2023-2024学年河南省漯河市高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省漯河市高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.可以表示为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.书架上有不同的语文书本，不同的英语书本，不同的数学书本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.函数在区间上的( )
A. 最小值为，最大值为 B. 最小值为，最大值为
C. 最小值为，最大值为 D. 最小值为，最大值为
5.现有种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
6.若在处有极值，则函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7.在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知为定义在上的偶函数，已知，当时，有，则使成立的的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有，，，条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是( )
A. 从东面上山有种走法 B. 从西面上山有种走法
C. 从南面上山有种走法 D. 从北面上山有种走法
10.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 为函数的单调递减区间
B. 为函数的单调递增区间
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极小值
11.有名同学参加个智力竞赛项目，则下列说法正确的是( )
A. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有种不同的报名方案
B. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有种不同的报名方案
C. 每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有种不同的报名方案
D. 每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有种不同的报名方案
12.已知函数为常数，则下列结论正确的有( )
A. 时，恒成立
B. 时，是的极值点
C. 若有个零点，则的范围为
D. 时．有唯一零点且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有______条用数值表示
14.已知命题：，命题：函数有极小值点，则是的______条件填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一．
15.已知，则 ______．
16.若直线与曲线和均相切，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列函数的导数：
；
．
18.本小题分
已知函数．
的单调区间．
函数在区间上的最大、最小值．
19.本小题分
某学校共有人自愿组成数学建模社团，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人．
每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法？
选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
作答要求：除了写清楚列式计算的步骤，还需要写清楚文字说明
20.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程；
若时，恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
用，，，，，十个数字可组成多少个不同的．
三位数？
无重复数字的三位数？
小于且没有重复数字的自然数？
22.本小题分
已知函数在定义域上有两个极值点，．
求实数的取值范围；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，解得．
故选：．
利用排列数公式化简建立方程即可求解．
本题考查了排列数公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，则．
故选：．
根据求导公式计算即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，任选一本阅读，包括种情况：
一本语文有种取法，
一本数学有种取法，
一本英语有种取法，
则不同的选法有种；
故选：．
根据题意，按选出科目的不同分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为．
故选：．
先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，
对于区域，有种颜色可选，
对于区域，与区域相邻，有种颜色可选，
对于区域，与区域、相邻，有种颜色可选，
对于区域，与区域、相邻，有种颜色可选，
则一共有种着色方法；
故选：．
根据题意，依次分析个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．
6.【答案】
【解析】解：由得，，
解得，
故，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故函数的单调递增区间是．
故选：．
由求得，结合导数正负可求的单调递增区间．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分步乘法和分类加法计数原理，属于中档题．
由题意分千位数为，百位数为；千位数为，百位数为；千位数为，百位数为；千位数为；千位数为五种情况分析求解即可．
【解答】
解：若这个数的千位数为，百位数为，则这个数可以是，，共个，
若这个数的千位数为，百位数为，则这个数的个位只能是，满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，百位数为，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，这个数的个位只能是，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，则满足条件的数共有个，
故满足条件的数共有个．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：令，，
函数为定义在上的偶函数，
，即，
函数为偶函数，
当时，，
函数在上为减函数，且，
由得，则，
，解得或，
故使成立的的取值范围为．
故选：．
令，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，由可得出，可得出，可得出关于的不等式，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若从东面上山，上山的路条，下山的路有条，则有条，A正确；
对于，若从西面上山，上山的路条，下山的路有条，则有条，B正确；
对于，若从南面上山，上山的路条，下山的路有条，则有条，C错误；
对于，若从北面上山，上山的路条，下山的路有条，则有条，D正确；
故选：．
根据题意，由分步计数原理依次分析选项，综合可得答案．
本题考查分步、分类计数原理的应用，注意分类、分步计数原理的不同，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，时，，
所以为函数的单调递减区间，故A正确；
由图象可知，时，，
所以为函数的单调递减区间，故B错误；
由图象可知，，
且当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极大值，故C正确；
由图象可知，，故不是函数的极值点，故D错误．
故选：．
对于选项，利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断；对于选项，利用函数的极值点的定义判断．
本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：若每人报名参加一项，每项的人数不限，则每个人有个结果，则共有种不同的方案，故A正确，B错误，
若每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则每项个人可报共有种，故C正确，
若每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则只能有个人参加，则有种，故D正确，
故选：．
根据分步计数原理分别进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列组合公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，当时，，令，，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，，故A错误；
对于，当时，，，令，，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，无极值，故B错误；
对于，令，当时，显然，故不是函数的零点，当时，则，记，则，
令得或，故在，单调递增，在单调递减，且，且当和时，，故有个零点，则的范围为，C正确，
对于，当时，，，令，，，则，在上单调递增，在上单调递减，故，在上单调递增，则此时至多只有一个零点，
又，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，满足，选项D正确．
故选：．
对于，将和代入，判断函数的单调性，即可求解，对于，将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性即可求解；对于，将代入，利用零点存在性定理判断即可．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：若直线方程经过坐标原点，则，那么，任意取两个即可，有，
故答案为：．
先根据条件知道，再根据计算原理计算即可．
本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用．
14.【答案】充要
【解析】解：因为函数有极小值点，
所以，
所以，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以当时，取极小值；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以当时，取极大值，不合题意，
综上所述，．
所以是的充要条件．
故答案为：充要．
根据条件函数有极小值点，则，求出，检验是不是函数的极小值点，即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的极值，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，
所以．
故答案为：．
利用基本初等函数的求导公式及加法运算法则计算即可．
本题考查导数的计算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
则函数在点处切线方程为，
即：，
函数在点处切线方程为：，
即：，
直线：既是曲线的切线，也是曲线的切线，
，
消去得，
即，
或，
若，则，此时直线的方程：；
若，则，此时直线的方程：舍去．
综上所述：直线方程为．
故答案为：．
利用函数在某一点处的导数值即为函数在该点处切线的斜率，结合两切线为同一条直线联立方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：，；
，．
【解析】按照导数运算法则和复合函数的求导法则求导即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
由知函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值，
当时，函数取得最大值，最大值，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数的单调区间；
结合中所得函数的单调区间，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：根据题意，分步进行分析：
从高一学生中选出人，有种选法；
从高二学生中选出人，有种选法；
从高三学生中选出人，有种选法．
由分步乘法计数原理可得，共有种选法．
根据题意，分种情况讨论：
选出的是高一、高二学生，有种选法；
选出的是高一、高三学生，有种选法；
选出的是高二、高三学生，有种选法．
由分类加法计数原理可得，共有种选法．
【解析】根据题意，依次分析从高一、高二、高三学生中选出人的选法，由分步计数原理计算可得答案；
根据题意，按选出个学生来自的年级分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
20.【答案】解：当时，，，
则，，
所以在处的切线方程为，即；
，
又，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得，
即实数的取值范围为．
【解析】将代入函数解析式，利用导数的几何意义即可得解；
对函数求导，求出其单调性，进而得到其最小值，再根据题意即可得解．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：百位不能为，有种选法，十位和个位各有种选法，
故有种，．
百位上的数字有种选法，
十位上的数字有除百位上的数字以外的种选法，
个位上的数字应从剩余个数字中选取，
所以共有个无重复数字的三位数．
满足条件的一位自然数有个，
两位自然数有个，
三位自然数有个，
由加法计数原理知共有个小于且无重复数字的自然数．
【解析】分别根据分步计数原理可求出，，根据分类计数原理可可求出．
本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：由已知，
因为函数在定义域上有两个极值点，，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
由得，，
即两个极值点，为方程的两根，
则，
所以
，
代入得，其中，
则，得，
设，，
则，
当时，，即在上单调递增，
又，
所以．
【解析】求导，然后利用判别式以及韦达定理求解；
计算，然后代入，的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
第1页，共1页