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7记△8C的内角4，B,C的对边分别为a,b6,c,若d=品r3c,则0合5
:宝泄t1步
海口市2024届高三年级调研考试
B.-
kC.号
D:心-2明
日代0拼志，斗表
数学
A多
注意事项
8,已知F是双曲线C:
a b
-10>0,6>0的右偏点，直线，y56与c交好g两
1,
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
点.若△ABF的周长为7a,则C的离心率为
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
A:李舞 .停年夕出7立C.夸共叠小之D本25，四
3
5
5
上。写在本试卷上无效。
3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，味小游时朱，无=m(
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
月
密
宝无=X.万5)
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。八上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
9.己知甲、乙两组样本各有10个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，下列说
樊
是符合题目要求的。
法正确的是
1在复平面内，科对应的点位于
A,若甲、乙两组数据的平均数都为a,则新数据的平均数等于a
A.第一象限
B,第二象限
C.第三象限D.第四象限
B.若甲、乙两组数据的极差都为b,则新数据的极差可能大于b
2.已知b>0,设甲：a-b>1,乙：66>1，则4g:
。.正
C。若甲、乙两组数据的方差都为c,则新数据的方差可能小于c
A.甲是乙的充分不必要条件
·B。甲是乙的必要不充分条件
D.若甲、乙两组数据的中位数都为d,则新数据的中位数等于d
的二议对H
封
C.甲是乙的充要条件
·D。甲是乙的既不充分也不必要条件
製
3.设1，m是两条直线，α，B是两个平面，则
10.已知函数f)=Asi(r+)(其中A>0, >0，问<受)的部分图象如图所示，则
A.若a∥B,I∥a,m∥B,则I∥mB.若a∥B,1∥m,m⊥B,则1La
A.0=2
C.若a上B,I∥a,m∥p,则l⊥mD.若a⊥B,I∥a,m∥B,则I∥m
B.
4已知销圆G若+号-1的2个焦点与精圆G,芳+若-1（加>0的2个货点构成正方
的图象关于点告0中心对称
m2
形的四个顶点，则m=
C.=26os
敬
线
A.√万
B.5
C.7
D.5
D.在[若-引上的值城为2
-2
5.某记者与参加会议的5名代表一起合影留念(6人站成一排)，则记者站两端，且代表甲
1山.已知S,为正项数列a,}的前n项和，4=1，S+8=士(m≥2，neN。则
与代表乙不相邻的排法种数为
A,72
B.96
C.144
D.240
点A=听.B马每，C品8472S4D:7过hn
6:已知函数因的定义域为R，f八+)是偶函数，当x<号时，f)=0-2y,则曲
,点活8，h午交限徐)1直陷3
线y=f(x)在点(2，∫(2)处的切线斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，促公串物怕8，值对(1)
12.已知集合A={3-,,B:{1-m>.0},若AUB=B,则m的取值范围是
A
B.-号
C.2
D.-2
班
数学试题第1页共4页
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海口市 2024 届高三年级调研考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A C C B A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。第 9、11 题每个正确选项 2 分；第 10
题每个正确选项 3 分。
题号 9 10 11
答案 ABD AC ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1 3
12． m 13． 15． 7 2
3 2 5 12
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）
解：（1） f (x)的定义域为R ， f (x) =1 ae
x
． …… 2 分
当 a≤ 0时， f (x) 0，所以 f (x) 在 ( ，+ )上单调递增； …… 4 分
当 a 0 时，令 1 1f (x) 0，得 x ln ，令 f (x) 0，得 x ln ，
a a
所以 f (x)在 ( ，ln 1 ) 上单调递增，在 (ln 1 ，+ ) 上单调递减． …… 7 分
a a
x + 2
（2）由 f (x) = x + 2 ae
x 0 ，得 a ． …… 9 分
ex
设 g(x) =
x + 2
，则 g (x) =
x +1
．
ex ex
令 g (x) 0，得 x 1，令 g (x) 0，得 x 1，
数学试题参考答案 第 1 页 共 8 页
{#{QQABJQSUogiIAIAAARgCAQWwCgAQkACCACoGRAAEMAABSQNABAA=}#}
所以 g(x)在 ( ， 1) 上单调递增，在 ( 1，+ ) 上单调递减，
所以当 x = 1时， g(x)取最大值 g( 1) = e． ……12 分
所以 a e ． ……13 分
16.（15 分）
（1）证：因为四边形 ACC1A1 是正方形，
所以 AA ⊥ AC ． …… 1 分 1
因为平面 ACC A ⊥平面 ABC，1 1 AA 平面1 ACC A ， 1 1
平面 ACC A 平面 ABC = AC ， 1 1
所以 AA 平面 ABC． …… 3 分 1 ⊥
因为 BC 平面 ABC ，所以 AA ⊥ BC ． …… 5 分 1
又因为 AB ⊥ BC ， AB，AA1 ABB ，1A1 AB AA = A， 1
所以 BC ⊥平面 ABB1A1． …… 7 分
（2）解：由（1）知， BAC 为直线 AC 与平面 ABB1A1所成的角， 1 1
即 BA1C = 30 ． …… 8 分
正方形 ACC1A1 的边长为 2，
所以 A1C = 2 2 ， BC = 2 ，
B1
所以 AB = 2 ． E
（方法一）过点 A作 AD ⊥ A B ，垂足为 D ， 1
过点 D 作DE ⊥ AC ，垂足为 E ，连结 AE ． 1 A D C
因为 BC ⊥平面 ABB1A1， AD 平面 ABB1A ， B 1
数学试题参考答案 第 2 页 共 8 页
{#{QQABJQSUogiIAIAAARgCAQWwCgAQkACCACoGRAAEMAABSQNABAA=}#}
所以 BC ⊥ AD ，
又 BC，A B 平面 A BC ， BC A ， 1 1 1B = B
所以 AD ⊥平面 A BC ． ……11 分 1
所以 DE 是 AE 在平面 A BC 内的射影， 1
所以由三垂线定可知， AE ⊥ A1C ，
所以 AED是二面角 B A1C A的平面角． ……13 分
2 3
在直角△ADE 中， AE = 2，AD = ，
3
所以 sin AED = AD 6= ，
AE 3
3
所以 cos AED = ，
3
3
即二面角 B A1C A的余弦值为 ． ……15 分 3 z
O1
（方法二）取 AC 的中点O ，连结 BO．
因为 AB = BC ，所以 BO ⊥ AC ，
B1
因为平面 ACC A ⊥平面 ABC， 1 1
平面 ACC A 平面 ABC = AC ， BO 平面 ABC， 1 1
O y
A
所以 BO ⊥平面 ACC A ． 1 1 C
x B
取 A C 的中点 ，则 ， 1 1 O1 OO1 ⊥ AC
以 OB，OC，OO1 为基底，建立空间直角坐标系O xyz． ……11 分
所以 B(1，0，0) ，C(0，1，0) ， A1(0， 1，2)，
所以 BC = ( 1，1，0)，A1C = (0，2， 2) ．
设平面 A1BC 的法向量为n = (x，y，z) ，
数学试题参考答案 第 3 页 共 8 页
{#{QQABJQSUogiIAIAAARgCAQWwCgAQkACCACoGRAAEMAABSQNABAA=}#}
n ⊥ BC， n BC = x + y = 0，
则 即 取n = (1，1，1)． ……12 分
n ⊥ A1C， n ⊥ A1C = 2y 2z = 0，
取平面 A AC 的法向量OB = (1，0，0) ， 1
设二面角 B A1C A的大小为 ，
n OB 3
则 cos = = 1 = ．
n OB 3 1 3
因为二面角 B A1C A为锐角，所以
3
cos = ，
3
即二面角 B A1C A的余弦值为
3 ． ……15 分
3
17.（15 分）
解：（1）因为抛物线C 的准线与 x轴的交点为 E( 1，0) ，
p
所以 = 1，即 p = 2 ，
2
所以C 的方程为 y2 = 4x ． …… 2 分
y
显然直线 l 的斜率存在且不为 0． A
设直线 ： B l x =my 1， A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2 )，
将直线方程与抛物线方程联立并消去 x， E F x
得 y2 4my + 4 = 0．
所以 y1 + y2 = 4m，y1 y2 = 4， …… 4分
y y y
所以 k + k = 1 + 2 = 1
y2
1 2 +x1 1 x2 1 my1 2 my2 2
2my
= 1
y2 2(y1 + y2 ) = 2m 4 2 4m = 0 ． …… 8 分
(my1 2)(my2 2) (my1 2)(my2 2)
（2）不妨设 y ． 1 0，y2 0
因为 S1= 3S2 ， y = 4y ． ……10 分 1 2
数学试题参考答案 第 4 页 共 8 页
{#{QQABJQSUogiIAIAAARgCAQWwCgAQkACCACoGRAAEMAABSQNABAA=}#}
又 y y = 4，解得 y = 4，y =1． ……12 分 1 2 1 2
y 21 + y
2
所以 x + x = 2 = 17 ， 1 2 4 4
所以 AF + BF = (x1 +1) + (x2 +1) =
25 ． ……15 分
4
18.（17 分）
解：（1） E(X ) 20 ．
理由如下：记该同学投篮 30 次投进次数为 ，则 ~ B (30，2 )． 3
若每次投进得分都为 1 分，则得分的期望为 E( ) = 30 2 = 20 ． …… 2 分
3
由题意比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍，
故实际总得分 E(X ) 必大于每次得分固定为 1 分的数学期望．
所以 E(X ) 20 ． …… 4 分
（2）X 的可能取值为：0，1，2，3，7，且
3 2
P (X = 0) = (1 ) = 1 ； P (X =1) = C1 2 1 = 6 ； 3 27 3 3 (3) 27
2 2
P (X = 2) = ( 2 ) 1 = 4 ； P (X = 3) = C1 2 1 = 8 ； 3 3 27 2 ( 3 ) 3 27
3
P (X = 7) = (2 ) = 8 ． 3 27
所以，X 的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
1 6P
4 8 8
27 27 27 27 27
…… 8 分
所以 E (X ) = 0 1 +1 6 + 2 4 + 3 8 + 7 8 = 94 ． ……10 分
27 27 27 27 27 27
（3）投篮 n 次得分为 3 分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻．
数学试题参考答案 第 5 页 共 8 页
{#{QQABJQSUogiIAIAAARgCAQWwCgAQkACCACoGRAAEMAABSQNABAA=}#}
当 2≤ n≤ 4时，情形二不可能发生，
2 n 2 n
故 Pn = C
1 2 1 1
n 1 ( ) ( ) = 4(n 1) ( ) ． ……12 分 3 3 3
2 n 2 n
当 n≥5时，情形一发生的概率为C1 2n 1 ( ) (1 ) = 4(n 1) 3 3 (
1 ) ， ……14 分 3
情形二发生是指，将 n 3次未投进的投篮排成一列，共有 n 2个空位，
选择其中 3 个空位作为投进的投篮，故概率为
3 n 3 n+1
C3 2 1 1n 2 ( ) ( ) = 4(n 2)(n 3)(n 4)( ) ， 3 3 3
n n+1
所以 Pn = 4(n 1) (1 ) + 4(n 2)(n 3)(n 4) 1 3 (3)
n+1
= 4(n3 9n2 + 29n 27)(1 ) ． 3
n
4(n 1) (1 ， n = 2，3，4， 3)
综上， Pn = ……17 分 n+1
4(n3 9n2 + 29n 27)(1 ) ，n≥5，n N . 3
19.（17 分）
解：（1）设 f (x)的图象上任意一点 P(x，y) ，则 y = f (x) ，
点 P 关于点 (π，π)的对称点为 P (2π x，2π y) ．
因为 f (2π x) = (2π x) 6sin(2π x) = 2π x + 6sin x = 2π y ，
所以点 P (2π x，2π y) 在 f (x) 的图象上，
所以 f (x)的图象关于点 (π，π)中心对称． …… 4 分
（2）若 a ，a ，a 是某三角形的三个内角， 1 2 3
则 a + a + a = π， 1 2 3
又 an 是等差数列，所以 a2 =
π ．
3
所以 T3 = f (a1) + f (a2 ) + f (a3) = a1 + a2 + a3 6(sin a1 + sin a2 + sin a3)
= π 3 3 6sin a 6sin (2π1 a1 ) = π 3 3 9sin a1 3 3 cosa1 3
数学试题参考答案 第 6 页 共 8 页
{#{QQABJQSUogiIAIAAARgCAQWwCgAQkACCACoGRAAEMAABSQNABAA=}#}
= π 3 3 6 3sin (a π1 + ． …… 8 分 6 )
不妨设 a ≤a ，则 a (0，π ，所以 a + π π，π ， 1 3 1 3 1 6 ( 6 2
所以 sin (a + π ) (11 ，1 ， 6 2
所以T3 (π 6 3，π 9 3 ． ……10 分
（3）因为 an 是等差数列，且 S100 = a1 + a2 + + a100 =100π，
所以当m + n =101时， am + an = 2π，
所以 sin a + sin a = 0． m n
100 100
T100 = f (ai ) = S100 6 sin ai
i=1 i=1
=100π 6 (sin a1 + sin a100 ) + (sin a2 + sin a99 ) + + (sin a50 + sin a51 )
=100π．
所以，若 S100 =100π，则T100 =100π成立． ……14 分
反之不成立．
考虑存在等差数列 an ，满足 a50 = a1 + 49d = π，则 S99 = 99π，
所以T99 = 99π．
下面证明，存在 d ，可以使得 f (a100 ) = π，且 a100 π．
不妨设 d 0 ，因为 a1 + 49d = π，所以 a100 = a1 + 99d π．
f (a100 ) π = 50d + 6sin50d ．
设 g(x) = x + 6sin x，其中 x 0 ，
因为 g(π) = π 0， g(3π ) = 3π 6 0 ，
2 2
所以存在 (π，3π ，使得 g( ) = 0， 2 )
数学试题参考答案 第 7 页 共 8 页
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所以存在 d ( π ，3π )，使得 f (a50 100 100 ) = π，即T100 =100π，
但此时 S100 =100π．
所以反之不成立． ……17 分
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