山东省济宁市第一中学2024届高三下学期4月质量检测数学试卷（pdf版，含解析）

数学试题
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
4
1 1 ．二项式 2 2 x 的展开式中含 x 项的系数为（ ）
2x
3 3 1
A． B． C 1． D．
2 2 2 2

2．平面向量 a ，b 满足 | a | 2， b 3， a b 4，则b 在a方向上的投影向量为（ ）
A 15
1 3 15
． a B． a C． a D．
12 4 8
a
8
1
3．若函数 f x cos πx (0 π)的图象关于直线 x 对称，则 （ ）
3
π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 6 3 6
4．从1,2, ,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
1 4 7 13
A． B． C． D．
3 9 18 36
5．已知正四棱锥P ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为 4，体积为
64
，则该球表面积为（ ）
3
4π
A．9π B．36π C． 4π D．
3
6．设抛物线 y2 2x的焦点为 F ，过抛物线上点 P作其准线的垂线，设垂足为Q，若
PQF 30 ，则 PQ （ ）
2 3 3A B C D 3． 3 ． ． ．3 4 2
10
b ln 11 ln 2.27．设 a e33， ， c ，则（ ）10 10
A． a b c B． c b a C．b8．已知 an 是等差数列，bn sin an ，存在正整数 t t 8 ，使得bn t bn， n N* .若
集合 S x x bn ,n N * 中只含有 4个元素，则 t的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题（每题 6分，共 18 分）
9．已知圆C1 : (x 3)
2 y2 1,C2 : x
2 (y a)2 16，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆C1和圆C2外离，则 a 4
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
B．若圆C1和圆C2外切，则 a 4
C．当 a 0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D．当 a 2时，圆C1和圆C2相交
10．已知 z1、 z2都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 z2 ，则 z1 z2
B． z1z2 z1 z2
C．若 z1 z2 z1 z2 ，则 z1z2 0
D． z1 z2 z1 z2
11．已知函数 f x sinx ，则（ ）
2 cos2x
A． f x 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 π,0 对称
C 2．不等式 f x x无解 D． f x 的最大值为
4
三、填空题(每题 5 分，共 15 分）
2 2
12 x y．已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的一条渐近线与直线 l : x 2y 5 0垂直，则a b
C的离心率为 .
13．甲袋中有 5个红球和 3个白球，乙袋中有 4个红球和 2个白球，如果所有小球只存
在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出
一球放入乙袋，分别用 A1、A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋
中随机取出两球，用 B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件
B的概率是 .
14．如图，已知点 P是棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD内（包含边界）
一个动点，若点 P 到点 A 的距离是点 P 到 BB1的距离的两倍，则点 P 的轨迹的长度
为 ．
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
四、解答题（共 77 分）
15．（ 13 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，
3 acosC ccos A 2bsin B ．
(1)求角 B的值；
(2)若b 2 3，求 a2 c2的取值范围．
16．（15分）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心， AB，CD是长度为 2的底
面圆的两条直径， AB CD O ，且 SO 3， P为母线 SB上一点．
(1)求证：当 P为 SB中点时， SA∥平面 PCD；
(2) AOC 60 3 21若 ，二面角 P CD B的余弦值为 ，试确定 P点的位置．
21
17．（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓
丽的新名片，并广泛用于森林消防 抢险救灾 环境监测等领域.某森林消防支队在一次消
防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了
4
三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标
5
1
相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 2 ，击中目标两次起火点被扑灭
2
的概率为 3 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
18 x
2 y2
．（17分）已知双曲线C： 2 2 1 a 0,b 0 的离心率为 2，点 3, 1 在双曲线a b
C上．过C的左焦点 F作直线 l交C的左支于 A、B两点．
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若M 2,0 ，试问：是否存在直线 l，使得点 M在以 AB为直径的圆上 请说明理由．
(3)点P 4,2 ，直线 AP交直线 x 2于点Q．设直线QA、QB的斜率分别 k1、 k2，求
证： k1 k2为定值．
19．（17分）已知函数 f x a 2xlnx x 1 x ,g x sinx ．
(1)当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)当 a 0, x 0时，若在 g x 的图象上有一点列
A 1 1 * *i 2i
,g i i 1,2,3, ,n,i N ,n N ，若直线 A2 iAi 1的斜率为 ki i 1,2,3, ,n ，
（ⅰ）求证： g x f x 1 x 3；
6
n
（ⅱ）求证： k n 1i ．
i 1 9
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
高三数学答题卡 16．（15分） 17．（15分）
姓名：
班级：
贴条形码区
考场： 座号：
选择题（共12小题，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分，共58分）
1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12． 13． 14.
15．（13分）
- 1 - - 2 - - 3 -
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
18.（17分） 19.（17分）
- 4 - - 5 - - 6 -
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
济宁市第一中学 2024 届高三 3 月份定时检测
数学试题及参考答案
一、单选题
4
1 1 ．二项式 x
2 的展开式中含 x2 项的系数为（ ）
2x
3 3 1
A 1． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【分析】
利用二项式定理的通项公式即可求解.
【详解】
1
4

由二项式定理可知， x
2 的展开式的通项为
2x
r
r 2 4 rT C x 1 1
r
r 1 4
r 8 3x
2x 2
C4x ，

令8 3r 2，解得 r 2，
1 2
所以T C23 4x
2 3 x2 ，
2 2
x2 1
4
3
所以二项式
2
的展开式中含 x 项的系数为 .
2x 2
故选：B.
a

2．平面向量 ，b 满足 | a | 2 ， b 3， a b 4，则b 在 a方向上的投影向量为
（ ）
A 15
1 3
． a B． a C 15 ． a D． a
12 4 8 8
【答案】C
【分析】

由题设条件，利用向量的模长公式求得 a b ，再利用 b 在 a方向上的投影向量的公式

| b | cos b,a a b a 2 a 即可求得. | a | | a |
3
【详解】由 a b (a b)2 | a |2 2a b+|b|2 13 2a b 4 可得 a b ，
2
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
3
而b 在 a方向上的投影向量为 | b | co s b,a

a a b a 3 2 a a .
| a | | a |2 4 8
故选：C.
3．若函数 f x cos πx (0 π) 1的图象关于直线 x 对称，则 （
3 ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 6 3 6
【答案】C
【分析】
由余弦函数的对称性直接求解.
【详解】
因为 f x cos πx (0 π)的图象关于直线 x 1 对称，
3
π
所以 kπ k π Z ，得 kπ k Z ，
3 3
因为0 π
2π
，所以 .
3
故选：C.
4．从1,2, ,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
1 4 7 13
A． B． C． D．
3 9 18 36
【答案】C
【分析】
求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.
【详解】
2
这九个数字中任取两个，有C9 种取法，
和为质数有 1,2 , 1,4 , 2,3 , 1,6 , 2,5 , 3,4 , 2,9 , 3,8 , 4,7 , 5,6 , 4,9 , 5,8 , 6,7 ，
8,9 共 14 种情况，
14 7
因此所求概率为 2 C9 18
.
故选：C.
5．已知正四棱锥P ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为 4，体积为
64
，则该球表面积为（
3 ）
4π
A．9π B．36π C．4π D．
3
【答案】B
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外
接球的表面积.
【详解】
如图，设 P 在底面 ABCD的射影为 H ，则PH 平面 ABCD，
且 H 为 AC, BD 的交点.
1
因为正四棱锥底面边长为 4，故底面正方形的面积可为16，且 AH 4 2 2 2 ，
2
1 PH 16 64故 ，故PH 4 .
3 3
由正四棱锥的对称性可知O在直线PH 上，设外接球的半径为 R ，
则OH 4 R ，故R2 8 4 R 2 ，故R 3，
故正四棱锥P ABCD的外接球的表面积为 4 π 9 36π ，
故选：B.
6．设抛物线 y2 2x的焦点为 F ，过抛物线上点 P 作其准线的垂线，设垂足为Q，若
PQF 30 ，则 PQ （ ）
A 2 3
3
． 3 B． C． D
3
．
3 4 2
【答案】A
【分析】
由题意得 QFM 30 ，结合正切定义以及 FM 1可得 QF ，进一步即可求解.
【详解】如图所示：
M 为准线与 x 轴的交点，
因为 PQF 30 ，且 PF PQ ，所以 PFQ 30 , QPF 120 ，
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
因为FM / /PQ，所以 QFM 30 ，
QM QM
而 tan 30 QM
3
，所以
MF 1 3 QF
2 3
，
3
QF 3 3 2
所以 PF PQ cos30 .
2 3 2 3
故选：A.
10
7．设 a e33 ，b ln
11 c ln 2.2 ， ，则（
10 ） 10
A． a b c B． c b a C．b【答案】B
【分析】
由题意可得 a 1，b 1， c 1，即可得 a b， a c ，再比较b 与 c的大小关系，借助
9
对数运算转化为比较 1.1 与 2的大小关系，结合放缩计算即可得.
10 11
【详解】 a e33 e0 1，b ln 1 c
ln 2.2
， 1，故 a b， a c ，
10 10
11 ln 2.2 11 10
要比较 ln 与 的大小，即比较 ln 与 ln 2.2的大小， 10 10 10
10
等价于比较 1.1 与 2.2的大小，等价于比较 1.1 9与 2的大小，
又 1.1 9 1.1 1.1 8 1.1 1.21 4 1.1 1.2 4
1.1 1.44 2 1.1 1.4 2 1.1 1.96 2，
9 ln 11 ln 2.2故 1.1 2 ，即 ，即b c，
10 10
故 c b a .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b 与 c的大小关系，可借助对数运算转化为比
1.1 9较 与 2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.
8．已知 an 是等差数列，bn sin an ，存在正整数 t t 8 ，使得b b ， n N*n t n .若
集合 S x x bn , n N * 中只含有 4 个元素，则 t 的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】考虑 t≤3不符合题意， t 4,6,7,8时，列举出满足条件的集合，再考虑 t 5时
不成立，得到答案.
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
【详解】当 t≤3时，bn t bn ，根据周期性知集合最多有 3 个元素，不符合；
3 1 3 1
当 t 4
π π
时，bn 4 bn ，取 an n ，此时 S , , , ，满足条件； 2 6 2 2 2 2


2kπ
当 t 5时，bn 5 bn ，即 sin an 5d sin an ， d , k Z ，在单位圆的五等分点上5
不可能取到 4 个不同的正弦值，故不满足；
b b a π n π 1 1当 t 6时， n 6 n ，取 n ，此时 S

, , 1,1

，满足条件； 3 6 2 2
t 7 b b a 2π π
3π π
当 时， n 7 n ，取 n n ，此时 S sin , 1,sin ,sin
5π
7 2 14 14 14
，满足条件；

b b π 5π S sin π , sin 3π ,sin π ,sin 3π当 t 8时， n 8 n，取 an n ，此时

，满足条
4 8 8 8 8 8


件；
故选：C
二、多选题
9 2 2 2 2．已知圆C1 : (x 3) y 1,C2 : x (y a) 16，则下列结论正确的有（ ）
A．若圆C1和圆C2 外离，则 a 4
B．若圆C1和圆C2 外切，则 a 4
C．当 a 0时，圆C1和圆C2 有且仅有一条公切线
D．当 a 2 时，圆C1和圆C2 相交
【答案】BCD
【分析】
根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】C1 3,0 ,C2 0,a , C 21C2 9 a , r1 1, r2 4 .
若C1和C2 外离，则 C1C
2
2 9 a r1 r2 5，解得 a 4或 a < - 4，故 A 错误；
若C1和C2 外切， C1C2 9 a
2 5，解得 a 4，故 B 正确；
当 a 0时， C1C2 3 r2 r1,C1和C2 内切，故 C 正确；
当 a 2 时，3 C1C2 13 5,C1和C2 相交，故 D 正确.
故选：BCD
10．已知 z1 、 z2 都是复数，下列正确的是（ ）
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
A．若 z1 z2 ，则 z1 z2
B． z1z2 z1 z2
C．若 z1 z2 z1 z2 ，则 z1z2 0
D． z1 z2 z1 z2
【答案】BD
【分析】
利用特殊值判断 A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断 B、D.
【详解】对于 A：令 z1 2 i 、 z2 1 2i ，则 z1 z2 5 ，显然不满足 z1 z2 ，故 A
错误；
对于 C：令 z1 1 i、 z2 1 i，则 z1 z2 2 ， z1 z2 2i ，
所以 z1 z2 z1 z2 ，但是 z1z2 1 i 1 i 2，故 C 错误；
设 z1 a bi ， z2 c di(a,b,c,d R) ，
所以 z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i，
则 z1 z2 ac bd ad bc i
ac bd 2 ad bc 2 ac 2 bd 2 ad 2 bc 2 ，
z z a2 b2 c2 d 2 ac 2又 1 2 bd
2 ad 2 bc 2 ，
所以 z1 z2 z1 z2 ，故 B 正确；
z1 z2 ac bd ad bc i，又 z1 z2 a bi c di ac bd ad bc i ，
所以 z1 z2 z1 z2 ，故 D 正确.
故选：BD
f x sinx11．已知函数 ，则（ ）
2 cos2x
A． f x 的最小正周期为 π B． f x 的图象关于点 π,0 对称
C．不等式 f x x无解 D． f x 2的最大值为
4
【答案】BD
【分析】
对 于 选 项 A: 验 证 f π x f x 是 否 成 立 即 可 判 断 ； 对 于 选 项 B: 验 证
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
f 2π x f x 是否成立即可判断；对于选项 C: 利用 f π 0 π 即可验证
f x x有解；对于选项 D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断.
sinf π x π x sinx【详解】对于选项 A: f x , π f x2 cos2 π x 2 不是 的周期， cos2x
故 A 错误;
sin 2π x
f 2π x sinx对于选项 B: f x , f x π,02 cos2 2π x 2 cos2x 关于 对称，故
B 正确；
对于选项 C: f π 0 π, f x x 有解，故 C 错误；
对于选项 D: f x
sinx sinx

2 1 2sin2x 2sin2x 1，若 sinx 0 ，则 f x 0 ，
sinx 0, f x
1 1 2

若 则 ，
2sinx 1 2 2 2
sinx
1
当且仅当 2sinx 2，即 sinx 时，原式取等，故 D 正确. sinx 2
故选:BD.
第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II卷的文字说明
三、填空题
x2 y212．已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的一条渐近线与直线 l : x 2y 5 0垂直，则a b
C 的离心率为 .
【答案】 5
【分析】
b
借助斜率与垂直的关系可得 ，即可得离心率.
a
1 b 1
【详解】由直线 l : x 2y 5 0的斜率为 0 ，故有 1， 2 a 2
b
2 e 1 b
2
即 ，则 2 5 . a a
故答案为： 5 .
13．甲袋中有 5 个红球和 3 个白球，乙袋中有 4 个红球和 2 个白球，如果所有小球只存
在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
一球放入乙袋，分别用 A1、 A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙
袋中随机取出两球，用 B 表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事
件 B 的概率是 .
17
【答案】
42
【分析】
根据全概率公式即可求解.
【详解】
5 3 C2P(A ) , P(A ) , P(B | A ) 5 10 C
2
4 6 2
因为 1 8 2 8 1 C2
, P(B | A2 )
7 21 C
2 21 7 ， 7
所以 P(B) P(A1B) P(A2B) P(A1)P(B | A1) P(A )P(B | A )
5 10 3 2 17
2 2 8 21 8 7 42 ,
17
故答案为：
42
14．如图，已知点 P 是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD内（包含边界）
一个动点，若点 P 到点 A 的距离是点 P 到 BB1的距离的两倍，则点 P 的轨迹的长度
为 ．
4
【答案】
9
【分析】
根据题意，得到 PA 2 PB ，以 A 为原点，建立平面直角坐标系，设 P(x, y) ，结合
PA 2 PB 8，求得点 P 的轨迹是以M ( ,0) r
4
为圆心，半径为 的圆弧E F ，再由扇形3 3
的弧长公式，即可求解.
【详解】
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，可得BB1 平面 ABCD，
因为PB 平面 ABCD，所以BB1 PB ，
则点 P 到BB1的距离等于点 P 到点 B 的距离，即 PA 2 PB ，
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
在底面 ABCD中，以A 为原点，以 AB, AD所在的直线分别为 x 轴和 y 轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，可得 A(0,0), B(2,0)，
设P(x, y) ，由 PA 2 PB ，可得 x2 y2 2 (x 2)2 y2 ，
(x 8)2 y2 16 8 4整理得 ，即点 P 的轨迹是以M ( ,0)为圆心，半径为 r 的圆弧E F ， 3 9 3 3
BM 1
又由 BM AM AB
8 2
2 ，可得 cos BMF MF 2 ， 3 3
π π
所以 BMF ，即E F 所对的圆心角为 ， 3 3
π 4 4π
所以点 P 的轨迹的长度为圆弧长为 .
3 3 9
4π
故答案为： .
9
四、解答题
15 ． 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ，
3 acosC ccos A 2bsin B．
(1)求角 B 的值；
(2)若b 2 3 ，求 a2 c2的取值范围．
B π【答案】(1) 3
(2) 20, 24
【分析】
（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可；
（2）利用正弦定理得到 a 4sin A,c 4sin C ，则 a2 c2 16sin2 A 16sin2 C ，利用三
角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值.
【详解】（1）因为 3 a cosC c cos A 2bsin B ，
由正弦定理边化角可得 3 sin AcosC sin C cos A 2sin B sin B，
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
所以 3 sin A C 3 sin B 2sin B sin B ，又 sin B 0 ，
sin B 3所以 ，又 B 为锐角，
2
π
则 B 3 ；
a c b 2 3
4
（2）由正弦定理 sin A sin C sin B 3 ，
2
则 a 4sin A,c 4sin C ，
a2 c2 16sin2所以 A 16sin2 C 8 1 cos 2A 8 1 cos 2C ，
16 8cos 2A 8cos 2C 16 8cos 2A 8cos 2 π π A


3

16 8cos 2A 1 3 8 cos 2A sin 2A2 2

16 4 3 sin 2A 4cos 2A
16 8sin 2A
π

6
，

0 A π
ABC
2 π
因为在锐角三角形 中 ，得 A
π

π π
6 2 ，
0 π A
3 2
π 2A π 5π所以 ，
6 6 6
1
则 sin
2A π

1， 20 16 8sin

2A
π
24 2 6 6
所以 a2 c2的取值范围为 20, 24 .
16．如图，S 为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心， AB ，CD 是长度为 2的底面圆的两
条直径， AB CD O ，且 SO 3， P 为母线 SB 上一点．
(1)求证：当 P 为 SB 中点时， SA∥平面PCD；
(2)若 AOC 60 ，二面角P CD B 3 21的余弦值为 ，试确定 P 点的位置．
21
【答案】(1)证明见详解
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
(2) P 是线段BS 靠近点 B 的四等分点
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，设BP BS ， 0 1，求解平面PCD和平面BCD的法向
P CD B 3 21量，根据二面角 的余弦值为 求 ，即可得 P 点的位置.
21
【详解】（1）连接PO，因为 P ，O分别为 SB ， AB 的中点，
所以PO为 BSA的中位线，所以 SA / /PO ，
又PO 平面PCD， SA 平面PCD，所以 SA∥平面PCD；
（2）如图：过点O作OF AB 交圆O与F ，
以O为坐标原点，OA，OF ，OS 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标
系，
1 3
则 S 0,0,3 ， A 1,0,0 ，B 1,0,0 C 1 3， , ,02 2 ，D , ,0 ， 2 2

所以CD 1, 3,0 ，BS 1,0,3 ，

设BP BS ， 0 1，则P 1,0,3
3
，所以PC ,
3
, 3 ，
2 2

设平面PCD的法向量为 n x, y, z ，

x 3y 0 n CD 0
则
1
，所以 3 3 ，令 y 3 ，则 x 3， z ，
n PC 0 x y 3 z 0
2

2
n 3, 3,1 即 ，


易知平面BCD的一个法向量为OS 0,0,3 ，
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
3 1 1
n

OS
cos n,OS 3 21则 ， n OS 2
3 12 1 12 1
2

21

1
解得 （负值舍去），所以 P 是线段BS 靠近点 B 的四等分点.
4
17．我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名
片，并广泛用于森林消防 抢险救灾 环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练
中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投
4
弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 ，每次投弹是否击中目标相互独
5
立. 1无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 2 ，击中目标两次起火点被扑灭的概率
2
为 3 ，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
12
【答案】(1)分布列见解析，
5
102
(2)
125
【分析】
（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；
（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得
【详解】（1）起火点被无人机击中次数 X 的所有可能取值为0,1, 2,3
3 2
P X 0 1 1 , P X
4 1 12
1 C1
5 3
，
125 5 5 125
4 2P X 2 C2 1 48 4
3 64
3

, P X 3

5 5 125
.
5 125
X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
1 12 48 64
P
125 125 125 125
X B 4 4 12 3, , E X 3 .
5 5 5
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
1 2
（2）击中一次被扑灭的概率为P1 C
1 4 1 1 6
3
5 5 2 125
4 2 1 2 32
击中两次被火扑灭的概率为P C22 3
5 5 3 125
4 3 64
击中三次被火扑灭的概率为P3 5

125
P 6 32 64 102所求概率 .
125 125 125 125
2 2
18 x y．已知双曲线C ： 1 a 0,b 0 的离心率为 2 ，点 3, 1 2 2 在双曲线C 上．过a b
C 的左焦点 F 作直线 l交C 的左支于 A、B 两点．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若M 2,0 ，试问：是否存在直线 l，使得点 M 在以 AB 为直径的圆上 请说明理
由．
(3)点P 4,2 ，直线 AP 交直线 x 2于点Q．设直线QA、QB 的斜率分别 k1、 k2 ，求
证： k1 k2 为定值．
x2 2
【答案】(1) y 1；
8 8
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析
【分析】(1)根据题意列式求 a,b,c，进而可得双曲线方程；
(2)设 l : x my 4, A x1, y1 , B x , y

2 2 ，联立方程，利用韦达定理判断MA MB 是否为零
即可；
(3)用 A, B两点坐标表示出直线 AP ，得点Q坐标，表示出 k1,k2，结合韦达定理，证明 k1 k2
为定值．
2 2
【详解】（1）由双曲线C : x y2 2 1的离心率为 2 ，且M 3, 1 在双曲线C 上， a b
9 1
2 2 1
a b
2 2
可得 e
c
2 ，解得 a2 8,b2 8 ∴ x y， 双曲线的方程为 1．
a 8 8
c2 a2 b2

（2）双曲线C 的左焦点为F 4,0 ，
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
当直线 l的斜率为 0 时，此时直线为 y 0 ，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；
当直线 l的斜率不为 0 时，设 l : x my 4，
x my 4 2 2
联立方程组 2 2 ，消 x 得 m 1 y 8my 8 0，易得Δ 0，
x y 8
设 A x1, y1 , B x , y y y
8m , y y 82 2 ，则 1 2 2 1 2 2 0，可得 1 m 1， m 1 m 1

∵ MA x1 2, y1 , MB x2 2, y2 ，

则MA MB x2 2 x1 2 y1 y2 my1 2 my2 2 y1 y2
8 m2 1
m2 1 y y 2m y y 4 16m
2
4 4， 1 2 1 2 m2 1 m2 1

即MA MB 0 ，可得MA与MB不垂直，
∴不存在直线 l，使得点M 在以 AB 为直径的圆上．
（3）由直线 AP : y 2 k1 x 4 ，得Q 2,2 2k1)，
k y2 2 2k1 y2 2 2k∴ 1 k
y
k 1 2 y1 22 x 2 my 2 ，又 1 PA

x ， 2 2 1 4 my1
k k y1 2 y2 2 2k1 y1 2 my2 2 my1 y2 2 2k ∴ 1 12 my1 my2 2 my1 my 2
2
2my2 2y1 4 2my1 2mk1y 1
my my 2 ， 1 2
∵ k
y 2
1
1 k my y
my ，∴ 1 1 1
2，且 y1 y2 my1 y2 ，
1
2m y
∴ k 1
y2 2 y1 y2
1 k2 2 k kmy my ，即 为定值． 1 2 2 y1 y2 2y 1 21
19．已知函数 f x a 2xlnx x 1 x, g x sinx ．
(1)当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)当 a 0, x 0时，若在 g x 的图象上有一点列
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
A 1 1 *i i , g i i 1, 2,3, , n, i N , n N* ，若直线 A2 2 i Ai 1的斜率为 ki i 1, 2,3, , n ，
（ⅰ）求证： g x f x 1 x3 ；
6
n 1
（ⅱ）求证： ki n ．
i 1 9
【答案】(1) 2x y 1 0
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】
（1）借助导数的几何意义计算即可得；
3
（2）（ⅰ）令 h x sinx x x ，即证 h x 0 在 x 0时恒成立，借助导数，多次求导
6
2
i 1 1 1
后即可得；（ⅱ）计算可得 ki 2 sin i 1 2cos i 1 1

，由（ⅰ
x
）可得 cosx 1 ，即可2 2 2
1
得 cos i 1 1
1
2i 3 0，借助放缩法可得 2
i 1sin 1 1 7 1
2 2 2i 1
2cos
2i 1
1 1 2i 2 ，结合等 6 2
比数列求和公式及放缩即可得证.
【详解】（1）
当 a 1时， f x 2xlnx 1， f 1 1，所以 f x 2lnx 2，
曲线 y f x 在点 1,1 处切线的斜率为 f 1 2，
所以切线方程为 y 1 2 x 1 ，即 2x y 1 0 ；
（2）
1
ⅰ 3 x
3
（ ）要证 g x f x x ，即证 x 0时， sinx x ，
6 6
h x sinx x x
3
令 ，即证 h x 0 在 x 0时恒成立，
6
x2 x2
因为 h x cosx 1 ，令m x cosx 1，则m x sinx x，
2 2
令 n x sinx x ，则 n x 1 cosx 0,n x 在 0, 内单调递增，
所以 n x sin0 0 0，即m x 0, m x 在 0, 内单调递增，
所以m x cos0 0 1 0 , 即 h x 0,h x 在 0, 内单调递增，
所以 h x sin0 0 0 0 ，即得证；
6
{#{QQABZbQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}
g 1 g 1 i 1 i
ⅱ * k 1 1（ ） i N 时， i
2 2
1 1 2
i 1
sin sin


2
i 2i 1
2i 1 2i
1 1
2i 1 2sin i 1 cos i 1 sin
1
i 1 2
i 1sin 1 1
2 2 2 2i 1
2cos
2i 1
1 ，

x2 x2 1 1
由（ⅰ）知，m x cosx 1 0，即 cosx 1 ，则 cos
2 2 2i 1
1 2i 3 0， 2
2i 1sin 1 所以 i 1 2cos
1
1 2i 1sin 1 2 1 1 i 1
1
2 2 2i 1 22i 3
2i 1sin 1 1 1 1 1 1i 1
i 1
2 22i 2
2 1
2i 1 6 23i 3 22i 2
1 1 1 1 1 7 1 1 1 7 1
6 22i 2

22i 2
1 ，
6 22i 2 6 24i 4 6 22i 2
1 1 1
n 7 1 1 1 1 7 16 22n 2

k n n 4 7 1 1 1i 4 6 8 2n 2 1 n



i 1 6 2 2 2 2

6 1 6 12 12 4
n
4
n 7 7 1 n 1 n
7 n 16 n 1 ，即得证.
72 18 4 72 144 9
x2
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由（ⅰ）中得到 cosx 1 ，从而得到
2
cos 1 1 7 1
2i 1
1 2i 3 0，从而借助放缩法，得到 k 1 2 i 6 22i 2
.
{#{QQABbZQQSEg4ogoiAQQ0pBTAACRTh5CrQQQQVE0gCCAAuCQQkkIEAiALOCoAkCRoRGAQMBOAAMQMLAyAYBFyARBFI A=B}A#}A=}#}