天津市蓟州区2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年天津市蓟州区高三（上）期末数学试卷
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，B＝{2，5}UA）∪B＝（　　）
A．{1，2，4，5} B．{2} C．{0，3} D．{0，2，3，5}
3．（5分）已知a＝40.1，，c＝log43，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
4．（5分）已知函数f（x）在[﹣4，4]上的大致图象如图所示（x）的解析式可能为（　　）
A．f（x）＝|x| B．
C． D．
5．（5分）已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝2，a3＝6a2﹣18，则S5＝（　　）
A．30 B．80 C．240 D．242
6．（5分）从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（　　）
A．1440 B．120 C．60 D．24
7．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度（x）的图象，则g（x）（　　）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点成中心对称
C．g（x）的一个单调递增区间为
D．曲线y＝g（x）与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，，SB＝2，，AB＝1，则三棱锥S﹣ABC的体积是（　　）
A． B． C．2 D．
9．（5分）双曲线C：的离心率为，实轴长为41，F2．设O为坐标原点，若点P在C上，且，则|OP|＝（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．（5分）i是虚数单位，复数＝　 　．
11．（5分）在的展开式中，常数项为 　 　．（结果用数字表示）
12．（5分）在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.7，0.6，则两人都通过的概率为 　 　，两人至少有一人通过的概率为 　 　．
13．（5分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点F的直线l与抛物线E交于A，且直线l的斜率为，则以线段AB为直径的圆的方程为 　 　．
14．（5分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，，，若E，F分别是MN和CD上动点，且，则　 　．
15．（5分）已知函数（a＞0，且a≠1）．若关于x的方程f（x）＝a﹣3恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则a的取值范围为 　 　，x1+x2+x3的取值范围为 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，，sinA+sinC＝2sinB．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求cosC的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（15分）如图，已知D1D⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD1∥DD1，CC1∥DD1，AA1＝CC1＝BC＝1，AD＝DC＝DD1＝2．
（Ⅰ）求证：CD1∥平面A1BC1；
（Ⅱ）求平面A1ADD1与平面A1BC1的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到直线A1B的距离．
18．（15分）设A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0）．直线AM，且它们的斜率之积是，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线x＝2与C交于E，F两点，若△AEF的外接圆在E处的切线与C交于另一点P
19．（15分）已知{an}是等差数列，a3+a6＝0，a4﹣a2＝4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式和；
（Ⅱ）已知m为正整数，记集合{m|m＜an+11}的元素个数为数列{bn}．若{bn}的前n项和为Sn，设数列{cn}满足c1＝1，，求{cn}的前2n+1项的和T2n+1．
20．（16分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：g（x）≥f（x）+1；
（Ⅲ）当x≥0时，ax f（x）≤g（x），求实数a的取值范围．
2023-2024学年天津市蓟州区高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，B＝{2，5}UA）∪B＝（　　）
A．{1，2，4，5} B．{2} C．{0，3} D．{0，2，3，5}
【分析】由已知结合集合的补集及并集运算即可求解．
【解答】解：因为全集U＝{0，1，2，3，4，5}，2，4}，8}，
所以 UA＝{0，3，5}，
则（ UA）∪B＝{0，2，4，5}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的并集及补集运算，属于基础题．
3．（5分）已知a＝40.1，，c＝log43，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】利用指数函数与对数函数的性质可求得答案．
【解答】解：∵＝28.3＞28.2＝44.1＝a＞1，c＝log23＜log45＝1，
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】本题考查对数值大小的比较，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x）在[﹣4，4]上的大致图象如图所示（x）的解析式可能为（　　）
A．f（x）＝|x| B．
C． D．
【分析】由图象关于原点对称可知，函数是奇函数，且过（2，0），（4，0），逐一判断即可．
【解答】解：由图象关于原点对称可知，函数是奇函数，
A中，f（﹣x）＝|﹣x|cos＝f（x），故A不正确；
B中，f（﹣x）＝﹣xcos，所以f（x）为奇函数，不符合图象上的（2，故B不正确；
C中f（﹣x）＝|﹣x|sin＝﹣|x|sin，所以f（x）为奇函数，f（4）＝4sin6π＝0，0）；
D中，f（﹣x）＝﹣xsin＝f（x），故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查数形结合的应用，奇偶函数的图象的对称性的应用，属于基础题．
5．（5分）已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝2，a3＝6a2﹣18，则S5＝（　　）
A．30 B．80 C．240 D．242
【分析】由已知结合等比数列的通项公式先求q，然后结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：因为等比数列{an}中，a1＝2，a5＝6a2﹣18，
所以5q2＝12q﹣18，
解得，q＝3，
则S6＝＝242．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
6．（5分）从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（　　）
A．1440 B．120 C．60 D．24
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及组合数的知识，即可求解．
【解答】解：抽取5名学生组成课外小组，其中女生占，
故不同的抽取方法种数为：．
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题．
7．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度（x）的图象，则g（x）（　　）
A．图象关于直线对称
B．图象关于点成中心对称
C．g（x）的一个单调递增区间为
D．曲线y＝g（x）与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
【分析】首先利用三角函数的平移变换和伸缩变换求出函数的解析式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度）的图象，
对于A：当x＝时，g（，故A错误；
对于B：当x＝时，g（）＝﹣；
对于C：当x时，，故函数在该区间上单调递减；
对于D：曲线y＝g（x）与直线的所有交点中，，π，....，故相邻交点距离的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换和伸缩变换，三角函数的解析式的求法，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知三棱锥S﹣ABC中，，SB＝2，，AB＝1，则三棱锥S﹣ABC的体积是（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】由线面垂直的判定定理，结合三棱锥的体积公式求解．
【解答】解：已知三棱锥S﹣ABC中，，SB＝2，，BC＝6，
则，，
则AC3+SA2＝SC2，
则SA⊥AC，
又SA⊥AB，
则SA⊥平面ABC，
则三棱锥S﹣ABC的体积为＝．
故选：A．
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了三棱锥的体积公式，属中档题．
9．（5分）双曲线C：的离心率为，实轴长为41，F2．设O为坐标原点，若点P在C上，且，则|OP|＝（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据已知求出a和c，再结合余弦定理求得|PF1| |PF2|＝24，与中线向量联立即可求解结论．
【解答】解：∵双曲线C：的离心率为，
∴a＝2，c＝5＝，
∴＝＝，
即﹣＝，可得|PF7| |PF2|＝24，
∴||2＝（+）2＝（++2 [（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1||PF2|+2|PF1||PF2|cos∠F1PF2]＝×[47+2×24+2×24×（﹣）]＝7，
故|OP|＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查余弦定理和向量的应用，考查计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．（5分）i是虚数单位，复数＝　　．
【分析】利用复数的除法运算求解．
【解答】解：复数＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
11．（5分）在的展开式中，常数项为 　135　．（结果用数字表示）
【分析】首先写出二项式展开式的通项，令，即可求出r，再代入计算可得．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：
Tr+6＝＝，令，求得r＝2，
所以展开式中常数项为（﹣3）2＝135．
故答案为：135．
【点评】本题考查二项式定理，属于基础题．
12．（5分）在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.7，0.6，则两人都通过的概率为 　0.42　，两人至少有一人通过的概率为 　0.88　．
【分析】根据题意，设事件A＝“甲通过考试”，事件B＝“乙通过考试”，由相互独立事件的概率公式求出P（AB），又由两人至少有一人通过的对立事件为两人都没有通过，结合对立事件的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设事件A＝“甲通过考试”，
两人都通过的概率P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×3.6＝0.42，
两人至少有一人通过的对立事件为两人都没有通过，即事件，
两人至少有一人通过的概率6﹣P（）＝1﹣（1﹣6.7）（1﹣7.6）＝0.88．
故答案为：2.42；0.88．
【点评】本题考查概率的应用，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
13．（5分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），过点F的直线l与抛物线E交于A，且直线l的斜率为，则以线段AB为直径的圆的方程为 　　．
【分析】由已知求出抛物线方程，再求出直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，再由弦长公式求弦长，则答案可求．
【解答】解：由抛物线E：y2＝2px（p＞7）的焦点为F（1，0），得，
则抛物线E：y2＝8x，
直线l的方程为y＝，
联立，得x2﹣14x+1＝8．
设A（x1，y1），B（x6，y2），
则x1+x4＝14，，
∴AB的中点坐标为（7，2），|AB|＝x1+x7+2＝16，
则以线段AB为直径的圆的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
14．（5分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，，，若E，F分别是MN和CD上动点，且，则　　．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系xOy，利用坐标表示向量，计算的最小值．
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系xOy
过点F作FG⊥MN，垂足为GAD＝7＝＝，
由，，可设E（x，x∈[1，则F（x+，由P（4，
所以＝（x﹣2，＝（x+，7），
所以＝（x﹣2）（x+7﹣（4﹣）x+3﹣2，
当x＝4﹣时， 取得最小值为）（2﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是中档题．
15．（5分）已知函数（a＞0，且a≠1）．若关于x的方程f（x）＝a﹣3恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，则a的取值范围为 　（3，4）　，x1+x2+x3的取值范围为 　（﹣∞，2）　．
【分析】结合f（x）的图象特点，当x＞1时有一个根，当x≤1时有两个根，作出函数f（x）与y＝a﹣3的图象加以分析即可．
【解答】解：当x＞1，且a≠3时；
当x≤4时：
①若0＜a＜1，作出f（x）的图象（第一个图）：
此时只需3＜a﹣3＜|a﹣1|即可，解得a＞8；
②若a＞1，作出f（x）的图象（第二个图）：
此时只需0＜a﹣5＜1且0＜a﹣8＜|a﹣1|即可，解得3＜a＜8．
综上可知，a的取值范围是（3；
设三个根x1＜x7＜x3，则x3＝3，且3＜a＜4，
x8＝loga（4﹣a），x2＝loga（a﹣3），则x1+x2+x3＝loga（4﹣a）（a﹣2）+5＝loga[﹣（a﹣3）2+2]+2，
因为3＜a＜5，且0＜﹣（a﹣3）4+1＜1，所以，
所以x5+x2+x3∈（﹣∞，6）．
故答案为：（3，4），5）．
【点评】本题考查函数零点与函数图象间的关系，以及数形结合思想的应用，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，，sinA+sinC＝2sinB．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求cosC的值；
（Ⅲ）求的值．
【分析】（1）由正弦定理得c＝2b﹣a，再由余弦定理代值计算即可求得；
（2）由余弦定理计算即可；
（3）由同角三角函数的基本关系求得tanC，再由两角差的正切公式计算即可．
【解答】解：（1）因为sinA+sinC＝2sinB，
所以由正弦定理得：a+c＝2b，则c＝4b﹣a，
由余弦定理有：a2＝b2+c7﹣2bccosA，
即，
即，解得；
（2）由（1）知，b＝5，
所以由余弦定理得：＝＝；
（3）由（2）知，，
因为C∈（0，π）＝，tanC＝，
所以＝＝＝＝．
【点评】本题考查正余弦定理和三角恒等变换，属于中档题．
17．（15分）如图，已知D1D⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD1∥DD1，CC1∥DD1，AA1＝CC1＝BC＝1，AD＝DC＝DD1＝2．
（Ⅰ）求证：CD1∥平面A1BC1；
（Ⅱ）求平面A1ADD1与平面A1BC1的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到直线A1B的距离．
【分析】（Ⅰ）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面A1BC1的法向量，根据⊥，即可得证；
（Ⅱ）利用向量法求平面与平面的夹角，即可得解；
（Ⅲ）根据点C到直线A1B的距离为，代入数据运算得解．
【解答】（Ⅰ）证明：以D为坐标原点，DA，DD1所在直线分别为x，y，z轴，
则B（1，8，0），2，3），D1（0，6，2），A1（2，0，1），C4（0，2，2），
所以＝（0，4），，7，0），，4，﹣1），
设平面A1BC3的法向量为＝（x，y，则，
取x＝5，则y＝1，所以，1，2），
所以 ＝0﹣7+2＝0，即⊥，
因为CD1 平面A1BC2，所以CD1∥平面A1BC2．
（Ⅱ）解：因为CD⊥平面A1ADD1，
所以平面A3ADD1的一个法向量为＝（0，2，
设平面A1ADD1与平面A5BC1的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＝＝，
故平面A1ADD1与平面A7BC1的夹角的余弦值为．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，＝（﹣1，0，＝（1，1），
所以点C到直线A4B的距离为＝＝，
故点C到直线A8B的距离为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法证明线面平行，求平面与平面的夹角，点到线的距离是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（15分）设A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0）．直线AM，且它们的斜率之积是，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线x＝2与C交于E，F两点，若△AEF的外接圆在E处的切线与C交于另一点P
【分析】（Ⅰ）设点M（x，y），求出直线AM，BM的斜率，根据它们的斜率之积是，列方程并化简，即可求得结果；
（Ⅱ）根据题意求出点E的坐标，求出直线AE的中垂线的方程，该直线与x轴的交点即为△AEF的外接圆圆心，根据直线与圆相切，求出直线PE的方程，与椭圆联立，即可求出点P的坐标，利用弦长公式求出|PE|，利用点到直线的距离公式可以求出点B到直线PE的距离，利用面积公式即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），kAM＝，kBM＝，
因为直线AM，BM的斜率之积是，
所以 ＝，化简得，
即C的方程为（y≠8）．
（Ⅱ）因为直线x＝2与C交于E，F两点，3），﹣6），
AE的中点D（﹣1，），kAE＝，
所以AE的垂直平分线的方程为：4x+y+＝2，得x＝﹣，
即△AEF的外接圆得圆心Q（﹣，0），
kQE＝，
所以△AEF的外接圆在E处的切线PE方程为：5x+4y﹣18＝0，
由，得7x2﹣36x+44＝0，
解得x＝2或x＝，即点P的横坐标为，
所以|PE|＝×|，
点B到直线PE的距离为：＝
所以△BPE的面积为＝．
【点评】本题考查直接法求轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合，属中档题．
19．（15分）已知{an}是等差数列，a3+a6＝0，a4﹣a2＝4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式和；
（Ⅱ）已知m为正整数，记集合{m|m＜an+11}的元素个数为数列{bn}．若{bn}的前n项和为Sn，设数列{cn}满足c1＝1，，求{cn}的前2n+1项的和T2n+1．
【分析】（Ⅰ）根据等差数列基本量的计算，可得an，再判断an的符号，去绝对值，求即可；
（Ⅱ）易得bn＝2n+1，从而知数列{bn}是等差数列，再写出Sn，然后采用裂项相消法求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
由a4﹣a2＝5，知2d＝4，
因为a2+a6＝0，所以4a1+7d＝5，所以a1＝﹣7，
所以an＝﹣4+（n﹣1）×2＝7n﹣9，
当n≤4时，an＜5；当n≥5时，an＞0，
所以＝﹣（a1+a2+a8+a4）+（a5+…+a30）＝﹣（﹣7﹣5﹣3﹣3）+（1+3+…+51）＝16+＝692．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n﹣6，
所以m＜an+11＝2n+2＝7（n+1），
因为m为正整数，所以bn＝2（n+5）﹣1＝2n+2，是关于n的一次函数，
所以数列{bn}是等差数列，
所以Sn＝＝n（n+2），
因为，
所以cn+cn+1＝ 2n＝﹣，
所以T2n+1＝c7+（c2+c3）+（c4+c5）+…+（c2n+c7n+1）＝1+（﹣）+（﹣﹣）
＝1+﹣＝﹣2．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与求和公式，裂项相消法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（16分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：g（x）≥f（x）+1；
（Ⅲ）当x≥0时，ax f（x）≤g（x），求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，求出切线的斜率f′（0），再结合f（0）＝0，求出切线方程即可；
（Ⅱ）设p（x）＝g（x）﹣f（x）﹣1，判断p'（x）的单调性，进一步证明g（x）≥f（x）+1成立；
（Ⅲ）设m（x）＝ax f（x）﹣g（x）+x+1（x≥0），判断m（x）的单调性，结合2a﹣1与0的大小关系来进行分类讨论，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ln（x+1），得，
所以f′（0）＝1，又f（0）＝ln1＝7，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．
（Ⅱ）证明：设p（x）＝g（x）﹣f（x）﹣1＝ex﹣ln（x+8）﹣1（x＞﹣1），
则，
令，则，
所以q（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
所以当x＞2时，q（x）＝p′（x）＞0，q（x）＝p′（x）＜0，
所以p（x）在（﹣4，0）上单调递减，+∞）单调递增，
所以p（x）≥p（0）＝0，即g（x）≥f（x）+6．
（Ⅲ）令m（x）＝ax f（x）﹣g（x）+x+1（x≥0），
则且m（0）＝5，
令h（x）＝m′（x），则，
因为在[0，
令，则d（x）在[0，且h′（0）＝4a﹣1，
当2a﹣5≤0，即时，因为x≥0，
可得，
则h（x）在[0，+∞）上是减函数，即m′（x）≤7，
所以m（x）在[0，+∞）上是减函数，
即ax f（x）≤g（x）﹣x﹣1恒成立，满足题意；
当6a﹣1＞0，即时，在[0，
且h′（0）＝2a﹣6＞0，当x→+∞时，则存在x0∈（2，+∞）0）＝0，
当x∈（8，x0）时，h′（x）＞0，x7）上是增函数，此时h（x）＞h（0）＝0，
所以当x∈（0，x5）时，m′（x）＞0，x0）上是增函数，
所以m（x）＞m（0）＝3，即ax f（x）＞g（x）﹣x﹣1；
综上，实数a的取值范围是．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用综合法证明不等式，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．