高一数学参考答案
一 单项选择题：
二、多项选择题：
5
三、填空题：75° 3
2
四、解答题：
15.解：(1) ∵ | | = 3，| | = 5，| + | = 7，
∴ | + |2 = ( )2 + ( )2 + 2 = | |2 + | |2 + 2| || | = 9 + 25 + 30 = 49，
∴ = 12，
∵ 0° ≤ ≤ 180°，∴ = 60°；
(2) ∵向量 + 与 2 垂直，∴ ( + )·( 2 ) = 0，
∴ | |2 2| |2 + (1 2 )| || | = 0，即 9 50 + (1 2 ) × 3 × 5 × 12 = 0，
解得 = 8512．
16.解：(1) = (1 + )2 + 2 1 = 2 + (1 + ) = 1 + 3 ，
| | = ( 1)2 + 32 = 10.
(2)由 2 + + = 2 + 3 得：
( 1 + 3 )2 + ( 1 3 ) + = 2 + 3 ，即( 8 + ) + ( 6 3 ) = 2 + 3
8 + = 2 = 3
所以 6 3 = 3 ，解之得 = 7 ．
17.解：(1)因为 = ，根据正弦定理得 = ，
又 ≠ 0，从而 = 1，
由于 0 < < ，所以 = 4．
(2)根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，而 = 13， = 2 2， = 4，
代入整理得 2 4 5 = 0，解得 = 5 或 = 1(舍去)．
1
故△ 的面积为 1 2 = × 5 × 2 2 × = 5．
2 2 2
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{#{QQABJQQEggioQJJAARgCQQFQCAEQkBECCCoGQAAIMAIBCRNABAA=}#}
18.解：(1)因为 = 1 + ，∴ = 1 ，
∴ · 3 + = 1 · 3 + = 3 + + 1 3 ，
3 + = 0
又∵ · 3 + 为纯虚数，∴ 1 3 ≠ 0 , ∴ = 3．∴ = 1 3 ，
∴ = 12 + 3 2 = 10；
2023
(2) = = = + 1+3 = 3 + 3 +1 1 1 3 1 3 1+3 10 ，
因为复数 1所对应的点在第二象限，
∴ 3 < 0 13 + 1 > 0，解得 3 < < 3，
1
即实数 的取值范围为 3 , 3 ．
19.解：(1)由条件③得 2cos2 + cos 1 = 0，
1
解得 cos = 2或 cos = 1(舍)，
因为 ∈ 0, ，所以 = ；
3
a2+c2 b2 2 3 1 3
由条件④得 cos = 2ac = 3 ac × 2ac = 3 ，
因为 cos = 3 < 13 2 = cos
2π
3， ∈ 0, ，
2π
而 = cos 在 0, 单调递减，所以 < < ．
3
π 2π
于是 + > 3+ 3 = ，与 + < 矛盾．所以△ 中③④不能同时成立．
(2)因为△ 同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解
的所有组合为①②③或①②④．
a b 3 2
若选择组合①②③：有 = ，即 = ，sin = 1，
sinA sinB 3 sinB
2
因为 ∈ 0, ，所以 = 2，△ 为直角三角形，所以 = 2
2 ( 3)2 = 1，
所以△ 1 3的面积 = 2 × 1 × 3 = 2 ．
若选择组合①②④：
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{#{QQABJQQEggioQJJAARgCQQFQCAEQkBECCCoGQAAIMAIBCRNABAA=}#}
由 2 = 2 + 2 2 cos ，即 2 + 2 = 1，解得 = 2 1，
2
因为 ∈ 0, ，所以 sin = 1 cos2 = 1 33 =
6
3 ，
△ = 1 1所以 的面积 2 sin = 2 × 3 × ( 2 1) ×
6 2 2
3 = 2 ．
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{#{QQABJQQEggioQJJAARgCQQFQCAEQkBECCCoGQAAIMAIBCRNABAA=}#}武强中学 2023—2024 学年度下学期期中测试
高一数学试题
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是
( )
A. B. C. D.
2.已知 = 2 ，则 ( + ) =( )
A. 6 2 B. 4 2 C. 6 + 2 D. 4 + 2
3.如图， 中， 是 的中点，若 = ， = ，
则 =( )
1 1
A. B. + C. + 1 b D. 1 b 2 2 2 2
4.在△ 中，若 = 1， = 60°，△ 的面积为 3，则 =( )
A. 13 B. 13 C. 2 D. 2
5.已知| | = 2，向量 在向量 上的投影数量为 3，则 与 的夹角为 ( )
π π 2π π
A. B. C. D.
3 6 3 2
6.如图正方形 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面
积为 ( )
A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2(1 + 2)
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{#{QQABJQQEggioQJJAARgCQQFQCAEQkBECCCoGQAAIMAIBCRNABAA=}#}
7.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 + = ，△
的面积 = 34 (
2 + 2 2)，则 = ( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
8.已知 是边长为 2的等边三角形， 为平面 内一点，则 ( + )的最小值
是 ( )
4 3
A. 2 B. C. D. 1
3 2
二 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 .已知复数 = 1 + 3 ， 为 的共轭复数，复数 = ，则下列结论正确的是( )
A. 对应的点在复平面的第二象限 B. | | = 1
C. 的实部为 D. 的虚部为 3
10.如果平面向量 = (2, 4)， = ( 6,12)，那么下列结论中正确的是 ( )
A. | | = 3| | B. //
C. 与 的夹角为 30° D. 在 方向上的投影向量为 2,4
11.在△ 中，下列命题正确的是 ( )
A. 若 > ，则 sin > sin
B. 若 sin2 = sin2 ，则△ 定为等腰三角形
C. 若 cos cos = ，则△ 定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是 3: 5: 7，则此三角形的最大角为钝角
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 60°， = 6， = 3，则 = ．
13.水平放置的△ 的斜二测直观图如图所示，已知 ′ ′ = 3， ′ ′ = 2，则
边上的中线的实际长度为 ．
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{#{QQABJQQEggioQJJAARgCQQFQCAEQkBECCCoGQAAIMAIBCRNABAA=}#}
14.如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为
1，1， 2， 与 的夹角为 ，且 = 7， 与 的
夹角为 45°.若 = + ( , ∈ )，则 + = ．
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明
过程或演算步骤.
15.(本小题 13分)
已知| | = 3，| | = 5，| + | = 7．
(1)求向量 与 的夹角 ；
(2)当向量 + 与 2 垂直时，求实数 的值．
16.(本小题 15分)
2
已知：复数 = 1 + 2 + ，其中 为虚数单位．
(1)求 及| |；
(2)若 2 + + = 2 + 3 ，求实数 ， 的值．
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{#{QQABJQQEggioQJJAARgCQQFQCAEQkBECCCoGQAAIMAIBCRNABAA=}#}
17.(本小题 15分)
△ 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，已知 = ．
(1)求 ；
(2)若 = 13， = 2 2，求△ 的面积．
18.(本小题 17分)
已知复数 = 1 + ( 是虚数单位， ∈ )，且 (3 + )为纯虚数( 是 的共轭复数)
(1)求实数 及 ；
(2)设复数 1 = ，且复数 1对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17分)
在△ 中，角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，现有下列四个条件：
① = 3；② = 2；③cos2 + cos = 0；④ 2 + 2 2 = 2 33 ．
(1)③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)已知△ 同时满足上述四个条件中的三个，请选择使△ 有解的三个条件，求
△ 的面积．
注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分．
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