课时作业(八) 平面向量的正交分解及坐标表示（含解析）

课时作业(八)　平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
基础达标
一、单项选择题
1.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为( )
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
2.已知向量=(2,4),=(0,2),则=( )
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
3.在如图所示的平面图形中,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b-c可表示为( )
A.e1-2e2
B.-e1+2e2
C.3e1-2e2
D.3e1+2e2
4.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是( )
A.,- B.-,
C.-, D.,-
5.在 ABCD中,A(1,2),B(3,5),=(-1,2),则+=( )
A.(-2,4) B.(4,6)
C.(-6,-2) D.(-1,9)
6.已知i,j分别是方向与x轴正方向,y轴正方向相同的单位向量,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a位于( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第三象限 D.第四象限
二、多项选择题
7.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是( )
A.=2i+3j B.=3i+4j
C.=-5i+j D.=5i+j
8.已知=(-2,4),则下面说法正确的是( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,A点的坐标是(2,-4)
D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)
三、填空题
9.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则-的坐标是 。
10.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为 。
11.已知A(2,3),B(1,4),且=(sinα,cosβ),α,β∈-,,则α+β= 。
四、解答题
12.已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°。
(1)求向量的坐标;
(2)若B(,-1),求的坐标。
13.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2)。
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足=λ(λ∈R),求实数λ与y的值。
素养提升
14.已知在非平行四边形ABCD中,AB∥DC,且A,B,D三点的坐标分别为(0,0),(2,0),(1,1),则顶点C的横坐标的取值范围是 。
15.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u)表示。
(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标。
参考答案
基础达标
1.【答案】C
【解析】记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=-=2i-j。故选C。
2.【答案】D
【解析】=(-)=(-2,-2)=(-1,-1)。故选D。
3.【答案】A
【解析】由题图可知a=c=e1+2e2,b=e1-2e2,所以a+b-c=b=e1-2e2。故选A。
4.【答案】A
【解析】因为与同向的单位向量为,
=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),||==5,
所以=,-。故选A。
5.【答案】A
【解析】在 ABCD中,因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3)。
又=(-1,2),所以=+=(1,5),=-=(-3,-1),
所以+=(-2,4)。故选A。
6.【答案】D
【解析】x2+x+1=+>0,-(x2-x+1)=--<0。
7.【答案】AC
【解析】=2i+3j,故A正确。=-3i+4j,故B错误。=-5i+j,故C正确,D错误。
8.【答案】CD
【解析】由向量的坐标表示方法可知,当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)。
反之,A点坐标为(2,-4)。
9.【答案】(-3,6)
【解析】由已知得=(-10,14),=(-8,4),则-=(-10,14)-(-8,4)=(-3,6)。
10.【答案】4
【解析】以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系,
则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),
根据c=λa+μb,得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),有-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,
解得λ=-2且μ=-, 故=4。
11.【答案】 或-
【解析】因为=(-1,1)=-,=(sinα,cosβ),所以sinα=-且cosβ=,
因为α,β∈-,,所以α=-,β=或-,所以α+β=或-。
12.【解析】(1)设点A(x,y),则x=4cos 60°=2,y=4sin 60°=6,
即A(2,6),=(2,6)。
(2)=(2,6)-(,-1)=(,7)。
13.【解析】(1)设B(x1,y1),因为=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3),
所以解得所以B(3,1)。
同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),
则x2==-,y2==-1,所以M-,-1。
(2)因为=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
又=λ(λ∈R),所以(1,1-y)=λ(-7,-4)=(-7λ,-4λ),
所以解得
素养提升
14. 【答案】 (1,3)∪(3,+∞)
【解析】当四边形ABCD为平行四边形时,则=+=(2,0)+(1,1)=(3,1),
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3,+∞)。
15.【解析】(1)由v=f(u)可得,
当u=(x,y)时,有v=(y,2y-x)=f(u),
从而f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),
f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1)。
(2)设c=(x1,y1),则f(c)=(y1,2y1-x1)=(4,5),
所以解得即c=(3,4)。