河北省衡水市武强中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

武强中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.如图，中，是的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.在中，若的面积为，则（ ）
A.13 B. C.2 D.
5.已知，向量在向量上的投影数量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）
A. B.1 C. D.
7.在中，内角所对的边分别为，若的面积，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A.-2 B. C. D.-1
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数为的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ）
A.对应的点在复平面的第二象限 B.
C.的实部为 D.的虚部为
10.如果平面向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.与的夹角为
D.在方向上的投影向量为
11.在中，下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则定为等腰三角形
C.若，则定为直角三角形
D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的内角的对边分别为，已知，则__________.
13.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则边上的中线的实际长度为__________.
14.如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为.若，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
已知.
（1）求向量与的夹角；
（2）当向量与垂直时，求实数的值.
16.（本小题15分）
已知：复数，其中为虚数单位.
（1）求及；
（2）若，求实数的值.
17.（本小题15分）
的内角所对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.（本小题17分）
已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）
（1）求实数及；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
19.（本小题17分）
在中，角所对边分别为，现有下列四个条件：
①；②；③；④.
（1）③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
（2）已知同时满足上述四个条件中的三个，请选择使有解的三个条件，求的面积.
注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分.
高一数学参考答案
一 单项选择题：
1-8ACDB BADC
二 多项选择题：
9.BC 10.AB 11.ACD
三 填空题：
12.75° 13. 14.3
四 解答题：
15.解：（1），
.
，
；
（2）向量与垂直，，
，即，
解得.
16.解：（1），
.
（2）由得：
，即
所以，解之得.
17.解：（1）因为，根据正弦定理得，
又，从而，
由于，所以.
（2）根据余弦定理，而，
代入整理得，解得或（舍去）.
故的面积为.
18.解：（1）因为，
，
又为纯虚数，，
；
（2），
因为复数所对应的点在第二象限，
，解得，
即实数的取值范围为.
19.解：（1）由条件③得，
解得或（舍），
因为，所以；
由条件④得，
因为，
而在单调递减，所以.
于是，与矛盾.所以中③④不能同时成立.
（2）因为同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②.
若选择组合①②③：有，即，
因为，所以为直角三角形，所以，
所以的面积.
若选择组合①②④：
由，即，解得，
因为，所以，
所以的面积.