九年级数学下册试题 第二十七章 《圆与正多边形》单元测试卷 -沪教版（含答案）

第二十七章 《圆与正多边形》单元测试卷
一、选择题（每小题4分，共24分）
1.已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O外 C．⊙O上 D．无法确定
2.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是（　　）
A．r＜3 B．r＝3 C．r＞3 D．r≥3
3.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
4.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（　　）
A．83° B．84° C．85° D．94°
5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4π，BC＝3π，半径是2的⊙O从与AC相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AC相切于点D的位置，则⊙O自转了（　　）
A．2周 B．3周 C．4周 D．5周
6.如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（每小题4分，共48分）
7.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是　　　　．
8.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是　　　．
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是　　　　．
10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠A，tan∠CBF＝，则BC的长为　　．
11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为　　．
12.如图，扇形OAB以O为圆心，2为半径，圆心角∠AOB＝60°，点C为OB的中点，连接AC．以C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D，则图中阴影部分的面积为　　　　　　﹣　　　　　（结果保留π）．
13.如图，OA、OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝2，tan∠BAC＝，则⊙O的半径长为　　　　　　．
14.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为　　　．
15.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P是上一动点，连接AP交CD于点E，则的最大值是　　　　　　．
16.如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是　　　　　　　．
17.如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是　　　．
18.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为　　　　　　．
三、解答题（共78分）
19.如图，某圆形拱门的拱顶到地面的距离CD＝4m，拱门在地面的宽AB＝4m，求拱门所在⊙O的半径．
20.如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为D，连接AE、EC．
（1）若∠AEC＝25°，求∠AOB的度数；
（2）若∠A＝∠B，EC＝4，求⊙O的半径．
21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．
22.如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于点E，弦AG⊥弦BC于点F，AG与CD相交于点M．
（1）求证：＝；
（2）若弧＝80°，⊙O的半径为6，求+的弧长和．
23.如图，已知AB是⊙P的直径，点C在⊙P上，D为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线CD为⊙P的切线．
（1）试说明：2∠B+∠DAB＝180°
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．
24.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，并交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若BC＝3，＝2，求BG的值．
25.如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动，P、Q中有一点到达终点时，另一点随之停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）几秒后，△DPQ是直角三角形；
（3）在运动过程中，经过　　　　　　秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切．
答案
一、选择题
1.解：∵⊙O的直径为6，
∴⊙O的半径为3，
∵点P到圆心O的距离为4，
∴4＞3，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
2.解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，
∴r＞3，
故选：C．
3.解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．
∵S平行四边形ABCD＝BC CH，
∴CH＝＝2，
∵2＜5，
∴直线AD与⊙C相交，
故选：A．
4.解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．
5.解：Rt△ABC中，AC＝4π，BC＝3π，
∴AB＝5π，
圆在三边运动自转周数：＝3，
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；
可见，⊙O自转了3+1＝4周．
故选：C．
6.解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝，
∴AO⊥BE，故①正确；
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴的度数＝＝72°
∴∠COD＝72°
∵∠COD＝2∠CAD
∴∠CAD＝36°；
连接CD
∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴＝＝＝，
∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，
∴∠CGD＝108°，
∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；
连接AB，AE，
则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，
∵AB＝AE，
∴△ABM≌△AEN（ASA），
∴BM＝EN＝AM＝AN，
∵∠MAN＝36°，
∴AM≠MN，③错误．
故选：A．
二、填空题
7.解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
∵r＝5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴的相离．
故答案为：相离．
8.解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴图中阴影部分的面积＝＝3π，
故答案为：3π．
9.解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
10.解：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，BE＝CE，
即∠BAE＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠BAC，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CBF＝，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，
设BE＝x，则AE＝3x，
∴AB＝＝x，
即x＝10，解得x＝，
∴BC＝2BE＝2x＝2．
故答案为2．
11.解：连接OA、OB，如图所示：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB＝3，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，
故答案为：3．
12.解：连接AB，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵点C为OB的中点，
∴OC＝BC＝，AC⊥OB，
由勾股定理得，AC＝＝＝3，
∴图中阴影部分的面积＝﹣××3﹣＝π﹣，
故答案为：π﹣．
13.解：作直径AD，连接CD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠DAC＝90°，
∵BA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠DAB＝90°，即∠DAC+∠BAC＝90°，
∴∠D＝∠BAC，
∴tanD＝tan∠BAC＝，
在Rt△ACD中，tanD＝，即＝，解得CD＝6，
∴AD＝＝2，
∴⊙O的半径长为，
故答案为：．
14.解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+PE+BE
＝PA+PB
＝2PB＝20．
答：△PED的周长是20．
故答案为：20．
15.解：过P作PQ⊥CD于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴AD∥PQ，
∴△ADE∽△PQE，
∴＝，
∴取最大值时，即取最大值，
∵AD一定，
∴当PQ取最大值时，的值最大，
∴当P为的中点时，PQ 最大，
延长PQ交⊙O于另一点于M，
则PM为⊙O的直径，
设正方形的边长为a，则PM＝AC＝a，
∴PQ＝（a﹣a），
∴的最大值＝＝＝，
故答案为：．
16.解：如图，连接DG，过点E作EH⊥AE，且DE＝EH，连接DH，FH，
∵点A（﹣4，0），点E （4，0），
∴AO＝4＝OE，
∵AO是圆D直径，
∴DO＝AO＝2，
∴DE＝6＝EH，且EH⊥AE，
∴DH＝6，
∵等腰直角三角形EGF，
∴GE＝EF，∠GEF＝∠DEH＝90°，
∴∠GED＝∠FEH，且GE＝EF，DE＝EH，
∴△GDE≌△HFE（SAS）
∴GD＝FH＝2，
∴点F在以H为圆心，2为半径的圆上，
∴当点F在DH的延长线上时，DF有最大值，
∴DF的最大值为6+2，
故答案为：6+2．
17.解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正方形的一边，
∴∠AOB＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故答案为：12；
18.解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，
∴B′H＝OE＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′E＝OH＝＝2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4，
故答案为：4．
三、解答题
19.解：连接OA，
设OA＝x，则OC＝x，
∵CD＝4m，
∴OD＝（4﹣x）m，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝×4＝2m，
OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
解得：x＝2.5，
故拱门所在⊙O的半径为2.5．
20.解：（1）连接OC．
∵半径OA⊥弦BC，
∴，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOC＝2∠AEC＝50°，
∴∠AOB＝50°．
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠ECB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵OA⊥BC，
∴EC∥OA，
∴∠A＝∠AEC，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠AEB＝∠AEC＝30°，
∵EC＝4，
∴EB＝2EC＝8，
∴⊙O的半径为4．
21.（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠OBC＝90°，
∵∠BCP＝∠BAC，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，即∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线；
（2）解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD
∴＝，
∴∠ABD＝∠DCB，
∵∠BCP＝∠BAC，∠BAC＝∠BDC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠PCB＝∠BDC，∠ABD＝∠BCD，
∴∠BDC+∠ABD＝∠BCD+∠PCB，即∠PEC＝∠PCE，
∴PC＝PE，
设PC＝PE＝x，则OP＝x+1，
在Rt△OPC中，OP2＝OC2+PC2，
∴（x+1）2＝52+x2，
解得x＝12，
∴PC＝12．
22.（1）证明：∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠DCB+∠B＝90°，∠GAB+∠B＝90°，
∴∠DCB＝∠GAB，
∴；
（2）∵的度数是80°，
∴∠B＝40°，
∴∠DCB＝50°，
∴∠GMC＝40°，
∴∠ACD+∠CAG＝40°，
23.解：（1）连接CP，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∴∠APC＝∠PCB+∠B＝2∠B，
∵CD是⊙OP的切线，
∴∠DCP＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAB+∠APC＝180°
∴2∠B+∠DAB＝180°；
（2）解：连接AC，
∵∠B＝30°，
∴∠APC＝60°，
∵PC＝PA，
∴△ACP是等边三角形，
∴AC＝PA，∠ACP＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝4，
∴PA＝4．
即⊙P的半径为4．
24.解：（1）∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠COE＝2∠B＝90°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∴EF∥OC，
∵DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）过G作GN⊥BC于N．
∴△GNB是等腰直角三角形，
∴NB＝GN，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD＝∠FED，
∵∠ACD+∠GCB＝∠GCB+∠CGN＝90°，
∴∠CGN＝∠ACD，
∴∠CGN＝∠DEF，
∵＝2，
∴tan∠EDO＝tan∠CGN＝＝2，
∴CN＝2GN，
∴CN+BN＝2GN+GN＝3，
∴GN＝1，
∴BG＝GN＝．
25.解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，
∴PD＝2PQ，∴PD2＝4 PQ2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，
∵PD2＝4 PQ2，
∴62+（2t）2＝4[（8﹣2t）2+t2]，
解得：t1＝，t2＝；
∵0≤t≤4，
∴t＝，
答：秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）∵△DPQ是直角三角形，
∴∠DPQ＝90°或∠DQP＝90°．
当∠DPQ＝90°时，∠ADP＝∠BPQ，
∴tan∠ADP＝tan∠BPQ，
∴＝，即＝，
解得：t＝，或t＝0（舍去）；
当∠DQP＝90°时，∠CDQ＝∠BQP，
∴tan∠CDQ＝tan∠BQP，
∴＝，
即＝，
解得：t＝11﹣，或t＝11+（舍去），
综上所述，当运动时间为秒或（11﹣）秒时，△DPQ是直角三角形．
（3）设经过x，秒以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切于点E，连接PE、PD，如图所示：
则PE⊥BD，PE＝AP，
在Rt△APD和Rt△EPD中，，
∴Rt△APD≌Rt△EPD（HL），
∴AD＝ED＝6，
∵BD＝＝＝10，
∴BE＝BD﹣ED＝4，
∵PE＝PA＝2x，则BP＝8﹣2x，
在Rt△BPE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（8﹣2x）2，
解得：x＝，
即经过秒，以P为圆心，AP为半径的⊙P与对角线BD相切，
故答案为：．