深圳市北京师范大学南山附属学校2023-2024学年第二学期 高二年级第一次月考
数学学科试卷
【时间：120分钟 总分：150分】
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要
2. 下列说法不正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
3. 设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A. 2 B. C. -1 D. -2
4. 已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 直线与曲线和圆都相切，则直线斜率为（ ）
A. B. C. 1 D.
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数有极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
8．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，点是侧面内一点含边界 若平面，则下列说法正确的有（ ）
A．点的轨迹为一条线段
B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围是
D．当点P在DD1上时，异面直线D1E与BP所成的角的余弦值是.
11．在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线的方程为
B．直线过定点
C．的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．在中，角、、所对的边分别是、、．且．
则角= 。
13．已知数列的前项和为，且，则 .
14. 已知函数，对任意且，恒有成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求实数和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
16．（15分）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
17. （15分）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点．
（1）求证：；
（2）棱上是否存在异于端点的点，使得二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．(17分)已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
（1）求抛物线的方程和点的坐标；
（2）若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
19.（17分）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求的取值范围．2023-2024学年第二学期 高二年级第一次月考
数学学科 答案解析
1. 直线：与直线：平行，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件，
故选：B.
2. 下列说法不正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的定义可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；根据两直线垂直求出所求直线方程，可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线方程可化为，由，解得，
故直线必过定点，A对；
对于B选项，直线在轴上的截距为，B对；
对于C选项，直线的斜率为，故该直线的倾斜角为，C错；
对于D选项，直线的斜率为，
故过点且垂直于直线的直线方程为，即，D对.
故选：C
3. 设f(x)是可导函数，且，则（ ）
A. 2 B. C. -1 D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及导数的定义求即可.
【详解】由题设，.
故选：B
4. 已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【详解】因为、，所以，
又因为的周长为，得，
由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分，
且椭圆中，
，，即，
椭圆方程为，
因为时，三点共线，不能构成三角形．
顶点的轨迹方程为，
故选：C．
5. 直线与曲线和圆都相切，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】设直线与曲线相切时的切点为，根据导数的几何意义可求直线的方程，再根据与圆相切可求，故可求公切线的斜率.
【详解】圆的圆心为原点，半径为.
设直线与曲线相切时的切点为，其中.
因，故直线的斜率为，
故直线的方程为：即，
整理得到：，
因该直线与圆相切，故，故或（舍），
故直线的斜率为，
故选：C.
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
答案】B
【解析】
【分析】由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可.
【详解】因为，，满足成等比数列，得，且，得，
由余弦定理，，
故选：B .
7. 答案】B
【分析】先求出函数的导函数；再求出极值点，代入函数解方程即可.
【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，.
令，得；
令，得.
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增.
则是函数的极小值点，
故，解得.
故选：B
8．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
答案】D
【解析】
【解析】由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10．已知正方体的棱长为，点分别是棱，的中点，点是侧面内一点含边界 若平面，则下列说法正确的有（ ）
A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围是 D．当点P在DD1上时，异面直线D1E与BP所成的角的余弦值是.
【答案】ABD
【分析】对于A：通过证明面面可得点的轨迹；对于B：根据到平面的距离为定值来判断；对于C：利用面积法来判断；对于D：建立空间直角坐标系，求出线线角的余弦，然后求最小值即可.
【详解】对于A：取的中点分别为，由正方体的性质易得，
又面，面，面，面，
所以面，面，又，面，
所以面面，又平面，点是侧面内一点含边界，
所以点的轨迹为线段，A正确；
对于B：的面积为定值，因为平面，
所以点到平面的距离为定值，则点到平面的距离为定值，
所以为定值，B正确；
对于C：，，
所以点到的距离，C错误；
对于D：当点P在DD1上时D为DD1的中点，用空间坐标即得。
11．在平面直角坐标系中，点，动点，记到轴的距离为.将满足的的轨迹记为，且直线：与交于相异的两点，，则下列结论正确的为（ ）
A．曲线的方程为
B．直线过定点
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，先求出k的范围判断C；利用数量积的坐标表示判断D.
【详解】依题意，点到直线的距离等于到点的距离，
因此点的轨迹是抛物线，其方程为，A错误；
直线：恒过定点，B正确；
由消去y得：，
则，解得，，
，C正确；
，
，D正确.
故选：BCD
12．在中，角、、所对的边分别是、、．且．
则角=
答案】
13．已知数列的前项和为，且，则 .
答案】
14. 已知函数，对任意且，恒有成立，则实数的取值范围是 .
答案】．
【分析】根据题意，设函数，转化为在为递增函数，进而得到在上恒成立，进而得到在上恒成立，即可求解.
【详解】由对任意且，恒有，
可得，整理得，
因为任意且，
设函数，则函数在为单调递增函数，
因为，可得在为单调递增函数，
可得在上恒成立，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15.【答案】(1)， (2)
【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；
（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.
【详解】（1）因为
所以，
由题意可得，，
解得:，.
（2）由(1)可得，
所以，且，
易得，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，，且，
即最大值为：.
16．已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.
【答案】【小题1】； 【小题2】①；②．
【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；
（2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；
②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.
【详解】（1）依题意得，解得，
，即．
（2），，
，
，
所以．
．
17. 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点．
（1）求证：；
（2）棱上是否存在异于端点的点，使得二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点为棱的三等分点(靠近端)
【解析】
【分析】（1）首先证明平面，然后由线面垂直可以得证；
（2）根据题目中的已知条件找到两两垂直的三条棱，然后建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，假设点M存在，设出点M的坐标，求出平面和平面的法向量，结合空间向量的夹角公式列出方程，解方程即可确定点M的位置.
【小问1详解】
取棱的中点，连接，
且，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，且分别是的中点，
，
因为，平面，
平面，
因为平面，
所以.
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面，且，面，
所以面，
以为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：
不妨设，则点，，，，
则，
设为平面的一个法向量，则由及得，
，取，得，
假设棱上(除端点外)存在点满足题意，
令 ()，得，
而，
设为平面的一个法向量，则由及得，
，取，得，
由，整理得，
解得，
所以点为棱的三等分点(靠近端).
18.已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
（1）求抛物线的方程和点的坐标；
（2）若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
【答案】（1）抛物线；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，结合抛物线焦半径公式可构造方程组求得，由此可得抛物线方程和点坐标；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由垂直关系可得，代入韦达定理的结论可整理得到，代入直线方程可得定点坐标.
【小问1详解】
设，则，解得：，
抛物线；.
【小问2详解】
由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.
19.【答案】(1)答案见详解 (2)
【分析】（1）求出导数，对分三种情况讨论判断的正负，得解；
（2）先通过特例，得，然后利用（1）的结论，求解函数的最大值即可.
【详解】（1）由题，，
令，得或，
当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若，在上单调递增，恒成立，
；
若，在和上单调递增，在上单调递减.
，即，解得，
又，
，
，
综上，符合题意的实数的取值范围为.
