2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期
期中数学试卷
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.直线与平行，则实数______.
【答案】
【解析】直线与平行，，求得
2.已知圆，直线被圆截得的弦长为______.
【答案】
【解析】圆，圆心，半径为2，圆的圆心到直线的距离：，
所求弦长为：
3.设在处的导数为2，则______.
【答案】
【解析】
4.若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】椭圆，则，且，
直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，
则必在椭圆内部，，则，
综上可知：的取值范围
5.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则______.
【答案】
【解析】由抛物线为的性质可知，得，，
可得
6.已知点，分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】直线与直线的斜率都为，且在轴上的截距不相等，
所以直线，可知、距离的最小值为与之间的距离，
将直线的方程化为，可得，即的取值范围是．
7.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为______.
【答案】
【解析】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，
又由，可得，
根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，
所以
8.已知点，，点为椭圆上的动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为椭圆，则，，
所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为，则，
由椭圆的定义得，，
所以为射线与椭圆交点时，取最小值，
此时．
9.定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为______.
【答案】
【解析】如图，
，
要使最小，则最大，故最小，
设，则．
当，即时，，
此时或，
10.已知曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由曲线及题意，知，，．
如图所示，曲线表示的是一个圆与双曲线的一部分，
由，解得，
要使直线与曲线有四个不同的交点，
结合图象，可得
11.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，，
记，，，，，，．则由中的所有点所组成的图形的面积是______.
【答案】
【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，
则由题意值，即．
三角形为正三角形，边长为1，正三角形的高为，且．
集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部．
根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．
阴影部分的面积为
12.已知，为双曲线的左、右焦点．，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，，其中，，△为等腰三角形，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】连接，延长交双曲线于，
连接，，
由，
可得四边形为矩形，
由题意可得△为等腰直角三角形，
设，
由对称性可得，
，
即有，
由双曲线的定义可得，①
在直角三角形中，，，
，
可得，②
由①②可得，
代入①可得，，
化简可得，
即有．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知直线，直线，则关于对称的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立，解得：，，可得交点．
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
则，解得，．即．
关于对称的直线方程为：，化为：．
故选：．
14.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线的方程可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：．
15.已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最小值为4，则
A．或 B.或 C．或 D．或
【答案】B
【解析】由题意可得，到直线的距离的最小值为2，
，整理得，解得或．
故选：B．
16.已知点是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】设△的内切圆的半径为，
为△的内心，，
，
，
，
点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，
，
故选：．
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点．
（1）求直线的方程；
（2）直线恒过定点，求点到直线的距离
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）由，，，
则，，
直线的斜率，且直线过点，
由直线的点斜式方程得，
即，
所求直线的方程为；
（2）直线，
化简得，
直线过定点，
则点到直线的距离为，
故到直线的距离为
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，，，且，是方程的两根．
（1）求弦的长；
（2）若圆的圆心为，求圆的一般方程
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为直线的斜率为2，，，
于是由弦长公式得，，即弦的长为；
（2）圆心到直线的距离，
设圆的半径为，则．
因此圆的半径长为3，则圆的标准方程是，
即．
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，直线与轴交于点．
（1）求过点的的切线方程；
（2）若点在函数图象上，且在点处的切线与直线平行，求点坐标
【答案】（1）当时切线方程为；当时切线方程为；
（2）或
【解析】
（1）设切点为，，切线斜率，
切线方程为，
所求切线过点，，
解得：或．
当时切线方程为；当时切线方程为．
（2）由，解得，
或．
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设抛物线的方程为，点的坐标为．
（1）过点，斜率为的直线交抛物线于，两点，求线段的长；
（2）设是抛物线上的动点，是线段上的一点，满足，求动点的轨迹方程；
（3）设，是抛物线的两条经过点的动弦，满足．点，分别是弦与的中点，是否存在一个定点，使得，，三点总是共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）根据条件可知直线方程为，即，
联立，整理得，
则，，
所以线段；
（2）设，，，则，，，，
根据，则有，，所以，，
因为点在抛物线上，所以，整理得，
即点的运动轨迹方程为；
（3）设，，，，，，，，
根据题意直线，的斜率存在且不为0，不妨设的方程为，
联立，整理得，
则，所以可得，，同理可得，，
则
所以直线的方程为，即直线必过点，
故存在一个定点，使得，，三点总是共线
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点.
（1）若直线垂直于轴，求线段的长度；
（2）若，且点在轴上方，求、两点的坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）或
【解析】（1）若直线垂直于轴，则依题意可得直线的方程为.
由，可得，故.
（2）设，，，，
若，则点在以为直径的圆上，即点为椭圆与以为直径的圆的交点.
由已知可得，，线段的中点为，，
故以为直径的圆的方程为，即.
由，可得，解得或.
当时，，则，
此时所求点与重合，不合题意，舍.
当时，，则，
因为点在轴的上方，所以点的坐标为，
则直线的方程为，即.
由，可得，解得，
则，故点的坐标为.
（3）依题意可知直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.
由，可得，
△恒成立.
由韦达定理可得，，
依题意可得直线的方程为，
令，则点的纵坐标，
同理可得点的纵坐标，
，
，
依题意可得，
则，
因为
，且，
所以，
即，即，
即，解得，
故存在直线符合题意，且直线的方程为，即或.2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期
期中数学试卷
2024.4
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.直线与平行，则实数______.
2.已知圆，直线被圆截得的弦长为______.
3.设在处的导数为2，则______.
4.若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是______.
5.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则______.
6.已知点，分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______.
7.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为______.
8.已知点，，点为椭圆上的动点，则的最小值为______.
9.定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为______.
10.已知曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______.
11.在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，，
记，，，，，，．则由中的所有点所组成的图形的面积是______.
12.已知，为双曲线的左、右焦点．，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，，其中，，△为等腰三角形，则双曲线的离心率为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知直线，直线，则关于对称的直线方程为
A． B． C． D．
14.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为
A．5 B． C． D．
15.已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最小值为4，则
A．或 B.或 C．或 D．或
16.已知点是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为
A． B． C． D．2
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点．
（1）求直线的方程；
（2）直线恒过定点，求点到直线的距离
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
直线与圆交于、两点，、两点的坐标分别为，，，，且，是方程的两根．
（1）求弦的长；
（2）若圆的圆心为，求圆的一般方程
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，直线与轴交于点．
（1）求过点的的切线方程；
（2）若点在函数图象上，且在点处的切线与直线平行，求点坐标
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设抛物线的方程为，点的坐标为．
（1）过点，斜率为的直线交抛物线于，两点，求线段的长；
（2）设是抛物线上的动点，是线段上的一点，满足，求动点的轨迹方程；
（3）设，是抛物线的两条经过点的动弦，满足．点，分别是弦与的中点，是否存在一个定点，使得，，三点总是共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆，是其左顶点，过点且不与轴重合的直线与交于、两点.
（1）若直线垂直于轴，求线段的长度；
（2）若，且点在轴上方，求、两点的坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.是否存在直线，使得的面积是的两倍？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
