的导数．
【解析】依题意得， ，
所以 ，
所以函数 在 处的导数是20.
题组三 导数在实际问题中的意义
10. [2023广东东莞第二高级中学高二期中]某汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时可在 内完成刹车，其位移（单位： ）关于时间（单位： ）的函数为 ，则 的实际意义为( )
A. 汽车刹车后 内的位移 B. 汽车刹车后 内的平均速度
C. 汽车刹车后第 时的瞬时速度 D. 汽车刹车后第 时的位移
【答案】C
11. 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润 （单位：元）与产量 （单位：台）之间的关系式为 .
（1） 产量由1 000台提高到1 500台时，求总利润的平均变化率；
【解析】当产量由1 000台提高到1 500台时，
总利润的平均变化率为 （元/台）.
（2） 求 与 ，并说明它们的实际意义.
【解析】设 时产量的改变量为 ，
则 ，
令 ，可得 .
设 时产量的改变量为 ，
则 ，
令 ，可得 .
的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获利3 000元；
的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获利1 000元.
素养提升练
12. [2023山东邹城第二中学高二月考]若 ，则 ( )
A. B. 4 C. D. 1
【答案】 C
【解析】因为 ，所以
.故选 .
13. (多选题)设 在 处可导，则下列式子中与 相等的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
， 满足；
， 不满足；
， 满足；
， 不满足.故选 .
14. [2023北京东城高二期末]设函数 ， ， ，当自变量 从0变到1时，它们的平均变化率分别记为 ， ， ，则 ， ， 之间的大小关系为 （用“ ”“ ”或“ ”连接）；三个函数中，在 处的瞬时变化率最大的是 .
【答案】 ;
【解析】 ， ， ，故 .根据导数的定义易得 ， ， ，
故三个函数中，在 处的瞬时变化率最大的是 .
15. 设函数 ，求 .
【解析】解法一：令 ,则 ，
所以 .
解法二： .
16. 现有一个圆柱形空杯子，底面半径为 ，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积 （单位： ）关于时间 （单位： ）的函数解析式为 ，不考虑注液过程中溶液的流失，则当 时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为多少？并说明它的实际意义.
【解析】由题设，杯子的底面积为 ，则溶液上升高度 ，
根据导数的定义， .
当 时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为 ，
即在第 时，杯中液体上升高度的瞬时变化率为 .
说明在第 附近，杯中液体的高度以 的速率上升.
创新拓展练
17. [2023湖南高二测试]写出下列几何量关于自变量在指定区间 上的平均变化率和在该区间两端点处的瞬时变化率.
（1） 边长为 的正方形的周长， ， ；
【解析】详细解析因为正方形的周长为 ，
所以 在 上的平均变化率为 ，
在 上的端点 处的瞬时变化率为
，
同理，在 上的端点 处的瞬时变化率也为4.
（2） 半径为 的圆的面积， ， .
【解析】详细解析圆的面积为 ，
所以 在 上的平均变化率为 ，
在 处的瞬时变化率为
，
在 处的瞬时变化率为
.
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