2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高二（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年重庆市缙云教育联盟高二（下）质检数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.一个口袋中装有个白球和个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若个正数之和为，且依次成等差数列，则公差的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.，对，不等式恒成立，则正整数的最大值与最小值之和为( )
A. B. C. D.
7.设函数在上存在导数，对任意都有，且在上，，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则的值是( )
A. B. C. D.
10.排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用局胜制在每局比赛中，发球方赢得此球后可得分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得分在决胜局第五局采用分制，某队只有赢得至少分，并领先对方分为胜现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是( )
A. 已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以：或：的比分赢得比赛
B. 若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是
C. 已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为
D. 已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局第五局中，两队当前的得分为甲、乙各分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为或
11.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列，，，，，，，数列中的每一项称为斐波那契数，记作已知则( )
A.
B.
C. 若斐波那契数除以所得的余数按照原顺序构成数列，则
D. 若则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为______．
14.已知函数在上单调递减，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
各项均不为的数列对任意正整数满足：．
若为等差数列，求；
若，求的前项和．
16.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求的值；
求的单调区间和极值．
17.本小题分
已知二项式．
若，，求二项式的值被除的余数；
若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项．
18.本小题分
某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自，，三所学校，其中来自校的学生人数为该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长分钟，面试完成后自行离场．
求面试号码为的学生来自校的概率．
若，，且，两所学校参加面试的学生人数比为：，求校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试校所有参加面试的学生完成面试后，，两校都还有学生未完成面试的概率．
记随机变量表示最后一名校学生完成面试所用的时长从第名学生开始面试到最后一名校学生完成面试所用的时间，是的数学期望，证明：．
19.本小题分
在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用设，是两个正整数，若，的最大公约数是，则称，互素对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为．
试求，，，的值；
设是一个正整数，，是两个不同的素数试求，与和的关系；
算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥具体而言：
准备两个不同的、足够大的素数，；
计算，欧拉函数；
求正整数，使得除以的余数是；
其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某加密算法中公布的公钥是若满足题意的正整数
从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前项和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数，集合，，
，
，
．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：设“第一次摸出的是白球”，“第二次摸出的是白球”，
则．
故选：．
根据古典概型和独立事件概率公式计算即可．
本题考查古典概型，考查相互独立事件的概率公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：观察图象可知，该函数在上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．
所以各点处的导数在上处处为正，且逐渐减小，所以故，
而，表示的连接点与点割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则根据刚才的分析，必有：．
故选：．
观察图象及导数的几何意义得：，即函数在上增长得越来越慢，所以导数值为正，且绝对值越来越小，故，同时根据割线的性质，一定可以在之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率，即其导数值等于割线的斜率，由此可得结论．
本题考查了函数的导数与函数单调性的关系，以及割线与切线间的关系，要注意数形结合来解题．
4.【答案】
【解析】解：设个正数组成数列，
则，，
则，解得．
公差的取值范围是
故选：．
先求出，再由个数均为正数，列的不等式求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：令，
则，
因为，，
所以，所以函数为减函数，
所以，即，
所以．
故选：．
构造函数，求出导函数，结合已知判断函数的单调性，从而可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：由在上恒成立，可得，
即在上恒成立，
只需求出的最小值，的最大值．
设，
则，
在上单调递减，得．
再设，
易得在上单调递减，
，故有．
若存在，则必有，即，
又，且为整数，故，，满足要求，的整数都不成立，
故整数的最大值为，最小值为，
最大值与最小值之和为．
故选：．
将在上恒成立，转化为在上恒成立求解．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则、函数的奇偶性与单调性、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
令，可得，因此，是上的偶函数．在上，，可得函数在上单调递增，在上单调递减．再利用函数的奇偶性与单调性即可得出．
【解答】
解：令，
则．
，即是上的偶函数．
在上，，因此函数在上单调递增，在上单调递减．
若，
即，
，，
，
，
解得或．
实数的取值范围是．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：不妨设，，，
其中，则，，，
令，则，
其中，设，
求导得，
所以在时单调递减，
所以，
所以，令，
求导得，
所以在时单调递增，
所以，所以．
综上所述有．
故选：．
构造函数，，作差然后换元，最后求导利用函数单调性即可比较大小．
本题考查构造函数比较数的大小，有时候当作差比较大小时计算量比较大，我们应该转换一种思路用作商来和比较大小，考查导数的综合应用，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，
则或，
即或，
故选：．
由组合及组合数的运算可得：或，然后求解即可．
本题考查了组合及组合数的运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A：若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，
则甲队将以：或：的比分赢得比赛，故A正确；
对于选项B：甲队赢得整场比赛的概率是：
，故B错误；
对于选项C：若甲队以：的比分赢得比赛，则第局甲赢，
若甲队以：的比分赢得比赛，则第局乙赢，第局甲赢，
所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，故C错误；
对于选项D：若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．
在第五局中，两队当前的得分为各分，若两队打了个球后甲赢得整场比赛，
所以甲接下来可以以：或：赢得比赛，则的取值为或，故D正确．
故选：．
对于选项A：由题意易得要使甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以：或：的比分赢得比赛；对于选项B：甲队要赢得整场比赛，比分可能为：，：，：，分别计算概率求和即可判断；对于选项C：要使甲队最后赢得整场比赛，则甲队可能以：或：的比分赢得比赛，计算概率求和即可判断；对于选项D：两队打了个球后甲赢得整场比赛，所以甲接下来可以以：或：赢得比赛，进而判断答案．
本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，斐波那契数列，，，，，，，，，，，，，，A错误；
对于，，B正确；
对于，由斐波那契数除以所得的余数按照原顺序构成数列，
因为，，，，，，
根据数列的性质以及的定义可得，
，，，，，．
同理可推得，当时，有，，，，，，
所以是以为最小正周期的数列，又因为，
，，C正确；
对于，由斐波那契数列性质，，
．
可知
，D错误．
故选：．
，，结合递推公式，写出前项即可；，是以为最小正周期的数列；，结合递推公式迭代即可．
本题考查斐波那契数列的运用，以及数列的周期性和累加法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由函数，可得，则，
故曲线在点处的切线方程为：，即．
故答案为：．
根据题意，结合导数的几何意义，即可求解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，，
所以所求切线的方程为．
故答案为：．
根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由已知得在上恒成立，
时，显然不符合题意；
时，化为在上恒成立，
显然单调递增，且在上连续，结合，
所以式不能恒成立；
当时，式化为，即，结合，
则，恒成立，令，，
，时，，此时单调递增，
时，，此时此时单调递减，
故，则，
解得，故所求的范围是．
故答案为：．
由题意可得在上恒成立，然后研究的最小值，再通过分离参数，构造新函数并研究其最值求解．
本题考查导数在研究不等式恒成立问题中的应用，属于较难的题目．
15.【答案】解：设等差数列的公差为，则，
由，
可得，
则，，解得；
令，可得，又，解得，
再令，可得，解得．
当时，由，可得，
相减可得，
则，
又，，
则从第二项起是公差为的等差数列，可得．
【解析】由等差数列的定义和数列的裂项相消求和，结合恒等式可得首项；
分别求得，，再将换为，两式相减可得，再由等差数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
极小值 极大值
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为．
【解析】由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解．
本题主要考查了导数几何意义的应用，直线垂直的斜率关系，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
17.【答案】解：，
由能被整除，故余数为的余数，故余数为；
设展开式的第项的系数最大，由题意可知，
，，，
故展开式中系数最大的项为第项和第项．
【解析】将转化为，进一步转化，即可解出；
利用二项式展开式系数最大的项的求法，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式的应用，学生的基础运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：记“面试号码为的学生来自校”为事件，
将校名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，
事件表示校有名学生的面试号码为，
其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排，
则事件包含的样本点数为，
故；
设校参加面试的学生有名，由题意得，解得，
所以校参加面试的学生有名，校参加面试的学生有名，
记“最后面试的学生来自校”为事件，“最后面试的学生来自校”为事件，显然事件，互斥，
记“校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件，则，
当事件发生时，只需考虑，两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自校，
则，
当事件发生时，只需考虑，两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自校，
则，
所以；
证明：由题知随机变量的取值为，，，，
则随机变量的分布列为，
所以随机变量的期望
，
所以．
【解析】按古典概型的计算方法求解；
先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算；
先求出分布列，再按期望的公式进行化简．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望，属于难题．
19.【答案】解：由题，，，，；
证明：在不大于的正整数中，只有的倍数不与互素，而的倍数有个，
故，
因为，是两个不同的素数，所以，，
在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，
所以，
所以；
解：由题，计算机工程师在某加密算法中公布的公钥是，
所以，，从而，
，
所以，正整数满足的条件为：，，，
令，则，，
令，则，
取，则，，，
所以，所以，
所以，
．
【解析】直接由欧拉函数所给的定义即可求解；
由题分析即可得，，，即可；
由题分析出满足的条件，然后结合求出，再表示出，利用数列求和即可求解．
本题考查了新定义问题和数列的求和问题，属于难题．
第1页，共1页