福建省福州市福建师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案）

福建师大附中2022-2023学年下学期期末考考试
高二数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
试卷说明：
（1）本卷共四大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知，则“”是“函数在内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A． B．10 C． D．30
6．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A．540种 B．504种 C．486种 D．432种
7．已知，若，则等于（ ）
A． B． C．0 D．1
8．从装有个红球和个蓝球的袋中（，均不小于2），每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为；“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.
9．下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A．变量与具有负相关关系 B．剔除后不变
C．剔除后的回归方程为 D．剔除后相应于样本点的残差为0.05
11．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解
12．已知数列满足，，则（ ）
A．是递增数列 B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：每小题5分，共20分.
13．若，则 .
14．在一次投篮游戏中，每人投篮3次，每投中一次记10分，没有投中扣5分，某人每次投中目标的概率为，则此人恰好投中2次的概率为 ，得分的方差为 .
15．现有5人通过闸机进站乘车，已知有3个不同的闸机，每人只需通过一个闸机，每个闸机每次只能过1人，而且每个闸机都要有人经过，则有 种不同的进站方式（用数字作答）.
16．已知函数，（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为 .
四、解答题：6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
已知为数列的前项和，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
18．（本小题12分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值.
19．（本小题12分）
甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制.根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4.
（1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了局比赛，求随机变量的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大；
（2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？
20．（本小题12分）
某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
天数
人数 4 15 33 31 11 6
（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且.用频率估计概率，若全校有3000名学生，请估计参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，天数在的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：
性别 活动天数 合计
男生
女生
合计
并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：；；.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（本小题12分）
经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
360 54.5 1360 44 384
3 588 32 6430
表中，，
（1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
22．（本小题12分）
已知函数，，.
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；
（3）证明不等式：.
【参考答案】
福建师大附中2022-2023学年下学期期末考考试
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.
1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．A 8．D
二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.
9．BD 10．BC 11．ABD 12．ABD
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：每小题5分，共20分.
13．365
14．； 720
15．720
16．
四、解答题：6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1） 【详解】当时，，解得：.
当时，，
所以，即，
所以
所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（2） 由（1）可知数列是以为首项，2为公比的等比数列.
所以，所以，.
.
所以时，即，所以，所以的最大值为2.
18．（1） 【详解】.
所以，，
所以在点处切线的方程为，
即.
（2） 当时，，，
令，则.
当时，，所以在单调递减.
所以.
所以，函数在上单调递减.
函数在上单调递减.
所以，即函数的最小值为0.
19．（1） 由题意知：的可能取值为3，4，5.
则；；；
则的分布列为
3 4 5
0.28 0.3744 0.3456
，进行四局比赛的可能性最大.
（2） 作为甲队领队，希望甲队最终获胜；
若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为
；若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为
；
，作为甲队领队，希望采用五局三胜制.
20．（1） 【详解】由频数分布表知
，则，
，
，
，
参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.
（2） 由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有20名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有女生人数：
由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，
参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有女生人数：
列联表如下：
性别 活动天数 合计
男生 20 30 50
女生 32 18 50
合计 52 48 100
零假设为；学生性别与获得“运动达人”称号无关
依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.
21．（1） 【详解】根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为与之间的回归方程模型；
令，则，，
，，
关于的回归方程为.
（2） 由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为0，1，2，
设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，
由全概率公式
，
，，
所以取出“死卵”个数的分布列为：
0 1 2
.
所以取出“死卵”个数的数学期望.
22．（1） 由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，即，
（2） 对，总存在使得成立，等价于，
由（1）可知，即问题转化为，
当时，在上恒为正，满足题意，
当时，由，得，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
当，即时，在上单调递增，则，所以，得，所以，
当，即时，在上递减，在上递增，因为，所以只要，得，所以，
当，即时，在上单调递减，则，所以，得，不合题意，
综上，的取值范围为.
（3） 由（1）得，即，
取，则，
所以，即，
所以
.