湖北省荆州开发区高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（pdf版，含答案）

荆开高中高二 3 月数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每个小题绐岀的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数 z满足 1 i z 1 i ，则复数 z的虚部是（ ）
A. 2 B. 2 2 2 i C. D. i
2 2 2 2
2 2
2. “ x y方程 1表示椭圆”是“ 3 m 4 ”的（ ）
4 m m 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知等比数列 an 中， a2a3a4 8,a6 16，则公比 q （ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 或 2
4. 函数 f x 的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. f 1 f 2 f 2 f 1 0
B. f 2 f 2 f 1 f 1 0
C. f 1 f 2 f 1 f 2 0
D. f 2 f 1 f 1 f 2 0
5. 记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a5 a9 a8 5， a11 7 ，则 S16 （ ）
A. 64 B. 80 C. 96 D. 120
6. O为坐标原点，F 为抛物线C : y2 4x的焦点，P为C上一点，若 PF 4，则 POF
的面积为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
7. 下列不等式中，对任意 x 0, 的恒成立的是（ ）
A. ex e x 1 B. sin x x ln x 1 x 1 x2 x 1C. D. ln x
2 x 1
8. 已知函数 f x ex e x ，若不等式 f ax 1 f ln x 0 在 0, 上恒成立，则
实数 a的取值范围是（ ）
{#{QQABbQQAogiAQIBAARgCUQGQCgEQkACCAKoGABAMIAAByRFABAA=}#}
2 , 2 A. B. 1, C.
e
, D. , 1
e
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分，有选错的得 0 分）
9. 下列命题正确的有（ ）
f x f 1 2Δx f 1 A. 已知函数 在R 上可导，若 f 1 2，则 lim 2
x 0 Δx
B. cosx
xsinx cosx

x x 2
C. 已知函数 f x ln 2x 1 ，若 f x0 1，则 x
1
0 2
D. 2设函数 f x 的导函数为 f x ，且 f x x 3xf 2 lnx 9，则 f 2
4
10. 设 an 是公差为 d的等差数列，Sn为其前项的和，且 S9 S10 ，S10 S11 S12，则下
列说法正确的是（ ）
A. d 0 B. a11 0 C. S14 S9 D. S10 ， S11均为 Sn的最大值
11. 双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 F2 发出的光
线m交双曲线右支于点 P，经双曲线反射后，反射光线 n的反向延长线过左焦点F1．若双
x2 y2
曲线C的方程为 1，下列结论正确的是（ ）
9 16
A. 若m n，则 PF1 PF2 16
B. 当反射光线 n过Q 7,5 时，光由 F2 P Q所经过的路程为 7
4
C. 反射光线 n所在直线的斜率为 k，则 k 0, 3
D. 记点T 1,0 ，直线 PT 与C相切，则 PF2 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 写出一个数列 an 的通项公式，使得这个数列的前 n项和在 n 5时取最大值，
an _____.
{#{QQABbQQAogiAQIBAARgCUQGQCgEQkACCAKoGABAMIAAByRFABAA=}#}
13. f x 2x3 f 1 x2 f 1 x f x 1 flim 1 已知函数 ，则 ______．
x 0 2 x
14. 已知抛物线 y2 2px的焦点为点 F ，过点 F 的直线 l交抛物线于点A ， B两点，交抛

物线的准线于点M ，且MA AF ，MB BF ，则 ______
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤）
15．（13 分）已知递增的等比数列 an 和等差数列 bn ，满足 a1 a4 18，a2a3 32，b2是 a1
和 a2的等差中项，且b3 a3 3 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
1
(2)若 cn b b ，求数列 cn 的前 n项和 Sn .n n 1
16．（15 分）在三棱台 ABC - A1B1C1 中，A1A 底面 ABC，底面 ABC是边长为 2 的等边三角
AB 1形，且 1 1 AB，D 为 AB的中点．2
（1）证明：平面B1DC 平面 A1ABB1．
（2）平面 A1ABB1与平面 B BCC 的夹角能否为 45 1 1 ？若能，求出 A1A的值；若不能，请说明
理由．
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2 2 1
17．（15 x y分）已知椭圆方程 2 2 1 a b 0 ，左右焦点分别 F1， F2 ．离心率 e ，a b 2
长轴长为 4．
（1）求椭圆方程．
（2）若斜率为 1 的直线 l交椭圆于 A，B两点，与以F1， F2 为直径的圆交于 C，D 两
AB 12 2点．若 CD ，求直线 l的方程．
7
1
18．（17 2分）已知函数 f x x ln x ax 1，且 f 1 1.
2
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若对任意 x 0， ，都有 f x 2mx 1 0 ，求m的取值范围；
2
19 x、（17 分）已知椭圆 : y22 1（常数 a 2），点 A a,1 ，B a,1 ，O为坐标原点．a
（1）求椭圆离心率的取值范围；

（2）若 P是椭圆 上任意一点，OP mOA nOB，求m n的取值范围；
（3）设M x1, y1 ， N x2 , y2 是椭圆 上的两个动点，满足 kOM kON kOA kOB，试探究
OMN 的面积是否为定值，说明理由．
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荆开高中高二 3 月数学试卷答案
1、C 2、A 3、B 4、C 5、C 6、B 7、C 8、D 9、CD 10、BCD 11、BCD
12、5 n（答案不唯一） 13、5 14、 0
a1 a4 18
a 2
15 1、（1）由题意知， a1a4 a2a3 32，解得 aa 16，设等比数列 n 的公比为
q，∴q= 2，
4
a1 a4
a a
∴ an 2
n；由题意知，b 1 22 3,b3 a3 3 5，则等差数列 bn 的公差 d 2 ,2
∴bn b2 n 2 d 3 2 n 2 2n 1.
1 1 1 1
（2）∵Cn 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 ，
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴ n
1 1 1 n .
2 3 2 3 5 2 2 n 1 2 n 1 2

2n 1 2n 1
16．（15 分）（1）因为底面 ABC是边长为 2 的等边三角形，D为 AB的中点，
故DC AB；又 A1A 底面 ABC，CD 底面 ABC，故 A1A CD，
又 AB A1A A, AB, A1A 平面 A1ABB1，故CD 平面 A1ABB1，
又CD 平面 B1DC，故平面 B1DC 平面 A1ABB1；
1
（2）由已知可知 A1B1 AB， A1B1∥ AB，且 D为 AB的中点，2
则 A1B1∥AD,A1B1 = AD，即四边形 AA1B1D为平行四边形，故 AA1∥B1D，由 A1A 底面 ABC，
得 B1D 底面 ABC，因为 AB,CD 平面 ABC，所以B1D AB,B1D CD，
以 D为坐标原点，以DB,DC,DB1所在直线为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
设 AA1 ，则D 0,0,0 ,B 1,0,0 ,C 0, 3,0 ,B1 0,0, ，
结合（1）可知平面 A1ABB

1的法向量可取为 n 0,1,0 ；

设平面 B1BCC1的一个法向量为m (x, y, z)，而 BB1 1,0, ,BC 1, 3,0 ，

m BB 0 x z 0
故
1
，即 ，令 y ，则m 3 , , 3 ，
m BC 0 x 3y 0
{#{QQABbQQAogiAQIBAARgCUQGQCgEQkACCAKoGABAMIAAByRFABAA=}#}

假设平面 A1ABB1与平面 B1BCC
| n m | | | 2
1的夹角能为 45 ，则 | cos n,m | ，| n || m | 1 4 2 3 2
即 2 2 3 0，此方程无解，假设不成立，即平面 A1ABB1与平面 B1BCC1的夹角不能为 45 .
17．（15 分）（1）根据题意，设 F1， F2 的坐标分别为 ( c,0)， (c,0) ，
2a 4

根据椭圆的几何性质可得 c 1 ，解得 a 2， c 1，则b2 a2 c2 3，
a 2
x2 y2
故椭圆C的方程为 1．
4 3
（2）假设存在斜率为1的直线 l，那么可设为 y x m，
则由（1）知F1，F2 的坐标分别为 ( 1,0)，(1,0)，可得以线段F1F2 为直径的圆为 x2 y2 1，
圆心 (0,0)
|m |
到直线 l的距离d 1，得 |m | 2 ，即m22 2
，
2
则 |CD | 2 1 d 2 2 1 m 2 2 m 2 ，
2
x2 y2
1
联立 4 3 得7x2 8mx 4m2 12 0，
y x m
设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，则 (8m)
2 4 7(4m2 12) 336 48m2 48(7 m2) 0 ，得m2 7，
故m2 2，
2
x x 8m x x 4m 121 2 1 2 7 7
2
| AB | 2 | x x | 2 ( 8m )2 4 4m 12 2 336 48m
2 4 6
1 2 7 m
2，
7 7 49 7
由 AB 12 2 CD 12 2可得 2 2 4 6 m2 = 7 m2
7 7 7
解得m2 1 2 ，得m 1． 即存在符合条件的直线 l : y x 1．
18、（1）易知 f x ln x 1 ax，所以 f 1 1 a，又 f 1 1，
∴ a 2，∴ f x x ln x x 2 1；
（2）若对任意的 x 0， ，都有 f x 2mx 1 0 ，即 x ln x x2 2mx 0恒成立，即：
m 1 ln x 1 x恒成立，令 h x 1 1 ln x x，x 0 ，则 h x 1 1 1 x ，
2 2 2 2 2x 2 2x
当 0 x 1时，h x 0，所以 h x 单调递增；当 x 1时，h x 0，所以 h x 单调递减；
∴ x 1时， h x h 1 1 1 1有最大值 ，∴m ，即m的取值范围为 ， ；2 2 2
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2 2
19、（1）由椭圆方程为 : x y2 1 c b 12 ，则离心率 e 1 1 ，a a a2 a2
3
又 a 2，所以 e ,1 ；
2

（2）由已知得OP mOA nOB ma na ,m n ，即 P ma na,m n ，
ma na 2
又点 P是椭圆 上任意一点，则 m 2 n 1，化
a2
m2 n2 1简可得 ，
2
m 2设 cos 2， n sin ， 0,2π ，则
2 2
m 2 n sin cos sin π 1,1 ；2 4
y1 y3 2
1
2 2 2 4 2 2（ ）方法一：由已知可得 x 2 ，即 x1x2 a y1y2 ，平方可得 x1 x2 a y1 y2 ，又1 x2 a
x2M N y2 1 1 a
2 x2 x2 a21 y2 1 2 x
2
， 在椭圆 上，所以 ， 21 ，a2 a2 2 a2

a2
x2x2 a2 x2 a2所以 1 2 1 x22 2，化简可得 x1 x2 a22 ，

cos OM ,ON x x 1 2 y1y2
x2 y2 2 2
，则
1 1 x2 y2
x y x y
sin OM ,ON 1 cos 2 OM ,ON 1 2 2 1
2 2 2 2 ，x1 y1 x2 y2
所以
1 1 x y x yS 2 2 2 2 1 2 2 1 OMN OM ON sin OM ,ON x1 y1 x2 y2 2 2 x21 y
2
1 x
2
2 y
2
2
1 1 2 2 2 2 1 2 x22
2 2 2
x1y2 x2 y1 x y
2 x1 2x1 x2
2 2 1 2
x2 y1 2x1x2y1y2 x2 1
1
a2
x2 1 a2
2
a
1
x2 2 a
2 1
x2 ，故 OMN 的面积为定值；2
y1 y2 1 2
方法二：由已知 x x a2 ，即 x1x2 a y1y2 ，1 2
{#{QQABbQQAogiAQIBAARgCUQGQCgEQkACCAKoGABAMIAAByRFABAA=}#}
MN x x y y x2①当直线 斜率不存在时， 1 2 ， 1 2 ，则 1 a
2 y21 ，
2 2 2
又M 在椭圆 x a x 2a 2上，则 y21 1 12
1 ，所以
2 x1 ， y1 ，此时a a 2 2
S 1 a OMN x1 2y ；2 1 2
②当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为： y kx t，
x2
y2 1 2 2 2 2 2 2
联立直线与椭圆 a2 ，得 1 a k x 2kta x a t 1 0 ，
y kx t
则 22kta2 4 1 a2k 2 a2 t 2 1 4a2 a2k 2 1 t 2 0 ，
x x 2kta
2 a2
t
2 1
1 2 ， ，1 x a2k 2 1x2 1 a2k 2
t 2 2 2y y kx 2 2 a k1 2 1 t kx2 t k x1x2 kt x1 x2 t ，1 a2k 2
a2 t2 1 t2 2 2则 a2 a k ，即 2t2 a2k 2 1，
1 a2k 2 1 a2k 2
4a2 a2k 2 1 t 2
MN 1 k 2 x x 21 2 1 k 2 x
2 1 k
1 x2 4x1x2 2 21 a k 2
1 k 2 4a
2 t 2
1 k 2 a t
2 2

t ，点O到直线MN的距离
d ，
2t 1 k 2
S 1 MN d 1 a
t a
所以 OMN 1 k
2 ，所以 OMN 的面积为定值.2 2 t 1 k 2 2
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