临沂第十九中2023-2024学年高二下学期第二次质量调研考试
数学试题 （2024.4）
（考试时间：120分钟，满分：150 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种
2．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A. B. C. D.
3．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．我国在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
6．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点 B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点 D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加，，三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 .（用数字作答）
13．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
14．已知(1－x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024.则＋＋＋…＋的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值．
16．（本小题满分15分）
电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
17．（本小题满分15分）
五一假期来临，某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球(大小、质地均相同)的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值均为5元．
(1)求顾客获得的购物减免额为60元的概率；
(2)若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求顾客获得的购物减免额为15元的概率．
（本小题满分17分）
已知二项式.
（1）若它的二项式系数之和为128.
①求展开式中二项式系数最大的项；
②求展开式中系数最大的项；
（2）若，求二项式的值被7除的余数.
19．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）当时，证明：在上恒成立；
（2）若有2个零点，求a的取值范围．临沂第十九中学2023-2024学年高二下学期第二次质量调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：CBBA ADAA
二、多项选择题：9. AB 10.AC 11. ABD
三、填空题：13．36 14．84 15..
四、解答题：
15：解：（1）因为，所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；
（2）由（1）知，
令，则，解得，或，
当时，； 当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．
16：解:（1）先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
（2）先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
（3）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；
17：解：：(1)设E＝“顾客获得的购物减免额为60元”，依题意，得P(E)＝＝，即顾客获得的购物减免额为60元的概率为.
(2)设A＝“顾客摸到的1个球所标的面值为10元”，B＝“顾客获得的购物减免额为15元”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以所求概率为P(B|A)＝＝.
18：解：（1），通项为.
①二项式系数最大的项为第4，5项，
.
②设展开式中系数最大的项为第项，则
，，，解得，
因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为第6，7项，
.
（2）当时，，
因为，
所以二项式的值被7除的余数就是被7除的余数，
因为，
所以被7除的余数为1，所以二项式的值被7除的余数为1.
19：解：（1）当时，设，
则，设，
由函数和在上单调递增，
知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以
即在上恒成立；
（2）由，得，令，
则有2个零点，等价于函数与图象有2个交点，
令，得，
当时，当时，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，，
当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远比大，故趋向于0，
作出函数的大致图象如下：
结合图象可知，当时，与的图象有2个交点，
故a的取值范围是．
