2023-2024学年江苏省徐州市沛县湖西中学高二（下）第一次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省徐州市沛县湖西中学高二（下）第一次调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则( )
A. B. C. D.
2.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
4.如图，在正方体中，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线，的方向向量分别为，，若，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.第十三届冬残奥会于年月日至月日在北京举行．现从名男生，名女生中选人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有名女生被选中，则不同的选择方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如图，各棱长都为的四面体中，，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 若两条不重合的直线，的方向向量分别是，则
B. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
C. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
D. 若两个不同的平面，的法向量分别是，则
10.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子现将个红色的“将”“车”“马”棋子与个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是( )
A. 共有种排列方式．
B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式．
C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式．
D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式．
12.如图，正方体的棱长为，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，下列说法正确的是( )
A. 若点是线段的中点，则
B. 若点是线段的中点，则平面
C. 若平面，则点轨迹在正方形内的长度为
D. 若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.向量，且，则______．
14.如图，用四种不同的颜色分别给，，，四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______用数字作答．
15.如图：二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，，，则的长等于______．
四、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，那么______．
17.本小题分
年冬奥会在我国北京举行．小张欲在比赛开幕后前往现场观看，已知小张喜欢观看的滑雪项目有种，喜欢观看的滑冰项目有种．
任何两个滑冰项目不相邻的排法有多少种？不必用数字作答
滑雪项目与滑冰项目间隔排列的方法有多少种？不必用数字作答
18.本小题分
已知，．
求；
当时，求实数的值．
19.本小题分
如图，正四面体四个面都是正三角形的棱长为，是棱的中点，点满足，点满足．
用向量表示；
求．
20.本小题分
如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点．
求证：；
求直线和之间的距离．
21.本小题分
已知，分别是正方体的棱和的中点，求：
与所成角的大小；
与平面所成角的正弦值；
二面角的余弦值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，．
求证：平面平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求到平面的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
利用空间向量的坐标表示，求出的坐标，再利用空间向量模的坐标计算公式求解即可．
本题考查了空间向量的坐标表示，空间向量模的坐标计算公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
【解答】
解：因为点，，
所以，
则．
故答案选：．
2.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，
则只需对剩下人全排即可，
则不同的排法共有，
故选：．
由已知可得只需对剩下人全排即可．
本题考查了排列组合的简单计数的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，为中点，
所以，，
所以
，
故选：．
由已知可得，，然后根据三角形法则化简即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
因为点满足，不妨令，则有，，，，
，，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故选：．
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
本题考查了异面直线及其所成的角，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：直线，的方向向量分别为，，，
，解得．
故选：．
利用直线与直线垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：连接，与面与面分别交于，．
平面，，又，平面，
同理可证，又，面；
同理可证，面D.为平面与平面的距离
为正三角形，边长为，三棱锥为正三棱锥，为的中心，
，同理求出，又，
故选：．
连接，可以证明与面与面都垂直，设分别交于，，为平面与平面的距离．可求，从而
本题考查平行平面的距离计算，采用了间接法，转化为点面距离．本题中蕴含着两个结论平面与平面D.平面与平面，将体对角线分成三等分．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了排列与组合的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由题意分类讨论：有一名女生和没有女生的选法，利用排列与组合的意义即可得出结论．
【解答】
解：由题意有一名女生的选法有，没有女生的选法有，
因此至多有名女生被选中，则不同的选择方案共有，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意可知，夹角，夹角，夹角均为，
，
，
各棱长都为的四面体中，
，
．
故选：．
由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，两条不重合的直线，的方向向量分别是，
，，故A正确；
对于，直线的方向向量是，平面的法向量是，
，，故B正确；
对于，直线的方向向量是，平面的法向量是，
，，故C正确；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，
，，故D正确．
故选：．
对于，，从而；对于，，从而；对于，，从而；对于，，从而．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
利用共面向量定理直接求解．
本题考查共面向量的判断，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：构成空间的一个基底，
对于，，，，共面，故A正确；
对于，，，，共面，故B正确；
对于，，，不能共面，故C错误；
对于，，，，共面，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：：个棋子全排共有种排列方法，故A正确；
：先将两个“将”捆绑，再和剩下个棋子全排共有种排列方法，故B错误；
：先全排除了两个“将”剩下的个棋子，然后再将两个“将”插空共有种排列方法，故C正确；
：先将三个红色棋子全排，再在中间两个空排上黑色棋子共有种排列方法，故D正确．
故选：．
：个棋子全排即可判断；：先将两个“将”捆绑，再和剩下个棋子全排即可判断；：先全排除了两个“将”剩下的个棋子，然后再将两个“将”插空，由此即可判断；：先将三个红色棋子全排，再在中间两个空排上黑色棋子，由此即可判断．
本题考查了排列组合的简单计数，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间中的位置关系，空间中的轨迹问题等知识，属于中等题．
取中点，中点，证明后可判断；建立空间直角坐标系，用空间向量法证明线面垂直判断；过点找到与平面的平行截面得点轨迹，计算长度后判断；确定在平面上点的轨迹判断．
【解答】
解：如图，取中点，中点，连接，，，
与平行且相等，则是平行四边形，，
又由与平行且相等得平行四边形，，，
而与相交，因此与不平行，错；
B.建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，，
是平面的一个法向量，平而，B正确；
C.在选项A基础上，取中点，连接，，，，，，，
由得，，，四点共面，
由与与平行且相等，得平行四边形，，
又平面，平面，
平面，同理平面，
，，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，且平面，
，即线段为点轨迹，在正方形中易得，C正确；
D.由平面，平面，得，
在平面内，到点的距离等于它到直线的距离，其轨迹是抛物线，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：向量，且，
，解得，，
，
则．
故答案为：．
利用向量垂直和向量平行的性质列方程求出，，利用向量坐标运算法则求出，由此能求出．
本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由已知按区域分四步：第一步区域有种选择，第二步区域有种选择，
第三步区域有种选择，第四步区域也有种选择，
则由分步计数原理可得共有种，
故答案为：．
由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解．
本题考查了排列组合的简单计数原理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，二面角等于，
可得向量，
因为，可得，
所以
．
故答案为：．
由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解．
本题考查了空间向量数量积的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
，．
化为：，
解得．
故答案为：．
利用组合数的计算公式即可得出．
本题考查了排列组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：先排滑雪项目，然后将滑冰项目插入即可，种；
滑雪和滑冰项目交叉，即：种．
【解析】将滑雪项目全排列，然后将滑冰项目插入，即可解出；
滑雪项目和滑冰项目进行交叉排列，即可解出．
本题考查了排列组合，学生的数学运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：，，
，，
；
，，
，，
，
，即，
解得或．
【解析】先求出向量，的坐标，再利用空间向量数量积的坐标运算法则求解；
先求出向量，的坐标，由可得，，再利用空间向量数量积的坐标运算法则即可求出的值．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
19.【答案】解：是棱的中点，点满足，点满足，
；
四面体是正四面体，正四面体四个面都是正三角形的棱长为，
，，
，同理可得，，
，解得．
【解析】根据空间向量的线性运算即可求解；
先计算，再开方即可求解．
本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
20.【答案】证明：以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，
所以，所以，
由题意知，，，不共线，故EF；
解：由知点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离．
方法一：设在平面内与直线垂直的向量为，
则由可得，
由与，共面可知，存在实数，，使得，
因为，，
所以，
即，所以，
令，且，则，，所以，
故点到直线的距离为，
即两条平行线和之间的距离为．
方法二：连接，则，，
记，
则，，，
所以，所以，
故点到直线的距离为，
即两条平行线和之间的距离．
【解析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出，利用向量的共线证明结论；
方法一：设在平面内与直线垂直的向量为，求出的坐标，利用空间距离的向量求法可得答案；
方法二：记，求出，利用点到直线的距离为，即可求得答案．
本题考查直线与直线平行的证明和两平行直线之间的距离的求法，属于中档题．
21.【答案】解：以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，，，，
因为，，
所以，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，
所以与所成角的大小为．
由正方体的性质知平面，所以平面的一个法向量为，
因为，
设与平面所成角为，
则，，
故A与平面所成角的正弦值为．
由正方体的性质知，平面，平面，
所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法逐一求异面直线夹角，线面角，二面角，即可得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法求空间角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：证明：连接，，交于点，
在平面内，，，，
∽，
，，，，
，又，，，，
，，
，，，
又平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面．
平面，，平面，，，
又，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，，
，
平面的法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为，，
解得，
，，
，
，
，，
，
设到平面的距离为，
由，得，
解得，
到平面的距离为．
【解析】先证明，继而可证明平面，根据面面垂直的判定定理能证明平面平面；
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出到平面的距离．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、点到平面的距离、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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