山东省济宁市邹城市2023-2024学年高一下学期4月期中教学质量检测数学试题（pdf版，含答案）

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高一期中数学试题参考答案 2024.04
一、单选题：(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 40 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C B C D D
二．多选题：(本大题共 3个小题，每小题 6 分，共 18 分)
题号 9 10 11
答案 AD BCD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
(1 , 3
1
12. ) 313. 14.
2 2 7 8
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)因为 a∥b，设b a (4 ,3 )， ………………………………2 分
则 b 5 5 16 2 9 2 25 2 ，解得 ,……………………4分
2 10
2 5 3 5
所以b ， 或b
2 5 3 5
， .…………………………6分
5 10 5 10

（2）因为 (a c) (2a c)，
所以 a c 2 2 2a c 2a a c c 0，…………………………………9分
又因为 a 5，c 5 3，可知 a c 25，…………………………………11 分
cos a c 25 3所以 .…………………………………………13 分
a c 5 5 3 3
16.解：(1)由题意得，
f (x) sin x(1 sin x 3 cos x) sin2 x
2 2
1
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1 sin2 x 3 sin x cos x sin2 x 1 cos 2x 3 1 cos 2x sin 2x
2 2 4 4 2
所以 f (x) 3 sin 2x 1 cos 2x 1 1 π 1 sin(2x ) ， ………………4分
4 4 4 2 6 4
π
由 2x kπ,k Z π kπ 1 ，得 x ,k Z，此时 y ………………6 分
6 12 2 4
π kπ 1
所以函数 f x 的对称中心为 , ,k Z； ………………7分
12 2 4
1 π 1
（2）由(1)知， f x sin(2x ) ，
2 6 4
π x π π π 5π当 时， 2x ，
4 3 3 6 6
y sin x [ π而函数 在 , π ]上递增，在[ π , 5π]上递减， ………………10 分
3 2 2 6
则当 2x π π ，即 x π 时， f x 1 max ， ………………………………12 分6 2 6 4
2x π π π当 ，即 x 时， f x 1 3 ，………………………14 分6 3 4 min 4
f x π π 1 1 3所以函数 在区间 , 上的最大值和最小值分别为 ， . 4 3 4 4
…………………………………………………………………………………15 分
2
17.解：（1）因为 2 i是关于 x的方程 x px q 0的一个根，所以有
2 i 2 p 2 i q 0，整理得 3 2p q p 4 i 0 . ………2 分
3 2 p q 0 p 4
故有 ，解得 .…………………………………………4 分
p 4 0 q 5
2 4 4 4 2i
可得方程 x 4x 5 0的根为 x 2 i，
2 2
所以另一个根为 2 i …………………………………………5 分
（2）猜想：
2
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2
实系数一元二次方程 a2x a1x a0 0 a2 0 在复数集C内的根为 x1, x2，则

x
a
1 x2 1
a2
， …………………………………………8 分
x x a0
1 2

a2
验证：方程 x2 4x 5 0的根为 x1 2 i, x2 2 i ，
x1 x2 4, x1 x2 2 i 2 i 5………………………………………10 分
p 4
（3）由（1）可知 ， z p qi 3可化为
q 5
x yi 4 5i x 4 y 5 i 3，…………………………………12 分
所以 x 4 2 y 5 2 3，表示点 x, y 与点 4,5 的距离为定长3………13 分
故复平面内满足 z p qi 3的动点 Z 的集合是以 4,5 为圆心，3为半径的圆.
…………………………………………………15 分
2
18.解：（1）由正弦定理得： (a b c) b a (b a) c ， ………………2分
2 2 2
bc b2 c2 a2 cos A b c a 1，由余弦定理得： ………………4分
2bc 2
A (0, π因为 ) π,所以 A ………………………………………………………6分
2 3
（2）在锐角 ABC中，M 为 ABC外心，所以 AM BM CM r， c 4
CAM BAM π设 ，则 ,
3
在 ABM ， cos(π ) 2
2
，可得 r ，① ………………8 分
3 r cos(π )
3
ACM sin 3 1 3 1在 中， ，可得 r ，② ………………10 分
r sin
2 3 1
联立①② π 2sin ( 3 1)cos(
π
)，
cos( ) sin 3
3
化简得 ( 3 1)cos ( 3 1)sin ③ ………………………………………12 分
3
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方法一（余弦定理）：同时除以 cos ，得 tan 2 3，
在 Rt AMD中， AD 3 1 tan 3 1 b 2AD 2 3 2
b2 c2 a2
在 ABC中，由余弦定理得： cos A ，
2bc
22 3 2 42 a2
cos π ，又
cos
π 1

3 2 2 3 2 4 3 2
解得 a 2 6…………………………………………………………………………17 分
2 2
方法二（正弦定理）因为 sin cos 1④，
6 2 3 1
联立③④解得 sin ， r 2 2，
4 sin
在 ABC a中，由正弦定理得： 2r， a sin A 2r 2 6 ………………17 分
sin A
【说明】该题第（2）问，如果考生运用其他方法，只要步骤合理，请参照标准赋分.
19.解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为 x
轴建立直角坐标系.
(1)设 t 0min时，游客甲位于点 P，因为转盘直径为110m，所以 P 0, 55 ，以OP
π
为终边的角为 ； 根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度为
2
2π π
rad / min，又摩天轮最高点距离地面高度为120m，最低点距离地面高度为
30 15
120 110 10m
π π
由题意可得 A 55， ， ，b 65. ………………4 分
15 2
H 关于 t π π 的函数解析式为H 55sin t 15 2
65,0 t 30 .………………6 分

（2）由（1）可知H 55sin π t π 65,0 t 30， t 10时，
15 2
H 55sin π 10
π
65 92.5 .
15 2
所以，游客甲在开始转动10min后距离地面的高度约为92.5m .………………10 分
4
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2π π
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点 A，B表示，则 AOB ，经过 tmin
48 24
π π π
后甲距离地面的高度为H1 55sin t 65,点 B相对于 A始终落后 ，此时
15 2 24
乙距离地面的高度为H2 55sin
π t π π 65 55sin π t 13π 65
15 2 24 15 24
H2 55sin
π
t
13π
65, 0 t 30……………………………………13 分
15 24
两人距离地面高度相等的时刻，
方法一：甲、乙分别位于最高点的两侧，并且具有对称性的时刻，两人距离地面高度相
2π π
等因为转一周大约需要30min， AOB ，所以甲从最低点开始转动，转过
48 24
π π 49π π 47π ，乙从最低点开始转动，转过 π ，
48 48 48 48
30 1 245
此时时间为 t 15 15.3 .
48 2 16
所以，两人距离地面高度相等的时刻 t约为15.3.……………………………17 分
π π
方法二：即H1 H2 时，即 sin t sin
π t 13π ,0 t 30 ，
15 2 15 24
π t π π t 13π π t 245可得 ，解得 15.3.
15 2 15 24 16
所以，两人距离地面高度相等的时刻 t约为15.3.……………………………17 分
方法三：甲乙距离地面的高度差为
h H H 55 sin π t π π 13π 1 2 sin
t ，0 t 30，
15 2 15 24

利用 sin sin 2sin cos ，可得：
2 2
h H1 H 2 110 sin
π sin π t
π
，0 t 30，48 15 48
当 h 0时， sin π t π
0 π π，由题意可知： t π，
15 48 15 48
解得 t 245 15.3.
16
所以，两人距离地面高度相等的时刻 t约为15.3.…………………………17 分
5
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