九年级数学下册试题 【第一次月考】综合能力提升卷-沪教版（含解析）

【第一次月考】综合能力提升卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A． B． C． D．
2．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
3．如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为的正方形中，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以边的中点为圆心，长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（ ）结果保留．
A． B． C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，分别以点A，D为圆心，以AB，CD为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．24π B．24π C．12π D．12π
7．如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5；④OC＝12．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图（1）PT与相切与点T，PB与相交于AB两点，可证明，从而有．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与相交于A、B、C、D四点，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形的边，分别在轴、轴的正半轴上，点在的延长线上．若，，以为圆心、长为半径的弧经过点，交轴正半轴于点，连接，、则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．已知的半径为，直线与相交，则圆心到直线距离的取值范围是__________．
12．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于D，且AB＝10，则AD的长为_____．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 ___．
14．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8、BD=6，则菱形ABCD的内切圆半径为 ________．
15．如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，、交于点，若，，则________．
16．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．
17．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
18．如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是_________．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
20．如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC形状并证明；
（2）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB，请画出图形，直接写出PA，PB，PC三者之间的数量关系 　 　．
21．如图1，在⊙中，，，点在劣弧上运动，连接，，交于点．
（1）求的度数；
（2）当点运动到使时，连接并延长，交于点，交于点，交⊙于点，依据题意在备用图中画出图形并证明：为的中点．
22．已知：如图1，AB是⊙O的直径，DB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，连接OD，AC∥OD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AB2＝2AC OD；
（3）如图2，AB＝，tan∠ABC＝，连接AD交⊙O于点E，连接BC交OD于点F，求EF的长．
23．如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．
（1）求的半径和直线的函数表达式．
（2）求点，的坐标．
（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
25．给出定义：有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形．
（1）如图1，在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．求证：四边形DBCF是倍对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当4DH＝3BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
答案
一、选择题。
1．B
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP=CD=3cm．
根据勾股定理，得OP==4cm．
故选B．
2．A
【分析】先根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，点为正六边形的外接圆和内切圆的圆心，
则为其外接圆半径，为内切圆半径，
正六边形的边长为6，
，
又，
是等边三角形，
，
由圆的切线的性质得：，
，
，
即正六边形的外接圆半径为6，内切圆半径为，
故选：A．
3．B
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2
AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
则（x+）2=32+x2，解得x=
∴AB=+=2
故填：2．
4．B
【分析】先利用正方形及等腰直角三角形的性质求得，再由勾股定理求出扇形的半径，根据扇形的面积公式，利用进行计算，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意有，然后根据扇形的面积公式：和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．
【详解】解：根据题意得，，
，
．
故选：．
6．A
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，连接AD、CF、BE，把六边形分成6个全等的等边三角形，等边三角形的边长为4，等边三角形的高为，每个等边三角形的面积为：，
∴正六边形ABCDEF的面积是：6×＝24，∠FAB＝∠EDC＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：24﹣＝，
故选：A．
7．C
【分析】如图，作出的外接圆，以AB为斜边在轴上方作等腰，过点E作轴于D，连接EC，过点E作轴于F，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断①；再证明E为外接圆圆心，求出半径，可判断③；再在中由勾股定理求出CF，可求得OC和，即可判断②④．
【详解】解：如图，作出的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰，
过点E作轴于D，连接EC，过点E作轴于F，
∵的外接圆的圆心必在弦AB的垂直平分线上，
∴圆心肯定不在OC上，故①错误；
∵∠ACB＝45°，
∴由圆周角定理得：所对的圆心角必为90°，
∵EB＝EA，
∴在弦AB的垂直平分线上，
∵∠AEB＝90°，
∴E必为圆心，即AE、BE为半径，
∴，故③正确；
∵BD＝5，OB＝6，
∴OD＝1，
∵∠EDO＝∠DOF＝∠OFE＝90°，
∴OD＝EF＝1，ED＝FO＝5，
∴，
∴OC＝OF+FC＝12，故④正确；
∵，
∴∠ABC≠60°，故②错误；
故选：C．
8．D
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】解：如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．
9．C
【分析】作⊙O2的切线PT．推出PT2＝PA PB，PT2＝PC PD，推出PA PB＝PC PD，由此即可解决问题．
【详解】解：作⊙O2的切线PT，连接，
由题意得：PT2＝PA PB，PT2＝PC PD，
∴PA PB＝PC PD，
∵PA＝2，PB＝7，PC＝3
∴2×7＝3PD，
∴PD＝，
∴CD＝PD PC＝ 3＝，
故选C．
10．C
【分析】连接OB，由题意易得∠BOD=60°，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
二、填空题。
11．
【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜5；
故答案为：0≤d＜5．
12．5．
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用∠ACD=∠BCD得到AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD的长度．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝10×＝5．
故答案为5．
13．十二
【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝30°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正十二边形，
故答案为：十二．
14．
【分析】根据菱形的性质，可得AC⊥BD， ，再由勾股定理可得，然后设菱形ABCD的内切圆半径为r，根据三角形的面积，即可求解．
【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ，
∵AC=8、BD=6，
∴AO=4，DO=3，
∴ ，
设菱形ABCD的内切圆半径为r，
∴ ，
∵，
∴ ，解得： ，
即菱形ABCD的内切圆半径为．
故答案为：
15．5
【分析】由题意得，AB是直径，则，根据勾股定理可得，，又根据点C为半圆的直径，得出，由勾股定理可得AC=5．
【详解】解：如图所示，连接OC，
，
∵AB是直径，
∴，
在中，AD=1，BD＝，
∴，
∴，
∵点C为半圆的中点，
∴，∠AOC=90°
∴，
∴，
故答案为：．
16．．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得，，（不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为：．
17．
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
18．3-6
【分析】连接BE，可得是等腰直角三角形，弓形BE的面积=，再根据阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积，即可求解．
【详解】解：连接BE，
∵在正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，
∴∠AEB=90°，即：AC⊥BE，
∵∠CAB=45°，
∴是等腰直角三角形，即：AE=BE，
∴弓形BE的面积=，
∴阴影部分的面积=弓形BE的面积+扇形CBF的面积-的面积
=+-=3-6．
故答案是：3-6．
三、解答题。
19．
（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
20．解：（1）结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）图形如图所示，由圆周角定理可知∠BAP=∠BCP，
由旋转的性质可知∠BAP=∠BCM，∠PBM＝60°，
∴点M恰好在CP上，
∵∠BPM＝∠PBM＝60°，
∴△PBM是等边三角形，
∴PB＝PM，
∴PC＝PM+CM＝PB+PA，
故答案为：PC＝PB+PA．
21．解：（1）如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）依据题意画图．
连接BM，CM．
∵AB=AC，
∴，
∴，
∴BM=CM，∠BAM=∠CAM=20°，
∴∠MBC=∠CAM=20°，
∵BE⊥AC，AM⊥BC，
∴∠BGD=∠AFD=90°，
∴∠BDG=∠ADF=70°，
∵∠BMA=∠ACB=70°，
∴∠BMA=∠BDG=70°，
∴BD=BM，
又∵BG⊥DM，
∴GD=GM．即:G为DM的中点．
22．
（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵AC∥OD，
∴∠A＝∠BOD，∠ACO＝∠COD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵DB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠OBD＝90°，
∴△COD≌△BOD（SAS），
∴∠OCD＝∠OBD＝90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠BOD，∠ACB＝∠OBD，
∴△ABC∽△ODB，
∴，
∴AC OD＝AB OB，
∴AC OD＝AB AB，
∴AB2＝2AC DO；
（3）如图2，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝90°，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴BD2＝DE DA，
∵AC∥OD，
∴OD⊥BC，
∴△BDF∽△OBF∽△ODB，
∴BF2＝OF DF，BD2＝DF DO，
∵AB＝，tan∠ABC＝＝，
∴BC＝3AC，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴9AC2+AC2＝10，
∴AC＝1，
∴BC＝3，
∴OB＝AB＝，BF＝BC＝，OF＝AC＝，
∴DB＝，DA＝，OD＝5，DF＝，
∴DF DO＝DE DA，
∴，
∵∠EDF＝∠ODA，
∴△DEF∽△DOA，
∴，
∴EF＝．
23．解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
24．
解：（1），
为的直径．
，，
点为，
半径为．
设直线的函数表达式为．
把，代入得，解得．
直线的函数表达式为；
∴⊙M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为．
（2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1），
，，
，
，且
，，
点为．
点，关于点对称，
点为．
（3）作轴于点，
，．
，
．
分三种情况（如图2）：
①作轴于点，
，，
，
，
，
即点为符合条件的一个点．
．
②当时，
，
．
，
（），
，
．
③当时，
，
，
．
，
，
,
，
．
综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或．
25．
（1）解：在倍对角四边形ABCD中，∠D＝2∠B，∠A＝2∠C，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴3∠B+∠3∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝120°，
∴∠B与∠C的度数之和为120°；
（2）证明：在△BED与△BEO中，
，
∴△BED≌△BEO（SAS），
∴∠BDE＝∠BEO，
∵∠BOE＝2∠BCF，
∴∠BDE＝2∠BCF
连接OC，
设∠EAF＝α，则∠AFE＝2α，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝α，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，
∴∠EFC＝∠AOC＝2∠ABC，
∴四边形DBCF是倍对角四边形；
（3）解：过点O作OM⊥BC于M，
∵四边形DBCF是倍对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴BC＝2BM＝BO＝BD，
∵DG⊥OB，
∴∠HGB＝∠BAC＝60°，
∵∠DBG＝∠CBA，
∴△DBG∽△CBA，
∴＝，
∵4DH＝3BG，BG＝2HG，
∴DG＝GH，
∴＝，
∵
∴＝．