课时作业(五)　向量的数量积(一)（含解析）

课时作业(五)　向量的数量积(一)
基础达标
一、单项选择题
1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于( )
A.-3 B.-6
C.6 D.2
2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角。则当小车向前运动10 m时,力F做的功为( )
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
3.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于( )
A.-7 B.7
C.25 D.-25
4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b的值为( )
A.3 B.
C.2 D.
5.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=( )
A.2 B.4
C.6 D.12
二、多项选择题
6.下面给出的关系式中正确的是( )
A.0·a=0 B.a·b=b·a
C.a2=|a|2 D.(a·b)2=a2·b2
7.已知向量a,b和实数λ,下列选项中正确的是( )
A.|a|2=a2
B.|a·b|=|a||b|
C.λ(a+b)=λa+λb
D.|a·b|≤|a||b|
三、填空题
8.已知向量a,b均为单位向量,a·b=,则a与b的夹角为 。
9.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影向量为 。
10.已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,则△ABC的形状是 ,·= 。
四、解答题
11.如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)在上的投影向量的模。
12.如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,且=+。
(1)若=,求x,y的值;
(2)若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,求·的值。
素养提升
13.(多选)下列说法正确的是( )
A.向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B.若a·b<0,则a与b的夹角θ的范围是
C.若△ABC是等边三角形,则,的夹角为60°
D.若a·b=0,则a⊥b
14.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为 。
15.如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°。
(1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量;
(2)求·的取值范围。
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于( )
A.-3 B.-6
C.6 D.2
【答案】B
【解析】a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6。
2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角。则当小车向前运动10 m时,力F做的功为( )
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
【答案】B
【解析】　由题意,根据向量的数量积的定义,可得力F做的功W=F·s=10×10 cos 60°=50(J)。故选B。
3.已知平面上三点A,B,C,满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值等于( )
A.-7 B.7
C.25 D.-25
【答案】D
【解析】由条件知A,B,C三点构成∠ABC=90°的直角三角形,所以原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)=-20cosC-15cosA
=-20×-15×=-16-9=-25。
4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量为b,则a·b的值为( )
A.3 B.
C.2 D.
【答案】B
【解析】设a与b的夹角为θ,因为|a|cosθ=b,所以|a|cosθ=,
所以|a|cosθ=,所以a·b=|a||b|cosθ=3×=。
5.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=( )
A.2 B.4
C.6 D.12
【答案】C
【解析】因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,
所以|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0。
又因为|a|≥0,所以|a|=6。
二、多项选择题
6.下面给出的关系式中正确的是( )
A.0·a=0 B.a·b=b·a
C.a2=|a|2 D.(a·b)2=a2·b2
【答案】ABC
【解析】A,B,C正确,D错误,(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=a2·b2cos2θ≠a2·b2,
θ为向量a与b的夹角。
7.已知向量a,b和实数λ,下列选项中正确的是( )
A.|a|2=a2 B.|a·b|=|a||b|
C.λ(a+b)=λa+λb D.|a·b|≤|a||b|
【答案】ACD
【解析】选项B中,|a·b|=||a||b|cosθ|,其中θ为a与b的夹角。
三、填空题
8.已知向量a,b均为单位向量,a·b=,则a与b的夹角为 。
【答案】
【解析】设a与b的夹角为θ,由题意,知|a|=|b|=1,
所以cosθ==,又因为0≤θ≤π,所以θ=。
9.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影向量为 。
【答案】 b
【解析】设a与b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cos θ=12,
又|b|=5,所以|a|cos θ=,=,即向量a在向量b上的投影向量为b。
10.已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8,则△ABC的形状是 ,·= 。
【答案】 等边三角形 ； -8
【解析】·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,
于是cos∠BAC=,
因为0°<∠BAC<180,所以∠BAC=60。
又AB=AC,故△ABC是等边三角形。
此时AB·BC=||||cos 120°=-8。
四、解答题
11.如图,在 ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)在上的投影向量的模。
【解析】(1)因为∥,且方向相同,
所以与的夹角是0°,
所以·=||||cos 0°=3×3×1=9。
(2)因为∥,且方向相反,
所以与的夹角是180°,
所以·=||||cos 180°
=4×4×(-1)=-16。
(3)因为与的夹角为60°,
所以与的夹角为120°,
所以·=||||cos 120°
=4×3×=-6。
(4)因为与的夹角为60°,而与方向相反,
所以与的夹角为120°,
所以在上的投影向量的模为
||·|cos 120°|=4×=2。
12.如图,在△OAB中,P为线段AB上一点,且=+。
(1)若=,求x,y的值;
(2)若=3,||=4,||=2,且与的夹角为60°,求·的值。
【解析】(1)若=,则=+,
故x=y=。
(2)因为=3,
所以==(-),
所以·=(+)·(-)
=+(-)·(-)
=+·(-)
=--·+
=-×16-×4×2×cos 60°+×4
=-4-2+3=-3,
即·=-3。
素养提升
13.(多选)下列说法正确的是( )
A.向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B.若a·b<0,则a与b的夹角θ的范围是
C.若△ABC是等边三角形,则,的夹角为60°
D.若a·b=0,则a⊥b
【答案】AB
【解析】对于选项A,根据投影向量的定义,知A正确;
对于选项B,因为a·b=|a||b|cos θ<0,则cosθ<0,
又因为0≤θ≤π,所以θ∈,故B正确;
对于选项C,若△ABC是等边三角形,则,的夹角为120°,故C错误;
对于选项D,a·b=0 a⊥b或a=0或b=0,故D错误。
14.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为 。
【答案】90°
【解析】由题意可画出图形,如图所示,在△OAB中,
因为∠OAB=60°,|b|=2|a|,所以∠ABO=30°,OA⊥OB,即向量a与c的夹角为90°。
15.如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°。
(1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量;
(2)求·的取值范围。
【解析】(1)由已知可得=,
四边形OAMB是菱形,则=+,
所以=-=-(+)
=--。
(2)易知∠DMC=60°,且||=||,
那么只需求MC的最大值与最小值即可。
当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=,
则·=××cos 60°=。
当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1,
则·=cos 60°=。
所以·的取值范围为。