2023-2024学年数学八年级下册期中测试试题（沪科版）基础卷含解析

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2023-2024学年数学八年级下册（沪科版）
期中测试 基础卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共36分）
1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B． C．且 D．且
4．（本题3分）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
5．（本题3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车1月份的售价为20万元，3月份的售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
7．（本题3分）设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　）
A．1， B．1，3 C．， D．，3
8．（本题3分）已知是方程的一个根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．（本题3分）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，已知，以，为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，连接，若，，，的值为（ ）
A．82 B．81 C．41 D．62
11．（本题3分）三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．48 B．64 C．80 D．128
12．（本题3分）在中，，，，则以为边的正方形的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．25
评卷人得分
二、填空题（共18分）
13．（本题3分）二次根式中，字母x的取值范围是 ．
14．（本题3分）已知，，则 （结果保留两位小数）.
15．（本题3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
16．（本题3分）某公司1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，如果1、2月份的增长率相同，那么增长率为
17．（本题3分）在中，，，，则 ．
18．（本题3分）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）（1）；
（2）计算：．
20．（本题10分）用适当的方法解方程．
(1)；
(2)．
21．（本题8分）已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值．
22．（本题10分）如图，在中，，，点是线段上一点，连接，，．
(1)证明：；
(2)求的长．
23．（本题10分）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的垂直平分线与边和分别交于点D、E．若，，求的长．
24．（本题10分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设其中、、、均为整数，
则有．
，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：_____________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；
(3)若，且、、均为正整数，求的值．
25．（本题10分）某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克．
(1)若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？
(2)2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？
参考答案：
1．D
【分析】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据二次根式的定义判断即可．
【详解】A、中没有意义，不是二次根式，选项错误，不故符合题意；
B、中当时，不是二次根式，选项错误，不故符合题意；
C、中不是二次根式，选项错误，不故符合题意；
D、中是二次根式，选项正确，故符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0知：，可求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
先化简，然后根据同类二次根式的概念计算求解．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并，
∴，解得，
故选：B．
5．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；首先根据1月份售价为20万元，月平均降价率是可得出2月份的售价为万元，3月份的售价为万元，据此根据3月份售价为16.2万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，且，
故选：C．
7．C
【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可；
【详解】解：是关于x的方程的两根，
，
是关于x的方程的两根，
，，即，
将代入整理得，
，解得，
故选：．
8．B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选B．
9．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴
故选：．
10．A
【分析】连接，根据证明求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可；
【详解】连接，
∵和都为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：因为三个正方形的边构成一个直角三角形，且已知两个正方形的面积即为两条直角边的平方，
由勾股定理，得：正方形A的边长的平方等于
∴正方形A的面积为；
故选B．
12．C
【分析】本题考查勾股定理，能运用勾股定理求边长是解题的关键.
【详解】解：∵，，，
∴，
∴以为边的正方形的周长是，
故选C.
13．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了无理数的运算，以及求近似数，把，代入，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：
15．/
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，准确列出不等式进行求解是解题的关键．
一元二次方程有两个不相等的实数根，则，把系数代入计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用．设增长率为x，根据“1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设增长率为x，根据题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：增长率为．
故答案为：
17．或
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想是解题的关键；
按已知画出图形，分两种情形分别求解即可．①当的高在三角形内时，②当高在外时．
【详解】当为锐角时，
过点A作于点D，
在中，，，
，，
在中，，
；
如图，当为钝角时，过点A作，交BC延长线于点D，
在中，，，
，，
在中，，
；
故答案为：或．
18．54
【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案．
【详解】在中
，，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积：，
故答案为：54．
19．（1）；（2）1
【分析】本题考查实数的运算．
（1）先去绝对值，再计算加减即可；
（2）先算算术平方根，立方根，再算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)，．
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
【详解】（1）解：
移项，得：，
配方，得：，
开方，得：，
解得：，．
（2）解：
移项，得：，
因式分解，得：，
即：或，
解得：，．
21．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．
【详解】解：方程的两个实数根分别为，，
由根与系数的关系可知，，.
，
，即，
解得，
，
.
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理；
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】（1）在中，，，，
是直角三角形，且，即．
（2）设，则
由（1）可知，所以．
在中，，
，解得
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，正确的作图，掌握相关性质和定理，是解题的关键：
（1）根据尺规作垂线的方法作图即可；
（2）连接，设，则，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）如图：
（2）连接，设，则，
垂直平分，
在中，，
即
解得：
．
24．(1)
(2)13，4，1，2
(3)7或13
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，
（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，；
故答案为：，．
（2）解：由（1）可得，，，；
故答案为：13，4，1，2．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴，，或，，；
∴a的值为7或13．
25．(1)土豆平均亩产量的年增长率为
(2)该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
（1）设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x，根据2023年土豆的平均亩产量达到1440千克，列出方程进行求解即可；
（2）设增加土豆种植面积a亩，根据土豆种植的总成本不变，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x．
根据题意，得．
解得，．（不合题意，舍去）
答：土豆平均亩产量的年增长率为．
（2）解：设增加土豆种植面积a亩．
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去），．
答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变．
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