课时作业(六)　向量的数量积(二)（含解析）

课时作业(六)　向量的数量积(二)
基础达标
一、单项选择题
1.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为( )
A.45° B.135°
C.120° D.150°
2.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=( )
A.1 B.
C.4+ D.2
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
5.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于( )
A.1 B.2
C.3 D.5
6.已知i与j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪-2,
B.,+∞
C.-2,∪,+∞
D.-∞,
二、多项选择题
7.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是( )
A.a为单位向量 B.b为单位向量
C.a⊥b D.(4a+b)⊥
8.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是( )
A.a+b B.a+b
C.a-b D.(a+b)
三、填空题
9.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 。
10.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a⊥b,则实数k的值为 。
11.已知向量⊥,||=3,则·= 。
四、解答题
12.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值。
13.设e1,e2为两个不共线的向量,且a=e1+λe2,b=2e1-e2。
(1)若a与b共线,求实数λ的值;
(2)若e1,e2为互相垂直的单位向量,且a⊥b,求实数λ的值。
素养提升
14.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
15.已知a,b是单位向量,a·b=0。若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( )
A.[-1,+1] B.[-1,+2]
C.[1,+1] D.[1,+2]
16.如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°。
(1)求||。
(2)已知点D是边AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ。
①当λ=时,求·。
②是否存在非零实数λ,使得⊥ 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由。
参考答案
基础达标
一、单项选择题
1.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为( )
A.45° B.135°
C.120° D.150°
【答案】B
【解析】因为cos θ===-,
又0°≤θ≤180°,所以θ=135°。
2.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=2,a·b=-3,则|a+2b|=( )
A.1 B.
C.4+ D.2
【答案】B
【解析】根据题意,得|a+2b|==。故选B。
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
【答案】C
【解析】因为(2a+b)·b=2a·b+b·b=0,所以a·b=-|b|2。设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,故θ=120°。
4.已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
【答案】D
【解析】由题意,得a·b=|a||b|cos 60°=。
对于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=+2=≠0,故A不符合题意;
对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=1+1=2≠0,故B不符合题意;
对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-≠0,故C不符合题意;
对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0,所以(2a-b)⊥b。故选D。
5.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b等于( )
A.1 B.2
C.3 D.5
【答案】A
【解析】|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10　①,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6　②,
由①-②,得4a·b=4,所以a·b=1。
6.已知i与j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪-2,
B.,+∞
C.-2,∪,+∞
D.-∞,
【答案】A
【解析】因为i与j为互相垂直的单位向量,所以i2=j2=1,i·j=0。
又因为a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,所以a·b=1-2λ>0,
但当λ=-2时,a=b,不满足题意,
故满足条件的实数λ的取值范围是(-∞,-2)∪-2,。故选A。
二、多项选择题
7.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是( )
A.a为单位向量 B.b为单位向量
C.a⊥b D.(4a+b)⊥
【答案】AD
【解析】因为等边三角形ABC的边长为2,=2a,所以||=2|a|=2,所以|a|=1,故A正确;
因为=+=2a+,所以=b,所以|b|=2,故B错误;
由于=2a,=b,所以a与b的夹角为120°,故C错误;
又因为(4a+b)·=4a·b+|b|2=4×1×2×+4=0,所以(4a+b)⊥,故D正确。故选AD。
8.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是( )
A.a+b B.a+b
C.a-b D.(a+b)
【答案】CD
【解析】由两个单位向量a,b的夹角为60°,得：
|a-b|====1,
所以向量a-b是单位向量,C正确。同理计算知D正确,A,B不正确。
三、填空题
9.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=1,则向量a与a-b的夹角为 。
【答案】
【解析】|a-b|===,
设向量a与a-b的夹角为θ,则cos θ===,
又θ∈[0,π],所以θ=。
10.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a⊥b,则实数k的值为 。
【答案】
【解析】由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0。整理,得k-2+(1-2k)cos=0,解得k=。
11.已知向量⊥,||=3,则·= 。
【答案】9
【解析】因为⊥,所以·=·(-)=·-=·-9=0,即·=9。
四、解答题
12.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=,求:
(1)a与b的夹角;
(2)a-b与a+b的夹角的余弦值。
【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=,
又|a|=1,所以|b|2=,所以|b|=。
设a与b的夹角为θ,
则cos θ===,
因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°,
所以a与b的夹角为45°。
(2)因为|a-b|==
==,
|a+b|==
==,
设a-b与a+b的夹角为α,
则cos α===。
所以a-b与a+b的夹角的余弦值为。
13.设e1,e2为两个不共线的向量,且a=e1+λe2,b=2e1-e2。
(1)若a与b共线,求实数λ的值;
(2)若e1,e2为互相垂直的单位向量,且a⊥b,求实数λ的值。
【解析】(1)由a与b共线可知,存在实数μ,使得a=μb,
即e1+λe2=2μe1-μe2,
故μ=,λ=-。
(2)由a⊥b得a·b=0,即(e1+λe2)·(2e1-e2)=0,化简得2|e1|2=λ|e2|2,则λ=2。
素养提升
14.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因为(-)·(+-2)=0,即·(+)=0,
又因为-=,所以(-)·(+)=0,即||=||,
所以△ABC是等腰三角形。
15.已知a,b是单位向量,a·b=0。若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( )
A.[-1,+1] B.[-1,+2]
C.[1,+1] D.[1,+2]
【答案】A
【解析】因为a,b是单位向量,所以|a|=|b|=1。
又|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1,
因为|a|=|b|=1,且a·b=0,所以2c·(a+b)=c2+1,|a+b|=,
所以c2+1=2|c|cos θ(θ是c与a+b的夹角)。
又-1≤cos θ≤1,1≤c2+1≤2|c|,所以c2-2|c|+1≤0,解得-1≤|c|≤+1。
16.如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°。
(1)求||。
(2)已知点D是边AB上一点,满足=λ,点E是边CB上一点,满足=λ。
①当λ=时,求·。
②是否存在非零实数λ,使得⊥ 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由。
【解析】(1)因为=-,且=4,=1,·=2×1×cos 60°=1,
所以||=|-|===。
(2)①当λ=时,=,=,
所以D,E分别是边AB,BC的中点,
所以=+=+,=(+),
所以·=·(+)
=·+·+·+
=-×12+×1×2×cos 120°+×2×1×cos 60°+×22=。
②存在。
假设存在非零实数λ,使得⊥,
由=λ,得=λ(-),
所以=+=+λ(-)
=λ+(1-λ)。
因为=λ,
所以=+=(-)+λ(-)=(1-λ)-。
所以·=λ(1-λ)-λ·+(1-λ)2·-(1-λ)
=4λ(1-λ)-λ+(1-λ)2-(1-λ)
=-3λ2+2λ=0,
解得λ=或λ=0(不合题意,舍去)。
故存在非零实数λ=,使得⊥。