6. f(x) R x 0 xf
(x) f (x)
2024 年 4 月高二数学考试 已知 是定义在 上的偶函数，当 时， 2 0，且 f(-1)=0，则不等式x
一、单选题 f (x)
0的解集是（ ）
1. 2已知随机变量 X 服从正态分布 N 2, ，若 P 1 X 2 0.35 ,则P X 5 x （ ）
A．( 1，0) (0，1) B． ( ，1) (1， )
A．0.65 B．0.5 C．0.15 D．0.1
C．( ， 1) (0，1) D．( 1，0) (1， )
2.甲、乙、丙 3位志愿者安排在周一至周五的 5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一
7. x x已知函数 f (x) x2 cos2x，则满足 f 2 1 f 3 1 的实数 x的取值范围是（ ）
天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（ ）
A．(0,1) B． (0, ) C． ( 1,0) D． ( , 0)
A．20种 B．30种 C．50种 D．60种
2
3.俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地 8月份刮风的概率 8.已知函数 f x 3x a a R ，g x x
3 9x .若存在实数b使不等式 f x g x 的解集
13 11 7
为 ，下雨的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 .记事件A为“8月份某天刮风”，事件 B 为 b, ，则实数 a的取值范围为（ ）
31 31 31
为“8月份某天下雨”，则 P B A （ ） A． , 27 5, B． , 27 5,
7 7 7 11
A． B． C． D． C． , 27 D． 5,
11 13 31 31
4.随机变量 X 的分布列如下表，若 E(3X 3) 6，则D(X ) （ ） 二、多选题
9.甲 乙 丙 丁 戊共 5位志愿者被安排到A， B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求
X -2 1 2
每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是
P a b 1 A．不同的安排方法共有 240种2
1
A B．甲志愿者被安排到A学校的概率是．0 B．2 C．3 D．4 4
5.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸 C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有 120种
2
凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数 f x 在 a,b 上的导函数为 f x ， D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是 5
f x 10.下列命题中，正确的有（ ）在 a,b 上的导函数为 f x ，在 a,b 上 f x 0恒成立，则称函数 f x 在
A． X 服从 B n, p ，若 E X 30，D X 20 2，则 p ；a,b 上为“凹函数”.则下列函数在 0,2 上是“凹函数”的是（ ） 3
1
2 B
n
．若已知二项式 (ax ) 的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为
A. f (x) x sin x B. f (x) x sin x x
84，则 a 1
C. f (x) x ln x D. f (x) ex x ln x
答案第 1页，共 3页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}
P A 0 P B 0 P A B P B A 三、填空题C．已知 ， ， 若A， B互斥，则
12. x y 2 2 x 6展开式中 x4 y项的系数是 .
D．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有
13. 50张彩票中只有 2张中奖票，今从中任取 n张，为了使这 n张彩票里至少有一张中奖
两位女生相邻，则不同排法有 48种．
的概率大于 0.5，n至少为________．
11.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一 ln x , x 0,14．已知函数 f x 2 若方程 f x a有三个不同的实数根x ，x ， x ，且
x 1, x 0,
1 2 3
个起始点 x0，如图，在 x x0处作 f x 图象的切线，切线与 x轴的交点横坐标记作x1：用x1
x1 x2 x3，则 ax1x2x3的取值范围是 .
替代 x0重复上面的过程可得x ；一直继续下去，可得到一系列的数 x0，x ，x ，…，x2 1 2 n，… 四、解答题
* 1 n
在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 xn 1， xn n N 近似值相等时，该值即作为函数 15.已知 (x ) 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．2 x
f x 3的一个零点 r .若要求 3 6的近似值 r (精确到 0.1)，我们可以先构造函数 f x x 6， (1)求 n的值；
(2)求展开式中所有二项式系数的和，并求出二项式系数最大的项；
再用“牛顿法”求得零点的近似值 r，即为 3 6的近似值，则下列说法正确的是（ ）
(3)求展开式中所有的有理项．
16.已知二次函数 h x ax2 bx c c 3 的导函数 y h x 图象如下图所示，设
f x 6ln x h x ．
A．对任意 n N*， xn xn 1
2 2
B．若 x0 Q，且 x0 0，则对任意 n N*， xn x 3 n 1 x2n 1
C．当x 20 时，需要作 2条切线即可确定 r的值 (1)若函数 y f x 1,m 1 在区间 上单调，求实数m的取值范围；
2
D．无论 x0在 2,3 上取任何有理数都有 r 1.8 (2)若函数 y x， x 0,6 的图像总在函数 y f x 图象的上方，求 c的取值范围．
答案第 2页，共 3页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}
17.某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第
一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平，经
过第一次烧制后，甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4 ，经过第二次烧制后，
甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75，
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)分别求甲 乙 丙三件产品经过两次烧制后合格的概率
(1)估计这 100辆汽车的单次最大续航里程的平均值 x（同一组中的数据用该组区间的中点
(3)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 X ，求随机变量 X 的数学期望和方差.
值代替）．
(2)根据大量的测试数据，可以认为该款汽车的单次最大续航里程 X近似地服从正态分布
N , 2 ，经计算第（1）问中样本标准差 s的近似值为 50，用样本平均数 x作为 的近似
1 值，用样本标准差 s作为 的估计值，现从该款汽车的生产线任取一辆汽车，求它的单次最
18.已知函数 f x 2x 2ln 1 x .
x 大续航里程恰在 250千米到 400千米之间的概率．
(1)求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)求函数 f x 的单调区间； (3)某线下销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送车模”活动，客户可根据抛掷
硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，若车模最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优
(3)求方程 f x 2 0的实数根个数.
惠券 8万元；若最终停在“赠送车模”方格时，则可获得车模一个．已知硬币出现正、反面的
概率都是 0.5，车模开始在第 0格，客户每掷一次硬币，车模向前移动一次．若掷出正面，
车模向前移动一格，若掷出反面，车模向前移动两格，直到移到第 4格（幸运之神）或第 5
格（赠送车模）时游戏结束．若有 6人玩游戏，每人参与一次，求这 6人获得优惠券总金额
的期望值．
19.某品牌国产电动车近期进行了一系列优惠促销方案．既要真正让利于民，更要保证品质
2
参考数据：若随机变量 服从正态分布 N , ，则 P ≤ 0.6827，
兼优，工厂在车辆出厂前抽取了 100辆汽车作为样本进行单次最大续航里程的测试．现对测
试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． P 2 2 0.9544， P 3 3 0.9973
答案第 3页，共 3页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}x
2024 年 4 月高二数学考试 由 f 2 1 f 3x 1 可得： 2x 1 3x 1，即 2x 3x 0
参考答案： x x x x x x
令 g x 2 3 g x 2 ln 2 3 ln3 0 所以 g x 2 3 单调递减，而 g 0 0
1．C
1 所以 2
x 3x 0的解集为 ( , 0)故选：D
2 A 3． 【详解】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有 A5 20种方法.3
8．A【详解】由 f x g x 得3x2 a x3 9x，
3．B
即 a x3 3x2 9x，令 h(x) x3 3x2 9x，则 h (x) 3(x 1)(x 3)1 ，
a 1
b 1
a
4 B 6． 【详解】由题意可知， 2 ，解得 ， 则 h(x) x3 3x2 9x在 , 1 1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，在 3, 上单调递增，
3 2a b 1 3 6 b 3
所以 h(x)的极大值为 h( 1) 5，h(x)的极小值为 h(3) 27，由 f x g x 解集为 b, ，得：h(x)的
又 E(3X 3) 3E(X ) 3 6，所以 E(X ) 1；
2 1 2 1 2 1 图象在直线 y a上方的图象对应的 x b, ，则实数 a的取值范围为 , 27 5,
所以D(X ) 2 1 .1 1 2 1 2 .故选：B.
6 3 2
9．ABD甲 乙 丙 丁 戊共 5位志愿者被安排到 A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
5.【答案】B对 A， f x 1 cos x, f x sin x，当 x , 2 时， f x 0，所以 A错误；
2 4
则共有C5 A4 240种安排方法，故 A正确；
对 B， f x 2x cos x， f x 2 sin x 0在 0,2 上恒成立，所以 B正确；
甲志愿者被安排到 A学校，
对 C ， f x 1 1 ， f x 1 2 0 C 2 3，所以 错误； 若 A学校只有一个人，则有C4 A3 36种安排方法，x x
1 若 A
4
学校只有 2个人，则有A4 24种安排方法，
x
对 D， f x e ln x 1， f x ex 1 1 ，因为 f
x e
ee e 0，所以 D错误．
所以甲志愿者被安排到 A学校有36 24 60种安排方法，
60 1
xf (x) f (x) f x f6 D x 0 x 所以甲志愿者被安排到 A学校的概率是 ，故 B正确；． 【详解】由题意，当 时， 2 0，则函数 在 0, 上单调递增，而 240 4x x x
2 3
若 A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有C A 60种，故 C错误；
f x f x 5 3
f(x) 是定义在 R上的偶函数，容易判断 是定义在 ,0 U 0, 上的奇函数，于是 在 ,0
x x 甲志愿者被安排到 A学校有60种安排方法，
f 1 f 1 f (x)
上单调递增，而 f(-1)=0 ，则 0, 0 .于是当 x ( 1，0) (1， )时， 0 .故选：D.
1 1 x 在甲志愿者被安排到 A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有 24种，
7．D【详解】 f ( x) x 2 24 2 cos 2x x2 cos 2x f x 故 f (x) x2 cos2x为偶函数 所以在甲志愿者被安排到 A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是 ，故 D正确.
60 5
且 f (x) 2x 2sin 2x 2 x sin 2x 当 x 1时， sin 2x 1,1 x sin 2x 0恒成立， np 30 1
10．BCD【详解】A选项，依题意
np 1 p
p
20，解得 ，所以 A选项错误.3
所以 f (x) 0恒成立，当 x 1时， f (x) x2 cos2x x x单调递增，而 2 1 1， 3 1 1
答案第 1页，共 4页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}
2 2x
B选项，由于二项式 (ax
1
) n n 1的第三项和第八项的二项式系数相等， 所以与 x轴的交点横坐标为 xn x x 2 3 ，故 B正确；n 1
9 x 1 2 111 1.8
所以C2 7
2 2 11
n Cn，所以 n 2 7 9
2
，二项式 (ax 1 )9 ax x 2 ， C，因为 x1 2 2 1.8， 11
2
3 6 ，所以两条切线可以确定 r的值，故 C正确；
x 2 3 6 6
1
r
3 xr 9 r 2,3展开式的通项公式是C ax x 2 a9 r r
9 r D，由选项 C可知， r 1.8，所以无论 0在 上取任何有理数都有 r 1.8，故 D正确.故选：BCD2
9 C9 x ，
12．320 2 6 6 6 6【详解】由 x y 2 x =x2 2 x 2xy 2 x y2 2 x ，
9 3 9 6 6令 r 0，解得 r 6，所以 a C9 a
3 C39 84a
3 84,a 1，所以 B选项正确.
2
所以 x4 y的系数为 2xy 2 x 6中 x4 y的系数， 2xy 2 x 6 3 3展开式中 x4 y为 2 C6 2 =320，
C选项，若A， B互斥，则 P AB 0，则根据条件概率公式 P A B P B A 0，所以 C选项正确.
2 48! 48!
D选项，记另一个男生为乙， C1C n 1 2 n 2
13.P(X≥1) 2 48
C2C 48 n 1 ! 49 n ! n 2 ! 50 n ! 1＝ n n 0.5 50! ，2 2 C C 50! 2
若站法如下：方法有 2 C A 50 503 2 12种. n! 50 n ! n! 50 n !
女 甲 女 女 乙 2n 50 n n n 1 1
所以 ，解得 n≥15.
50 49 50 49 2
女 甲 乙 女 女
2 3
4
若站法如下：方法有A4 24种. 14． , 0 【详解】当 x 0时， f x 0，当 x 0时 f x ≤1.
9
甲
当 a<0时，方程 f x a只有一个实数根.
2 2
若站法如下：方法有 2 C3A2 12种 当 a 0或 a 1时，方程 f x a有两个实数根.
女 女 乙 甲 女 当0 a 1时，方程 f x a有三个不同的实数根，分别为x ，x x x1 2， 3，又 1 x2 x3，
乙 女 女 甲 女
.综上所述，方法数共有12 24 12 48种，所以 D选项正确.
11．BCD【详解】A，因为 f x x 3 6，则 f x 3x2，设 x0 1，则切线方程为 y 5 3 x 1 ，
x x 8切线与 轴的交点横坐标为 1 2.7，所以 x1 x0，故 A错误；3
B， x xn 1处的切线方程为 y 3 x 2n 1 x x 3n 1 xn 1 6，
可知 a f x 21 x1 1，且 1 x1 0， ln x2 ln x 23，∴ x2x3 1，∴ ax1x2x3 ax1 x1 1 x1，且
答案第 2页，共 4页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}
1 x1 0 .记 h x x 2 1 x， 1 x 0，则 h x 3x2 1 f x 6ln x h x 6 2 x 1. f x x 3 因为 ，所以 2 x 8 ，x x
当 h x 3x2 1 0 x 3时， ，当 1 x 3 ， h x 0， 当 0 x 1或 x 3时， f (x) > 0，当1 x 3时， f x 0，
3 3
3 f x 0,1 3, 1,3
当 x 0时， h x 0，∴ h x 3 2 3 所以
在 和 上递增，在 上递减，
的极小值也是最小值， h ，3 3 9
1 m 1
y f x 1,m 1
2 1 5
h x 0 h 0 0 ax x x 2 3 ,0 因为函数 在区间 上单调，所以x ，解得 m ；又当 1时， → ， ，∴ 1 2 3的取值范围是 9 2 m 1 3
2 2
2
1 n r1 1 r15 1 x T Cr xn r Cr
n 3r （2）因为函数 y x， x 0,6 的图像总在函数 y f x 图象的上方，
【详解】（ ） 的展开式的通项为 2r 1 n n x （r＝0，1，2，…，，
2 x 2 x 2
所以 c x2 6ln x 7x， x 0,6 恒成立，
∵展开式中的第二项和第三项的系数相等，
g x x 2 6lnx 7x g x 2x 6 2x
2 7x 6 2x 3 x 2
2 令 ，则 7 ，
C1 1 2 1 1 1
n n 1 x x x
∴ n Cn 22
，即 n ，∴n －5n＝0，解得 n＝5或 n＝0（舍）；
2 2 4 2
当0 x
3 3
或 x 2时， g x 0，当 x 2时， g x 0，
2 2
（2）展开式中所有二项式系数的和为C0 C1 C2 C3 C4 C5 255 5 5 5 5 5 32；
g x g 3 所以 的最小值为 和 g 6 中较小者，
2
g 3 33 3 3因为 6ln ,g 6 6 6ln 6 g
，所以 g 6
9
12ln 2 0，
2 4 2 2 4
所以 g x g 6 6 6ln 6min ，又 c 3，所以 c 6 6ln 6 .
17．【详解】（1）分别记甲 乙 丙经第一次烧制后合格的事件分别为 A1, A2 , A3，
r r 3r
（3）二项式展开式的通项为T Cr x 5 r
1 5
r 1 5 C
r
1
5 x 2 （r＝0，1，2，…，5），
2 x 2 设 E表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则P(E) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1A2A3)
当 r＝0，2，4时，对应项是有理项， 0.5 (1 0.6) (1 0.4) (1 0.5) 0.6 (1 0.4) (1 0.5) (1 0.6) 0.4 0.38；
1
0
1
2 4
5 1 5 （2）分别记甲 乙 丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件
A,B,C，
所以展开式中所有的有理项为T C0 x5 51 5 x ，T
2 5 3 2
3 C5 x x ，T5 C
4 x5 6 ．
2 2 5 2 2 16x
则 P A 0.5 0.6 0.3， P B 0.6 0.5 0.3，P C 0.4 0.75 0.3 .
16．【详解】（1）解：因为h x ax2 bx c c 3 ，
（3）由（2）知 P A P B P C 0.3，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，且 X ~ B(3,0.3) ,
8a b 0 a 1
h x 2ax b h x 2x 8 P(X 0) (1 0.3)3 343 441所以 ，由题意得 ，解得 ，则 ， 故 ； P(X 1) C13 0.3 (1 0.3)2 ；
b 8 b 8 1000 1000
P(X 2) C23 0.3
2 (1 0.3) 189 ， P(X 3) 0.33
27
.
1000 1000
答案第 3页，共 4页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}
所以随机变量 X 的分布列为 19．【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出 x．
X 0 1 2 3 （2）由 X ~ N (300， 50
2 )．利用正态分布的对称性可得 P(250 X 400)．
（3）计算车模移到第 4格或第 5格时的概率，计算一次游戏优惠券金额的期望值，再求 6人获得优惠
343 441 189 27
P
1000 1000 1000 1000 券总金额的期望值．
X E(X ) np 3 0.3 0.9 D(X ) np(1 p) 3 0.3 1 0.3 0.63 【详解】（1）估计这 100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：故随机变量 的数学期望 ，
1 x 0.002 50 205 0.004 50 255 0.009 50 305 0.004 50 355 0.00 1 50 405 300 千米
18【详解】（1）因为 f x 2x 2 ln 1 x ，
x 2 X ~ N 300,502（ ）由 ，它的单次最大续航里程恰在 250千米到 400千米之间的概率为：
1 2
所以 f x 2 2 ， f 1 0， f 1 2ln 2 3，x 1 x P(250 X 400) 0.9544 0.9544 0.6827 0.8186．
2
故曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程 y 2 ln 2 3；
1
（3）硬币出现正、反面的概率都是 2 ，
1 2 x 1 2x2 2x 1
（2） f x 2 ， x 1且 x 0 . 1
x2 1 x x2 1 x 第一次掷出正面，车模移动到第 1格，其概率为 P1 ，2
P 1 P 1 3当 x , 1 时， f x 0， 移动到第 2格有两类情况：掷出 2次正面或掷出 1次反面， 2 1 ，2 2 4
1 1 1 3 5当 x 1,0 0,1 时， f x 0， 同理， P3 P1 P2 2 2 ，4 8 8
故 f x 的单调增区间为 , 1 ，单调减区间为 1,0 和 0,1 ； P 1 P 1 P 3 5 114 ，2 2 2 3 8 16 16
（3）令 g x f x 2，则 g x 在 , 1 上单调递增，在 1,0 和 0,1 上单调递减，
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为 X万元， X 8或 0，
g 3 13 4 ln 2 0， g 1 2ln 2 1 0，
3 ∴X的期望 E X 8
11 21 11
0 万元
16 32 2
g x 在 3, 1 上有一个零点，
设这 6人获得优惠券总金额为 Y万元，优惠券总金额的期望值 E Y E 6X 11 6 33万元.
2
g 1 5 2 ln
4 1
0 g x ， 在 1, 上有一个零点，
3 3 3 3
g 1 5 2 ln 2 0 g
99 99 100 ， 2 ln100 2 5 4 ln10 0，
2 100 50 99
g x 1 , 99 在 上有一个零点，
2 100
所以 g x 在 , 1 、 1,0 和 0,1 各有一个零点，
即方程 f x 2 0的实数根个数为3 .
答案第 4页，共 4页
{#{QQABTQQAggigQJJAARhCQQHQCAOQkBGCAAoGwBAAMAABCRNABAA=}#}
