红河州第一中学 2023——2024 学年春季学期四月月考
高一年级数学试卷
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求）
1．已知集合 A {x x 3}， B {1， 2 ， 3}，则 A B （ ）
A．{1， 2} B．{1， 2， 3} C． ( ， 3) D． ( ， 3]
π
2．函数 f x sin2x的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到 g x 的图象，
4
则 g x （ ）
A． cos4x B． cosx C． cos4x D． sinx
π
3．下列函数中，是偶函数，最小正周期为 π且在区间 ，π 上单调递增的是（ ）
2
A． y cos 2x B． y sin 2x C． y sin x D． y tan x
4．已知函数 f (x) x 2 x 的零点在区间 (n，n 1)内， n Z ，则 n的值为（ ）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
5．在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间
t
发出声音的声强为W0，则经过 t秒后这段声音的声强变为W t W ，其中 是一个常数．把混响时间T0e R
定义为声音的声强衰减到原来的10 6所需的时间，则TR约为（参考数据： ln2 0.7,ln5 1.6）（ ）
A．6.72 B．8.3 C．13.8 D．148
6．棣莫弗公式 (cos x i sin x) n cos(nx) i sin(nx)（其中 i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）
2
π π
发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 cos i sin 在复平面内所对应的点位于（ ）
3 3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在△ABC中，若 a sin B 3b cos A ，且 sinC 2sin AcosB，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
试卷第 1 页 共 4 页
{#{QQABDQ6EggigQIBAARgCUQWwCgKQkBGCCAoGBBAEMAAByBFABAA=}#}
f x f 2x 1 f 1 1 f 1 18．设 是定义域为R 的偶函数，且 为奇函数.若 ， ，
3 3 2 2
f 2023 2023则 f
（ ）
3 2
1 1 5 5
A． B． C． D．
6 6 6 6
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9.圆柱的侧面展开图是长 4cm，宽 2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）
4 cm3 8 cm3 16 3
3
A． B． C． cm D．8πcm
π π π
10.已知向量 a 1， 2 ，b 1，m ，则（ ）
r r
A．若 a与b垂直，则m
1
B．若
2 a//b
，则 a b的值为 5
C．若m 2，则 a b 2 5 D．若m 2，则 a与b的夹角为60
11.已知函数 f (x) cos x cos x，下列结论正确的是（ ）
5π
A． f (x)在区间[2π， ]单调递增 B．函数 f (x)图象的对称轴为直线 x kπ k Z
2
C．函数 y f (x) sin x在[0， 2π]有 5 个零点 D． x R， 2cos1 f sin x 2
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12.若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
a b
13.已知非零向量 a， b满足 a b a b ，则 .
a b
a +b +c
14.在△ABC 中， A 60 ，b 1，其面积为 3，则 = .sin A +sin B +sinC
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (13分)
f x a 1 x2已知函数 8x 6，不等式 f x 0的解集是 x 1 x 3 ．
1 .求常数 a的值；
2 .若关于 x的不等式 ax2 mx 4 0的解集为R ，求m的取值范围．
试卷第 2 页 共 4 页
{#{QQABDQ6EggigQIBAARgCUQWwCgKQkBGCCAoGBBAEMAAByBFABAA=}#}
16. (15分)
已知 a 1， 0 ，b 2， 1 .
1 .若 AB 2a b， BC a mb且 A、 B、C三点共线，求m的值；
2 . 当实数 k为何值时， k a b 与a 2b垂直.
17. (15分)
13 7
在△ABC 中，已知 cosC ,a c．
14 3
1 .求 A的大小；
2 . 5请从条件①：b a 1，条件②：bcosA ，这两个条件中任选一个作为条件，求 cosB和 a的值．
2
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分
试卷第 3 页 共 4 页
{#{QQABDQ6EggigQIBAARgCUQWwCgKQkBGCCAoGBBAEMAAByBFABAA=}#}
18. (17分)
如图，已知O是边长为6cm的正方形 ABCD的中心，质点 P1从点A出发沿 A D C B方向，同时质
点 P2也从点A出发沿 A B C D方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点 P1的速
度为 2cm / s，质点P2的速度为1cm / s．
1 .请将OP1 OP2 表示为时间 t（单位： s）的函数；
2 .求OP1 OP2 的最小值．
19.(17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使
其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均
小于120 时，使得 AOB BOC COA 120 的点O即为费马点；当△ABC 有一个内角大于或等于
120 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角 A，B，C所对的边
分别为 a，b，c，且 cos2B cos2C cos2A 1
1 .求A；
2 .若bc 2，设点 P为△ABC的费马点，求 PA PB PB PC PC PA .
试卷第 4 页 共 4 页
{#{QQABDQ6EggigQIBAARgCUQWwCgKQkBGCCAoGBBAEMAAByBFABAA=}#}红河州第一中学2023——2024学年春季学期四月月考
高一年级数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 AB ABC BD
1.因为，则. 故选：D.
2.的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象.故选：C.
对于A：为最小正周期为的偶函数，当时，所以在区间上单调递增，故A正确；对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误；对于C：令，则，，所以为偶函数，又的图象是由的图象将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变，的最小正周期为，且在上单调递减且函数值为正，所以的最小正周期为，且在上单调递减，故C错误；对于D：为最小正周期为的奇函数，故D错误，故选：A.
4.因为函数定义域为，且在上单调递增，且，，即，由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.故选：B
5.由题意，，即，等号两边同时取自然对数得，即，所以．故选：C．
6.，在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
7.，则，因为，所以，则，
又因为，，则，，即，即，又因为，则，所以，即.即一定是等边三角形，故D正确.故选：D.
8.由为奇函数，得，得的图象关于点对称，所以.
又因为是定义域为的偶函数，所以，，
所以的周期为4，所以.故选：A.
9.侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，此时圆柱的体积若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，此时圆柱的体积故选：AB.
10.对于A：若与垂直，则，所以，故A正确；对于B：若，则，解得，所以，所以，故B正确；对于C：若，则，所以，则，故C正确；对于D：若，则，又，所以与的夹角小于，故D错误；故选：ABC．
11.， 其图象如图，
对于选项A，当时，，，易知在区间单调递减，所以选项A错误，对于选项B，因为的对称轴为，而的对称轴也是，所以选项B正确，对于选项C，当时，，此时，有无数多个零点，所以选项C错误，对于选项D，因为，又偶函数在递减，所以，故选项D正确，故选：BD.
12.设此球的半径为，则，解得.故答案为：.
13.如图当时，为等边三角形，则为线段的长度.所以.故答案为：.
14.依题意，，由余弦定理得，，由正弦定理得.故答案为：
15．解析：（1）因为的解集是，所以和为关于的方程的两根且，所以，解得.
（2）由（1）可得关于的不等式的解集为，所以，解得，
即的取值范围为.
16．解析：（1）由题意可得，，且、、三点共线，则可得， 即，解得；
（2）由题意可得，，因为与垂直，则可,
解得.
17．解析：（1）中，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，且，所以或.
（2）选条件①：，则，所以（舍去）.此时，，，，
所以.即，由余弦定理得：，即，解得：（舍去）．
选条件②：.因为，所以，所以（舍去）.此时，，，所以，
即.所以，由正弦定理得：，
即，即.
18.解析：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，解得，所以，
当时，，
则，
当时，，
则，
当时，，
则，
综上，
（2）当时由（1）知单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为．
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为；
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为0．
综上的最小值为．
19.解析：（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.
（2）由（1），所以的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则.
