湖南省岳阳市汩罗市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2017·天水）关于 的叙述不正确的是（ ）
A． =2 B．面积是8的正方形的边长是
C． 是有理数 D．在数轴上可以找到表示 的点
2．（2024九下·岳阳开学考）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
3．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·岳阳开学考）下列计算中，结果是a7的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·岳阳开学考）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：)的平均数与方差为：，；，.则麦苗长得又高又整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．下列命题是真命题的是（）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．对角线相等的四边形是矩形
7．（2017八下·福州期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·岳阳开学考）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22020的末位数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．（2020七上·德城期末）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式 的值为 .
10．（2018·内江）分解因式： ．
11．（2018·岳阳）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．（2024九下·岳阳开学考）抛物线的顶点坐标是 .
13．（2024九下·岳阳开学考）某药店在防治新型冠状病毒期间，市场上抗病毒药品紧缺的情况下将某药品提价100%，物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是 .(填百分数)
14．（2024九下·岳阳开学考）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为600、450，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是 米.(结果保留根号)
15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S = 现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为
16．（2024九下·岳阳开学考）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心， 长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；…，按此做法进行下去，点的坐标为 .
三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024九下·岳阳开学考）计算：
18．（2024九下·岳阳开学考）先化简，，然后从—1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值。
19．（2018·凉州）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数且 ）的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 .
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.
20．（2019·长春模拟）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
成绩x（分） 频数（人） 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 40 n
80≤x＜90 m 0.35
90≤x≤100 50 0.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？
21．（2024九下·岳阳开学考）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县需要8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县， 消毒液的运费价格如下表(单位：元/吨)，设从C县调运x吨到A县.
起点 \ 终点 A县 B县
C县 60 100
D县 35 70
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式.
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
22．（2017·郴州）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： ≈1.73）
23．（2024九下·岳阳开学考）已知正方形ABCD，点M是边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
24．（2018·凉州）如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数 的表达式；
（2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标；
（3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、 =2 ，所以此选项叙述正确；
B、面积是8的正方形的边长是 ，所以此选项叙述正确；
C、 =2 ，它是无理数，所以此选项叙述不正确；
D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示 的点；所以此选项叙述正确；
本题选择叙述不正确的，
故选C．
【分析】 =2 ， 是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．
2．【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】∵，
∴原数中“0”的个数为6，
故答案为：B.
【分析】先将科学记数法改写成，再求解即可。
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义即可判断求解。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、∵不是同类项，无法进行计算，∴A不正确，不符合题意；
B、∵不是同类项，无法进行计算，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的计算方法、同底数幂的乘法及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵<，
∴乙、丁麦苗比甲、丙麦苗要好，
∵<，
∴甲、丁麦苗比乙、丙麦苗要整齐，
综上，丁麦苗长得又高又整齐，
故答案为：D.
【分析】利用平均数的性质及方差的性质：方差越大，数据波动越大分析求解即可。
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】A、如果|a|=1，那么a=±1，错误；
B、一组对边平行的四边形是平行四边形，也可能是梯形，错误；
C、如果a是有理数，那么a是实数，正确；
D、对角线相等的四边形是矩形，也有可能是等腰梯形或其它四边形，错误．
故选C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中， ∵∠NEK=∠EML，EN=EM，∠ENK=∠EML，
∴△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的 .即重叠部分的面积为S不随θ的变化而变化，故答案为：B.
【分析】运用割补法求解即可。即过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，用角角边可证△ENK≌△EML，所以可得阴影部分的面积=正方形面积，即重叠部分的面积为S不随θ的变化而变化。
8．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴21的末位数字是2，
21+22的末位数字是6，
21+22+23的末位数字是4，
21+22+23+24的末位数字是0，
21+22+23+24+25的末位数字是2，
…，
即末位数字每4个一循环，依次为：2，6，4，0；
∵
∴21+22+23+24+…+22020的末位数字是0，
故选：A.
【分析】先求出前几项中数据的末尾数字与序号的关系可得规律末位数字每4个一循环，依次为：2，6，4，0，再结合可得21+22+23+24+…+22020的末位数字是0，从而得解.
9．【答案】0
【知识点】代数式求值；有理数及其分类
【解析】【解答】解：由题意知m=-1，n=0，c=1，
∴原式=
=
=
=0.
故填：0.
【分析】根据负整数，绝对值，倒数，自然数的定义分别求出m、n、c的值，然后代入原式即可求出答案．
10．【答案】ab（a+b）（a-b）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=ab（a2-b2）=ab（a+b）（a-b）
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式ab，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
11．【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△= ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出其根的判别式应该大于0，从而列出不等式，求解即可得出k的取值范围。
12．【答案】(2，5)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
故答案为：（2，5）.
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出其顶点坐标即可.
13．【答案】45%
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：假定药品原价为a元，则加价100%后的价格为2a元，
∵物价限定其提价幅度只能是原价的10%，
∴物价部门规定的价格为（1+10%）a元=1.1a元，
∵，
∴该药品现在降价的幅度是1-55%=45%.
故答案为：45%.
【分析】假定药品原价为a元，则加价100%后的价格为2a元，再求出物价部门规定的价格为（1+10%）a元=1.1a元，再求出该药品现在降价的幅度是1-55%=45%即可.
14．【答案】100(1+)
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：因为无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为，
所以，
在中，
因为，
所以，
在中，，
所以，
故答案为.
【分析】根据求出，再求出，最后利用线段的和差求出即可.
15．【答案】1
【知识点】算术平方根；三角形的面积
【解析】【解答】解：设a=1，b=2，c=，
△ABC的面积=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】设a=1，b=2，c=，然后把a、b、c的值代入公式计算，即可解答.
16．【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：因为直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，
所以点的坐标为（1，），
因为以原点为圆心，长为半径画弧x轴于点，，
所以，
所以点的坐标为（2，0），
所以的坐标为（2，），
同理：点的坐标为（4，0），
以此类推可得出点的坐标为（，0）.
所以点的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出可得点的坐标为（2，0），的坐标为（2，），再求出规律点的坐标为（，0），最后将n=2020带入计算即可.
17．【答案】解：原式
=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、二次根式的性质、0指数幂和特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
18．【答案】解：原式=
=
=
四个数字中x的值只能代2，
当时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：把点A（-1，a）代入 ，得 ，
∴ A（-1，3）
把A（-1，3）代入反比例函数 ，得 ，
∴ 反比例函数的表达式为 ．
（2）解：联立两个函数表达式得 ，解得 ， ．∴ 点B的坐标为B（-3，1）．当 时，得 .∴ 点C（-4，0）．设点P的坐标为（ x ，0）．
∵ ，
∴ ．即 ，
解得 ， .
∴ 点P（-6，0）或（-2，0）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）由点A在一次函数图象上，就可求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可。
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，就可得出点B的坐标，再求出点C的坐标，设点P的坐标为（ x ，0）．根据S△ACP=S△BOC ，建立方程求出x的值，就可求出点P的坐标。
20．【答案】（1）70；0.2
（2）解：频数分布直方图如图所示，
（3）80≤x＜90
（4）解：该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200，
则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x＜90，
∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，
【分析】（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
21．【答案】（1）解：依题意，得
∴调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式是：
（2）解：由⑴知，y是x的一次函数，且，因此函数值随x的增大而减小，又2≤x≤6
∴当x=6时，y最小值＝－5×6+1070＝1040(元)
∴从C县调6吨到A县，调4吨到B县，再将D县的4吨调往B县，总运费最低，最低运费是1040元.
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）利用“总费用=C县到A县的费用+C县到B县的费用+D县到A县的费用+D县到B县的费用”列出函数解析式即可；
（2）先求出自变量x的取值范围，再利用一次函数的性质分析求解即可.
22．【答案】解：结论；不会．理由如下：
作PH⊥AC于H．
由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∵∠PBH=∠PAB+∠APB，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=120，
在Rt△PBH中，sin∠PBH= ，
∴PH=PB sin60°=120× ≈103.80，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
23．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF (ASA)
∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴，即CG2=BC CE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE2=BC CE；
（2）解：延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴，∴BE CN=AB CE，
∵AB=BC，BE2=BC CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE2=BC CE可得x2=1 （1﹣x），
解得：x1=，x2=（舍），
∴，
则tan∠CBF=．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△ABE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得BE=CF；
②先证出△CGE∽△CBG，可得，即CG2=BC CE， 再结合∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，利用等量代换可得BE=CG，再化简可得BE2=BC CE；
（2）先证出△CEN∽△BEA， 可得，化简可得BE CN=AB CE， 再证出，结合AM=MB， 可得FC=CN=BE，设正方形的边长为1，BE=x， 将其代入BE2=BC CE可得x2=1 （1﹣x）， 最后求出x的值，最后求出tan∠CBF=即可.
24．【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ，
得 ，解得 ， ．
∴ 该二次函数的表达式为 ．
（2）解：若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵ C（0，3），∴ E（0， ），∴ 点P的纵坐标等于 ．∴ ，解得 ， （不合题意，舍去），
∴ 点P的坐标为（ ， ）．
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（m， ），设直线BC的表达式为 ，则 ， 解得 .
∴直线BC的表达式为 ．
∴Q点的坐标为（m， ），
∴ .
当 ，
解得 ，∴ AO=1，AB=4，
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
当 时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据点C、B的坐标，利用待定系数法，求出函数解析式即可。
（2）根据已知可得若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，因此连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，根据点C的坐标，可求得点E的坐标，从而得出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入二次函数解析式，求出x的值，得出满足条件的点P的坐标即可。
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（m， m2+2m+3 ），利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用直线BC的解析式表示出点Q的坐标，就可求出QP的长，再求出抛物线与x轴的两交点坐标，就可求出AO、AB的长，然后根据S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ，建立S与m的函数解析式，求出其顶点坐标，就可求出点P的坐标及四边形ACPB的最大面积。
1 / 1湖南省岳阳市汩罗市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2017·天水）关于 的叙述不正确的是（ ）
A． =2 B．面积是8的正方形的边长是
C． 是有理数 D．在数轴上可以找到表示 的点
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A、 =2 ，所以此选项叙述正确；
B、面积是8的正方形的边长是 ，所以此选项叙述正确；
C、 =2 ，它是无理数，所以此选项叙述不正确；
D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示 的点；所以此选项叙述正确；
本题选择叙述不正确的，
故选C．
【分析】 =2 ， 是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．
2．（2024九下·岳阳开学考）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】∵，
∴原数中“0”的个数为6，
故答案为：B.
【分析】先将科学记数法改写成，再求解即可。
3．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义即可判断求解。
4．（2024九下·岳阳开学考）下列计算中，结果是a7的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、∵不是同类项，无法进行计算，∴A不正确，不符合题意；
B、∵不是同类项，无法进行计算，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的计算方法、同底数幂的乘法及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2024九下·岳阳开学考）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：)的平均数与方差为：，；，.则麦苗长得又高又整齐的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】∵<，
∴乙、丁麦苗比甲、丙麦苗要好，
∵<，
∴甲、丁麦苗比乙、丙麦苗要整齐，
综上，丁麦苗长得又高又整齐，
故答案为：D.
【分析】利用平均数的性质及方差的性质：方差越大，数据波动越大分析求解即可。
6．下列命题是真命题的是（）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．如果a是有理数，那么a是实数
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】A、如果|a|=1，那么a=±1，错误；
B、一组对边平行的四边形是平行四边形，也可能是梯形，错误；
C、如果a是有理数，那么a是实数，正确；
D、对角线相等的四边形是矩形，也有可能是等腰梯形或其它四边形，错误．
故选C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（2017八下·福州期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中， ∵∠NEK=∠EML，EN=EM，∠ENK=∠EML，
∴△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的 .即重叠部分的面积为S不随θ的变化而变化，故答案为：B.
【分析】运用割补法求解即可。即过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，用角角边可证△ENK≌△EML，所以可得阴影部分的面积=正方形面积，即重叠部分的面积为S不随θ的变化而变化。
8．（2024九下·岳阳开学考）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22020的末位数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴21的末位数字是2，
21+22的末位数字是6，
21+22+23的末位数字是4，
21+22+23+24的末位数字是0，
21+22+23+24+25的末位数字是2，
…，
即末位数字每4个一循环，依次为：2，6，4，0；
∵
∴21+22+23+24+…+22020的末位数字是0，
故选：A.
【分析】先求出前几项中数据的末尾数字与序号的关系可得规律末位数字每4个一循环，依次为：2，6，4，0，再结合可得21+22+23+24+…+22020的末位数字是0，从而得解.
二、填空题（每小题4分，共32分）
9．（2020七上·德城期末）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式 的值为 .
【答案】0
【知识点】代数式求值；有理数及其分类
【解析】【解答】解：由题意知m=-1，n=0，c=1，
∴原式=
=
=
=0.
故填：0.
【分析】根据负整数，绝对值，倒数，自然数的定义分别求出m、n、c的值，然后代入原式即可求出答案．
10．（2018·内江）分解因式： ．
【答案】ab（a+b）（a-b）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=ab（a2-b2）=ab（a+b）（a-b）
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式ab，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
11．（2018·岳阳）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△= ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出其根的判别式应该大于0，从而列出不等式，求解即可得出k的取值范围。
12．（2024九下·岳阳开学考）抛物线的顶点坐标是 .
【答案】(2，5)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
故答案为：（2，5）.
【分析】利用抛物线的顶点式直接求出其顶点坐标即可.
13．（2024九下·岳阳开学考）某药店在防治新型冠状病毒期间，市场上抗病毒药品紧缺的情况下将某药品提价100%，物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是 .(填百分数)
【答案】45%
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：假定药品原价为a元，则加价100%后的价格为2a元，
∵物价限定其提价幅度只能是原价的10%，
∴物价部门规定的价格为（1+10%）a元=1.1a元，
∵，
∴该药品现在降价的幅度是1-55%=45%.
故答案为：45%.
【分析】假定药品原价为a元，则加价100%后的价格为2a元，再求出物价部门规定的价格为（1+10%）a元=1.1a元，再求出该药品现在降价的幅度是1-55%=45%即可.
14．（2024九下·岳阳开学考）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为600、450，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是 米.(结果保留根号)
【答案】100(1+)
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：因为无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为，
所以，
在中，
因为，
所以，
在中，，
所以，
故答案为.
【分析】根据求出，再求出，最后利用线段的和差求出即可.
15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S = 现已知△ABC的三边长分别为1，2， ，则△ABC的面积为
【答案】1
【知识点】算术平方根；三角形的面积
【解析】【解答】解：设a=1，b=2，c=，
△ABC的面积=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】设a=1，b=2，c=，然后把a、b、c的值代入公式计算，即可解答.
16．（2024九下·岳阳开学考）如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心， 长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；…，按此做法进行下去，点的坐标为 .
【答案】
【知识点】探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：因为直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，
所以点的坐标为（1，），
因为以原点为圆心，长为半径画弧x轴于点，，
所以，
所以点的坐标为（2，0），
所以的坐标为（2，），
同理：点的坐标为（4，0），
以此类推可得出点的坐标为（，0）.
所以点的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出可得点的坐标为（2，0），的坐标为（2，），再求出规律点的坐标为（，0），最后将n=2020带入计算即可.
三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024九下·岳阳开学考）计算：
【答案】解：原式
=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、二次根式的性质、0指数幂和特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
18．（2024九下·岳阳开学考）先化简，，然后从—1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值。
【答案】解：原式=
=
=
四个数字中x的值只能代2，
当时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
19．（2018·凉州）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数且 ）的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 .
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.
【答案】（1）解：把点A（-1，a）代入 ，得 ，
∴ A（-1，3）
把A（-1，3）代入反比例函数 ，得 ，
∴ 反比例函数的表达式为 ．
（2）解：联立两个函数表达式得 ，解得 ， ．∴ 点B的坐标为B（-3，1）．当 时，得 .∴ 点C（-4，0）．设点P的坐标为（ x ，0）．
∵ ，
∴ ．即 ，
解得 ， .
∴ 点P（-6，0）或（-2，0）．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）由点A在一次函数图象上，就可求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可。
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，就可得出点B的坐标，再求出点C的坐标，设点P的坐标为（ x ，0）．根据S△ACP=S△BOC ，建立方程求出x的值，就可求出点P的坐标。
20．（2019·长春模拟）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
成绩x（分） 频数（人） 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 40 n
80≤x＜90 m 0.35
90≤x≤100 50 0.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？
【答案】（1）70；0.2
（2）解：频数分布直方图如图所示，
（3）80≤x＜90
（4）解：该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200，
则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x＜90，
∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，
【分析】（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
21．（2024九下·岳阳开学考）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县需要8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县， 消毒液的运费价格如下表(单位：元/吨)，设从C县调运x吨到A县.
起点 \ 终点 A县 B县
C县 60 100
D县 35 70
（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式.
（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【答案】（1）解：依题意，得
∴调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式是：
（2）解：由⑴知，y是x的一次函数，且，因此函数值随x的增大而减小，又2≤x≤6
∴当x=6时，y最小值＝－5×6+1070＝1040(元)
∴从C县调6吨到A县，调4吨到B县，再将D县的4吨调往B县，总运费最低，最低运费是1040元.
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）利用“总费用=C县到A县的费用+C县到B县的费用+D县到A县的费用+D县到B县的费用”列出函数解析式即可；
（2）先求出自变量x的取值范围，再利用一次函数的性质分析求解即可.
22．（2017·郴州）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： ≈1.73）
【答案】解：结论；不会．理由如下：
作PH⊥AC于H．
由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠PBH=60°，
∵∠PBH=∠PAB+∠APB，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=120，
在Rt△PBH中，sin∠PBH= ，
∴PH=PB sin60°=120× ≈103.80，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
23．（2024九下·岳阳开学考）已知正方形ABCD，点M是边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF (ASA)
∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴，即CG2=BC CE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE2=BC CE；
（2）解：延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴，∴BE CN=AB CE，
∵AB=BC，BE2=BC CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE2=BC CE可得x2=1 （1﹣x），
解得：x1=，x2=（舍），
∴，
则tan∠CBF=．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△ABE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得BE=CF；
②先证出△CGE∽△CBG，可得，即CG2=BC CE， 再结合∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，利用等量代换可得BE=CG，再化简可得BE2=BC CE；
（2）先证出△CEN∽△BEA， 可得，化简可得BE CN=AB CE， 再证出，结合AM=MB， 可得FC=CN=BE，设正方形的边长为1，BE=x， 将其代入BE2=BC CE可得x2=1 （1﹣x）， 最后求出x的值，最后求出tan∠CBF=即可.
24．（2018·凉州）如图，已知二次函数 的图象经过点 ，与 轴分别交于点 ，点 .点 是直线 上方的抛物线上一动点.
（1）求二次函数 的表达式；
（2）连接 ， ，并把 沿 轴翻折，得到四边形 .若四边形 为菱形，请求出此时点 的坐标；
（3）当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积.
【答案】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ，
得 ，解得 ， ．
∴ 该二次函数的表达式为 ．
（2）解：若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵ C（0，3），∴ E（0， ），∴ 点P的纵坐标等于 ．∴ ，解得 ， （不合题意，舍去），
∴ 点P的坐标为（ ， ）．
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（m， ），设直线BC的表达式为 ，则 ， 解得 .
∴直线BC的表达式为 ．
∴Q点的坐标为（m， ），
∴ .
当 ，
解得 ，∴ AO=1，AB=4，
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
当 时，四边形ABPC的面积最大．
此时P点的坐标为 ，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据点C、B的坐标，利用待定系数法，求出函数解析式即可。
（2）根据已知可得若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，因此连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，根据点C的坐标，可求得点E的坐标，从而得出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入二次函数解析式，求出x的值，得出满足条件的点P的坐标即可。
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（m， m2+2m+3 ），利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，利用直线BC的解析式表示出点Q的坐标，就可求出QP的长，再求出抛物线与x轴的两交点坐标，就可求出AO、AB的长，然后根据S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ，建立S与m的函数解析式，求出其顶点坐标，就可求出点P的坐标及四边形ACPB的最大面积。
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